Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.1: A Special Dice Game"

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{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Einige grundlegende Definitionen}}
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{{quiz-Header|Buchseite=Theory_of_Stochastic_Signals/Some_Basic_Definitions}}
==A1.1 Würfelspiel Mäxchen==
 
[[File:P_ID3__Sto_A1_1.jpg|right|frame|Zum Würfelspiel „Mäxchen”]]
 
Beim Würfelspiel „Mäxchen” wird jeweils mit zwei Würfeln geworfen. Die höhere Augenzahl der beiden Würfel wird mit  $10$  multipliziert und dann die niedrigere Augenzahl dazu addiert. Beispielsweise liefert eine „2“ und eine „4“ das Spielresultat  $42$  und eine „5“ und eine „6“ das Ergebnis  $65$. Das kleinstmögliche Resultat eines Wurfes ist somit  $31$.  Weiter gelten folgende Regeln:
 
  
*Ein „Pasch”  (zweimal die gleiche Augenzahl)  wird im Allgemeinen höher bewertet als zwei ungleiche Würfel.  
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[[File:P_ID3__Sto_A1_1.jpg|right|frame|About the dice game "Max"]]
*So ist ein „Einser-Pasch” höher als  $65$, aber niedriger als jeder andere Pasch.
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In the dice game  "Max"  two dice are thrown.  The higher number of points of the two dice is multiplied by  $10$  and then the lower number of points is added to it.  For example,  a  "2"  and a  "4"  gives the game result  $42$  and a  "5"  and a  "6"  gives the result  $65$.  The smallest possible result of a roll is therefore  $31$.   The following rules also apply:
*Eine Sonderstellung nimmt bei diesem Spiel das „Mäxchen”  (eine „1” und eine „2”)  ein. Diese im Bild dargestellte Kombination steht noch über dem Sechser-Pasch.
 
  
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*A  "double"  (the same number twice)  is generally valued higher than two unequal dice.
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*Thus,  a  "double one"  is higher than  $65$,  but lower than any other double.
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*A special position in this game is occupied by the  "Max"  (a  "1"  and a  "2").  This combination,  shown in the picture,  is higher than the   "double six".
  
Der Spieler  $X$  beginnt.  Er gewinnt, wenn der Spieler  $Y$  das vorgelegte Resultat nicht überbieten kann.  Die weiteren vielfältigen Optionen dieses Spiels werden hier nicht berücksichtigt.
 
  
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Player  $X$  starts the game.  He wins if the player  $Y$  cannot beat the presented result.  The other multiple options of this game are not considered here.
  
  
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''Hinweise:''
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Hints:
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
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*The exercise belongs to the chapter  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Some_Basic_Definitions | Some basic definitions of probability theory]].
 
   
 
   
*Die Musterlösung ist in einem   [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|Kurzvideo]]  zusammengefasst.
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*The sample solution is summarized in a short (German language)   [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|learning video]].
  
 
+
===Questions===
===Fragebogen===
 
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Haben&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; gleiche Gewinnchancen?&nbsp; Wenn Sie der Meinung sind, dass das Spiel unfair ist:&nbsp; Wie könnte man das Spiel fair gestalten?
+
{Do&nbsp; $X$&nbsp; and&nbsp; $Y$&nbsp; have equal chances of winning?&nbsp; If you think the game is unfair:&nbsp; How could the game be made fair?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Die Spieler&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; haben gleiche Chancen.
+
- Players&nbsp; $X$&nbsp; and&nbsp; $Y$&nbsp; have equal chances.
+ Der Spieler&nbsp; $X$&nbsp; ist im Vorteil.
+
+ Player&nbsp; $X$&nbsp; has an advantage.
- Der Spieler&nbsp; $Y$&nbsp; ist im Vorteil.
+
- Player&nbsp; $Y$&nbsp; has an advantage.
  
{Wieviele unterschiedliche Resultate&nbsp; $(I)$&nbsp; sind bei diesem Spiel möglich?
+
{How many different outcomes&nbsp; $(I)$&nbsp; are possible in this game?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$I \ =\ $  { 21 }
 
$I \ =\ $  { 21 }
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser-Pasch?
+
{What is the probability of a&nbsp; "double six"?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big]\ =\ $ { 0.0278 3% }
+
$\rm Pr\big[\text{"double six"}\big]\ =\ $ { 0.0278 3% }
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man &bdquo;irgendeinen&rdquo; Pasch würfelt?
+
{What is the probability of rolling&nbsp; "any double"?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\rm Pr\big[irgendein \;Pasch\big]\ =\ $ { 0.1667 3% }
+
$\rm Pr\big[\text{"any double"}\big]\ =\ $ { 0.1667 3% }
  
