Aufgaben:Exercise 1.1: Entropy of the Weather

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Fünf verschiedene Binärquellen

Eine Wetterstation fragt täglich verschiedene Regionen ab und bekommt als Antwort jeweils eine Meldung  $x$  zurück, nämlich

• $x = \rm B$:   Das Wetter ist eher schlecht.
• $x = \rm G$:   Das Wetter ist eher gut.

Die Daten wurden über viele Jahre für verschiedene Gebiete in Dateien abgelegt, so dass die Entropien der  $\rm B/G$–Folgen ermittelt werden können:

$$H = p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm B}} + p_{\rm G} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm G}}$$

mit dem Logarithmus dualis

$${\rm log}_2\hspace{0.1cm}p=\frac{{\rm lg}\hspace{0.1cm}p}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}2}\hspace{0.3cm} \left ( = {\rm ld}\hspace{0.1cm}p \right ) \hspace{0.05cm}.$$

„lg”  kennzeichnet hierbei den Logarithmus zur Basis  $10$.  Zu erwähnen ist ferner, dass jeweils noch die Pseudoeinheit  $\text{bit/Anfrage}$  anzufügen ist.

Die Grafik zeigt diese binären Folgen jeweils für  $60$  Tage und folgende Regionen:

• Region „Durchwachsen”:    $p_{\rm B} = p_{\rm G} =0.5$,
• Region „Regenloch”:             $p_{\rm B} = 0.8, \; p_{\rm G} =0.2$,
• Region „Angenehm”:            $p_{\rm B} = 0.2, \; p_{\rm G} =0.8$,
• Region „Paradies”:                $p_{\rm B} = 1/30, \; p_{\rm G} =29/30$.

Schließlich ist auch noch die Datei „Unbekannt” angegeben, deren statistische Eigenschaften zu schätzen sind.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Gedächtnislose Nachrichtenquellen.

• Für die vier ersten Dateien wird vorausgesetzt, dass die Ereignisse  $\rm B$  und  $\rm G$  statistisch unabhängig seien, eine für die Wetterpraxis eher unrealistische Annahme.

• Die Aufgabe wurde zu einer Zeit konzipiert, als  Greta  gerade in die Schule kam.  Wir überlassen es Ihnen, „Paradies” in „Hölle” umzubenennen.

Fragebogen

1

Welche Entropie  $H_{\rm D}$  weist die Datei  „Durchwachsen"  auf?

$H_{\rm D}\ = \ $ $\ \rm bit/Anfrage$

2

Welche Entropie  $H_{\rm R}$  weist die Datei  „Regenloch”  auf?

$H_{\rm R}\ = \ $ $\ \rm bit/Anfrage$

3

Welche Entropie  $H_{\rm A}$  weist die Datei  „Angenehm”  auf?

$H_{\rm A}\ = \ $ $\ \rm bit/Anfrage$

4

Wie groß sind die Informationsgehalte der Ereignisse  $\rm B$  und  $\rm G$  bezogen auf die Datei  „Paradies”?

$I_{\rm B}\ = \ $ $\ \rm bit/Anfrage$

$I_{\rm G}\ = \ $ $\ \rm bit/Anfrage$

5

Wie groß ist die Entropie  (das heißt:  der mittlere Informationsgehalt)  $H_{\rm P}$  der Datei  „Paradies”?  Interpretieren Sie das Ergebnis?

$H_{\rm P}\ = \ $ $\ \rm bit/Anfrage$

6

Welche Aussagen könnten für die Datei  „Unbekannt”  gelten?

	Die Ereignisse  $\rm B$  und  $\rm G$  sind etwa gleichwahrscheinlich.
	Die Folgenelemente sind statistisch voneinander unabhängig.
	Die Entropie dieser Datei ist  $H_\text{U} \approx 0.7 \; \rm bit/Anfrage$.
	Die Entropie dieser Datei ist  $H_\text{U} = 1.5 \; \rm bit/Anfrage$.

Musterlösung

Solution

(1)  Bei der Datei „Durchwachsen” sind die beiden Wahrscheinlichkeiten gleich:   $p_{\rm B} = p_{\rm G} =0.5$. Damit ergibt sich für die Entropie:

$$H_{\rm D} = 0.5 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.5} + 0.5 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Mit $p_{\rm B} = 0.8$, und $p_{\rm G} =0.2$ erhält man einen kleineren Entropiewert:

$$H_{\rm R} \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.8 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\frac{5}{4} \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}0.2 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\frac{5}{1}\hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.8 \cdot{\rm log}_2\hspace{0.05cm}5\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}0.8 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}4 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}0.2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.05cm} 5 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} {\rm log}_2\hspace{0.05cm}5\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm} 0.8 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} \frac{{\rm lg} \hspace{0.1cm}5}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}2} \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1.6 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.722\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  In der Datei „Angenehm” sind die Wahrscheinlichkeiten gegenüber der Datei „Regenloch” genau vertauscht. Durch diese Vertauschung wird die Entropie jedoch nicht verändert:

$$H_{\rm A} = H_{\rm R} \hspace{0.15cm} \underline {= 0.722\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Mit $p_{\rm B} = 1/30$ und $p_{\rm G} =29/30$ ergeben sich folgende Informationsgehalte:

$$I_{\rm B} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm log}_2\hspace{0.1cm}30 = \frac{{\rm lg}\hspace{0.1cm}30}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}2} = \frac{1.477}{0.301} \hspace{0.15cm} \underline {= 4.907\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm},$$

$$I_{\rm G} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{30}{29} = \frac{{\rm lg}\hspace{0.1cm}1.034}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}2} = \frac{1.477}{0.301} \hspace{0.15cm} \underline {= 0.049\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Die Entropie $H_{\rm P}$ ist der mittlere Informationsgehalt der beiden Ereignisse $\rm B$ und $\rm G$:

$$H_{\rm P} = \frac{1}{30} \cdot 4.907 + \frac{29}{30} \cdot 0.049 = 0.164 + 0.047 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.211\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm}.$$

Obwohl das Ereignis $\rm B$ seltener auftritt als $\rm G$, ist sein Beitrag zur Entropie größer.

(6)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

• Die Ereignisse $\rm B$ und $\rm G$ sind bei der Datei „Unbekannt” tatsächlich gleichwahrscheinlich:   Die $60$ dargestellten Symbole teilen sich auf in $30$ mal $\rm B$ und $30$ mal $\rm G$.
• Es bestehen nun aber starke statistische Bindungen innerhalb der zeitlichen Folge. Nach längeren Schönwetterperioden folgen meist viele schlechte Tage am Stück.
• Aufgrund dieser statistischen Abhängigkeit innerhalb der $\rm B/G$–Folge ist $H_\text{U} = 0.722 \; \rm bit/Anfrage$ kleiner als $H_\text{D} = 1 \; \rm bit/Anfrage$.
• $H_\text{D}$ ist gleichzeitig das Maximum für $M = 2$   ⇒   die letzte Aussage ist mit Sicherheit falsch.