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt ein Spieler ein &bdquo;Mäxchen&rdquo;?
+
{What is the probability that a player rolls a&nbsp; "Max"?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\rm Pr\big[Mäxchen\big]\ =\ $ { 0.0556 3% }
+
$\rm Pr\big[\text{"Max"}\big]\ =\ $ { 0.0556 3% }
  
{Der Spieler&nbsp; $X$&nbsp; hat eine „3” und eine „5” vorgelegt. Wie groß ist unter dieser Annahme die Gewinnchance von Spieler&nbsp; $Y$?
+
{Player&nbsp; $X$&nbsp; has rolled a&nbsp; "3"&nbsp; and a&nbsp; "5".&nbsp; Under this assumption,&nbsp; what is player&nbsp; $Y$'s chance of winning??
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Pr}\big[Y\;  {\rm gewinnt}\big]\ =\ $ { 0.5556 3% }
+
${\rm Pr}\big[Y\;  {\rm wins}\big]\ =\ $ { 0.5556 3% }
  
{Welches Spielergebnis&nbsp; $R_{\rm \min}$&nbsp; muss der Spieler&nbsp; $X$&nbsp; mindestens erzielen, damit er eine größere Gewinnchance als&nbsp; $75\%$&nbsp; hat?
+
{What is the minimum score&nbsp; $R_{\rm \min}$&nbsp; that player&nbsp; $X$&nbsp; must achieve to have a greater chance of winning than&nbsp; $75\%$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$R_{\rm \min}\ =\ $ { 65 }
 
$R_{\rm \min}\ =\ $ { 65 }
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</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; <u>Der Spieler X ist im Vorteil</u>, da ihn der Spieler $Y$ überbieten muss. Das Spiel wäre zum Beispiel dann fair, wenn es bei exakt gleichen Würfen als &bdquo;Unentschieden&rdquo; gewertet würde. Über einen längeren Zeitraum würden sich allerdings auch dann gleiche Gewinnchancen ergeben, wenn $X$ und $Y$ abwechselnd beginnen.
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'''(1)'''&nbsp; <u>Player &nbsp; $X$&nbsp; has an advantage</u>,&nbsp; because player&nbsp; $Y$&nbsp; has to trump him.&nbsp;
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*The game would be fair,&nbsp; for example,&nbsp; if it were scored as a&nbsp; "draw"&nbsp; when the rolls were exactly equal.&nbsp;
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*However,&nbsp; over a longer period of time,&nbsp; even if&nbsp; $X$&nbsp; and&nbsp; $Y$&nbsp; start alternating,&nbsp; there will be equal chances of winning.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Es sind $\underline{I = 21}$ verschiedene Resultate möglich. Diese sind (beim niedrigsten beginnend): &nbsp; 31, 32, 41, 42, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 21.
 
  
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'''(2)'''&nbsp;&nbsp; $\underline{I = 21}$&nbsp; different outcomes are possible.&nbsp; These are&nbsp; (starting with the lowest):
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:$$31, 32, 41, 42, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 21.$$
  
'''(3)'''&nbsp; Die 21 möglichen Resultate dieses Würfelspiels sind allerdings nicht gleichwahrscheinlich, deshalb können die Wahrscheinlichkeiten auch nicht nach der klassischen Definition (das Ergebnis wäre $1/21$) ermittelt werden.
 
  
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'''(3)'''&nbsp; However,&nbsp; the&nbsp; $21$&nbsp; possible results of this dice game are not equally probable,&nbsp; therefore the probabilities cannot be determined according to the classical definition&nbsp; $($the result would be&nbsp; $1/21)$.
  
Macht man zumindest gedanklich eine Unterscheidung zwischen den Würfeln, zum Beispiel durch einen blauen ($B$) und einen roten ($R$) Würfel, so gibt es $6^{2} = 36$ gleichwahrscheinliche Ereignisse, unter Anderem das Ereignis ${\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big]} = (B = 6) \cap (R = 6)$. Bei beiden Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ gleich $1/6$. Da die Augenzahlen der beiden Würfel natürlich statistisch unabhängig sind, ist
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*If one at least mentally makes a distinction between the dice,&nbsp; for example by a blue &nbsp;$(B)$&nbsp; and a red &nbsp;$(R)$&nbsp; one&nbsp; there are&nbsp; $6^{2} = 36$&nbsp; equally probable events,&nbsp; among others the event&nbsp; ${\rm Pr\big[\text{"double six"}\big]} = Pr\big[(B = 6) \cap (R = 6)\big]$.  
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*For both dice,&nbsp; the probability of a &nbsp; "6"&nbsp; is equal to&nbsp; $1/6$.&nbsp; Since the numbers of the two dice are,&nbsp; of course,&nbsp; statistically independent,&nbsp; the following is true:
 
   
 
   
:$${\rm Pr\big[Sechser-Pasch\big] = Pr}(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 \;\underline{= 0.0278}.$$
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:$$Pr\big[\text{"double six"}\big] = {\rm Pr}(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 \;\underline{= 0.0278}.$$
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"Note": &nbsp; From the naming&nbsp; "result",&nbsp; one might incorrectly conclude that this is an outcome.&nbsp; However,&nbsp; according to the definitions in this chapter,&nbsp; the result is to be considered as an event&nbsp; (summary of outcomes).
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"Anmerkung": &nbsp; Aus der Namensgebung &bdquo;Resultat&rdquo; könnte man fälschlicherweise schließen, dass es sich hierbei um ein Ergebnis handelt. Entsprechend den Definitionen in diesem Kapitel ist das Resultat aber als ein Ereignis (Zusammenfassung von Ergebnissen) zu betrachten.
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[[File:EN_Sto_A1_1_g.png|right|400px|Sum of two dice]]
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'''(4)'''&nbsp; This probability can be stated with&nbsp; $K = 6$&nbsp; and&nbsp; $M = 36$&nbsp; as follows:
  
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:$${\rm Pr\big[\text{"any double"}\big] = Pr}(B = R) = K/M = 1/6 \; \underline{= 0.1667}.$$
  
'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann mit $K = 6$ und $M = 36$ wie folgt angegeben werden:
 
  
:$${\rm Pr\big[irgendein Pasch\big] = Pr}(B = R) = K/M = 1/6 \; \underline{= 0.1667}.$$
+
'''(5)'''&nbsp; Analogously,&nbsp; the probability for the&nbsp; "Max"&nbsp; can be calculated with&nbsp; $K = 2$&nbsp; and&nbsp; $M = 36$:
  
 +
:$${\rm Pr\big[\text{"Max"}\big] = Pr}(B = 1 \cap R = 2) + {\rm Pr}(B = 2 \cap R = 1) = 1/18 \; \underline{= 0.0556}.$$
  
'''(5)'''&nbsp; Analog ist die Wahrscheinlichkeit für das Mäxchen mit $K = 2$ und $M = 36$ berechenbar:
 
  
:$${\rm Pr\big[Mäxchen\big] = Pr}(B = 1 \cap R = 2) + {\rm Pr}(b = 2 \cap R = 1) = 1/18 \; \underline{= 0.0556}.$$
+
'''(6)'''&nbsp; The probability that&nbsp; $Y$&nbsp; wins if&nbsp; $X$&nbsp; got&nbsp; "53"&nbsp; is&nbsp; $5/9\; \underline{\approx 0.555}$.  
  
 +
The sample solution of this subtask is summarized in a short (German language)&nbsp;  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|learning video]].
  
'''(6)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ gewinnt, wenn $X$ das Ergebnis „53” vorgelegt hat, ist $5/9\; \underline{\approx 0.555}$. <br>Die Musterlösung dieser Teilaufgabe  ist in einem  [[Würfelspiel_„Mäxchen”_(Lernvideo)|Kurzvideo]] zusammengefasst.
 
  
[[File:P_ID191__Sto_A1_1_g.png|right|400px|Summe zweier Würfel]]
+
'''(7)'''&nbsp; To solve the last sub-task, we again assume a two-dimensional representation and rank the matrix elements according to their values&nbsp; (see graph).&nbsp; From this we can see:  
'''(7)'''&nbsp; Zur Lösung der letzten Teilaufgabe gehen wir wieder von einer zweidimensionalen Darstellung aus und reihen die Matrixelemente entsprechend ihren Wertigkeiten (siehe Grafik). Daraus ist zu ersehen:  
+
*With the default value of&nbsp; $65$,&nbsp; the opponent has only a chance of winning of&nbsp; $8/36 = 0.222$.  
*Mit der Vorgabe „$65$” lässt man dem Gegenspieler nur eine Gewinnchance von $8/36 = 0.222$.  
+
*This means that your own chance of winning is about&nbsp; $77.8\%$.  
*Damit ist die eigene Gewinnchance etwa $77.8\%$.  
+
*With&nbsp; $64$,&nbsp; on the other hand,&nbsp; player&nbsp; $X$'s&nbsp; chance of winning would be only about&nbsp; $72.2\%$.  
*Mit „$64$” wäre die Gewinnchance von Spieler $X$ dagegen nur ca. $72.2\%$. Die richtige Lösung ist somit $R_\min\; \underline{ = 65}$.
+
*The correct solution is therefore&nbsp; $R_\min\; \underline{ = 65}$.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^1.1 Einige grundlegende Definitionen^]]
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[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises|^1.1 Some Basic Definitions^]]

Latest revision as of 17:47, 18 November 2021

About the dice game "Max"

In the dice game  "Max"  two dice are thrown.  The higher number of points of the two dice is multiplied by  $10$  and then the lower number of points is added to it.  For example,  a  "2"  and a  "4"  gives the game result  $42$  and a  "5"  and a  "6"  gives the result  $65$.  The smallest possible result of a roll is therefore  $31$.  The following rules also apply:

  • A  "double"  (the same number twice)  is generally valued higher than two unequal dice.
  • Thus,  a  "double one"  is higher than  $65$,  but lower than any other double.
  • A special position in this game is occupied by the  "Max"  (a  "1"  and a  "2").  This combination,  shown in the picture,  is higher than the  "double six".


Player  $X$  starts the game.  He wins if the player  $Y$  cannot beat the presented result.  The other multiple options of this game are not considered here.



Hints:

  • The sample solution is summarized in a short (German language)  learning video.

Questions

1

Do  $X$  and  $Y$  have equal chances of winning?  If you think the game is unfair:  How could the game be made fair?

Players  $X$  and  $Y$  have equal chances.
Player  $X$  has an advantage.
Player  $Y$  has an advantage.

2

How many different outcomes  $(I)$  are possible in this game?

$I \ =\ $

3

What is the probability of a  "double six"?

$\rm Pr\big[\text{"double six"}\big]\ =\ $

4

What is the probability of rolling  "any double"?

$\rm Pr\big[\text{"any double"}\big]\ =\ $

5

What is the probability that a player rolls a  "Max"?

$\rm Pr\big[\text{"Max"}\big]\ =\ $

6

Player  $X$  has rolled a  "3"  and a  "5".  Under this assumption,  what is player  $Y$'s chance of winning??

${\rm Pr}\big[Y\; {\rm wins}\big]\ =\ $

7

What is the minimum score  $R_{\rm \min}$  that player  $X$  must achieve to have a greater chance of winning than  $75\%$?

$R_{\rm \min}\ =\ $


Solution

(1)  Player   $X$  has an advantage,  because player  $Y$  has to trump him. 

  • The game would be fair,  for example,  if it were scored as a  "draw"  when the rolls were exactly equal. 
  • However,  over a longer period of time,  even if  $X$  and  $Y$  start alternating,  there will be equal chances of winning.


(2)   $\underline{I = 21}$  different outcomes are possible.  These are  (starting with the lowest):

$$31, 32, 41, 42, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 21.$$


(3)  However,  the  $21$  possible results of this dice game are not equally probable,  therefore the probabilities cannot be determined according to the classical definition  $($the result would be  $1/21)$.

  • If one at least mentally makes a distinction between the dice,  for example by a blue  $(B)$  and a red  $(R)$  one  there are  $6^{2} = 36$  equally probable events,  among others the event  ${\rm Pr\big[\text{"double six"}\big]} = Pr\big[(B = 6) \cap (R = 6)\big]$.
  • For both dice,  the probability of a   "6"  is equal to  $1/6$.  Since the numbers of the two dice are,  of course,  statistically independent,  the following is true:
$$Pr\big[\text{"double six"}\big] = {\rm Pr}(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 \;\underline{= 0.0278}.$$

"Note":   From the naming  "result",  one might incorrectly conclude that this is an outcome.  However,  according to the definitions in this chapter,  the result is to be considered as an event  (summary of outcomes).


Sum of two dice

(4)  This probability can be stated with  $K = 6$  and  $M = 36$  as follows:

$${\rm Pr\big[\text{"any double"}\big] = Pr}(B = R) = K/M = 1/6 \; \underline{= 0.1667}.$$


(5)  Analogously,  the probability for the  "Max"  can be calculated with  $K = 2$  and  $M = 36$:

$${\rm Pr\big[\text{"Max"}\big] = Pr}(B = 1 \cap R = 2) + {\rm Pr}(B = 2 \cap R = 1) = 1/18 \; \underline{= 0.0556}.$$


(6)  The probability that  $Y$  wins if  $X$  got  "53"  is  $5/9\; \underline{\approx 0.555}$.

The sample solution of this subtask is summarized in a short (German language)  learning video.


(7)  To solve the last sub-task, we again assume a two-dimensional representation and rank the matrix elements according to their values  (see graph).  From this we can see:

  • With the default value of  $65$,  the opponent has only a chance of winning of  $8/36 = 0.222$.
  • This means that your own chance of winning is about  $77.8\%$.
  • With  $64$,  on the other hand,  player  $X$'s  chance of winning would be only about  $72.2\%$.
  • The correct solution is therefore  $R_\min\; \underline{ = 65}$.