Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.4: Low-Pass Filter of 2nd Order"

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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}
+
{{quiz-Header|Buchseite=Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Time_Domain}}
  
[[File:P_ID820__LZI_A_1_4.png |right|Tiefpass erster und zweiter Ordnung]]
+
[[File:EN_LZI_A_1_4.png|right|frame|Low-pass filter of first order (top) <br>and of second order (bottom)]]
In der [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]] und der [[Aufgaben:1.1Z_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Zusatzaufgabe 1.1Z]] im Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|Systembeschreibung im Frequenzbereich]] wurden die so genannten RC–Tiefpässe im Frequenzbereich beschrieben. Hier soll nun eine Zeitbereichsdarstellung erfolgen.  
+
In&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_1.1:_Simple_Filter_Functions|Exercise 1.1]]&nbsp; and&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_1.1Z:_Low-Pass_Filter_of_1st_and_2nd_Order|Exercise 1.1Z]]&nbsp; of the chapter&nbsp; [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Frequency_Domain|System Description in Frequency Domain]]&nbsp; the so-called&nbsp; "RC low-pass filters"&nbsp; were described in the frequency domain.&nbsp; Now, the time domain representation is elaborated on.  
  
Die oben skizzierte Schaltung mit dem Eingangssignal $x(t)$ und dem Ausgangssignal $y_1(t)$ ist ein Tiefpass erster Ordnung mit dem Frequenzgang
+
The circuit with the input signal&nbsp; $x(t)$&nbsp;  and the output signal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; is a low-pass filter of first order with frequency response
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0}}.$$
+
:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0}}.$$
  
Hierbei gibt $f_0 = 1/(2πRC)$ die 3dB–Grenzfrequenz an. Legt man am Eingang ein diracförmiges Signal $x(t) = δ(t)$ an, so erscheint am Ausgang das Signal $y_1(t)$ gemäß der mittleren Skizze.  
+
Here,&nbsp; $f_0 = 1/(2πRC)$&nbsp; indicates the 3dB cut-off frequency.&nbsp; If a Dirac-shaped signal&nbsp; $x(t) = δ(t)$&nbsp; is applied to the input, the signal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; is given by the system output according to the sketch in the middle.  
  
Der Zusammenhang zwischen den Systemparametern $R$, $C$ und $T$ lautet (siehe auch [[Aufgaben:1.3Z_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Zusatzaufgabe 1.3Z]]:  
+
The relationship between the system parameters&nbsp; $R$&nbsp; (resistance),&nbsp; $C$&nbsp; (capacitance) &nbsp; and&nbsp; $T$&nbsp; is (see&nbsp;  [[Aufgaben:Exercise_1.3Z:_Exponentially_Decreasing_Impulse_Response|Exercise 1.3Z]]):  
$$T = \frac{1}{\omega_{\rm 0}}= \frac{1}{2\pi f_{\rm 0}} = R  \cdot C.$$
+
:$$T = \frac{1}{\omega_{\rm 0}}= \frac{1}{2\pi f_{\rm 0}} = R  \cdot C.$$
Für numerische Berechnungen soll im Folgenden $T = 1 \ \rm ms$ verwendet werden.  
+
For numerical calculations &nbsp; $T = 1 \ \rm ms$&nbsp; shall be used in the following.  
  
Die untere Schaltung mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y_2(t)$ zeigt einen Tiefpass zweiter Ordnung:
+
The circuit below with input&nbsp; $x(t)$&nbsp; and output&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; represents a low-pass filter of second order:
$$H_{\rm 2}(f) = [H_{\rm 1}(f)]^2 =\frac{1}{(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0})^2}.$$
+
:$$H_{\rm 2}(f) = \big[H_{\rm 1}(f)\big]^2 =\frac{1}{(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0})^2}.$$
Die zu $H_2(f)$ gehörende Impulsantwort ist $h_2(t)$.  
+
*The impulse response associated with&nbsp; $H_2(f)$&nbsp; is&nbsp; $h_2(t)$
 +
*The system parameter&nbsp; $f_0$&nbsp; no longer indicates the 3dB cut-off frequency for a low-pass filter of second or higher order.
 +
*Furthermore, it should be noted that the two RC elements must be decoupled in order to achieve impedance matching.
 +
*An operational amplifier, for example, is suitable for this.&nbsp; However, this hint is not relevant for the solution of this task.  
  
Anzumerken ist, dass der Systemparameter $f_0$ bei einem Tiefpass zweiter oder höherer Ordnung nicht mehr dessen 3 dB–Grenzfrequenz angibt. Weiterhin ist noch zu beachten, dass die beiden RC-Glieder entkoppelt werden müssen, um Widerstandsanpassung zu erreichen. Hierzu eignet sich zum Beispiel ein Operationsverstärker. Dieser Hinweis ist jedoch für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.
 
  
''Hinweise:''  
+
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]  
+
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
+
 
*Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral:  
+
 
 +
 
 +
 
 +
''Please note:''  
 +
*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Time_Domain|System Description in Time Domain]].  
 +
*The following indefinite integral is given:  
 
:$$\int u \cdot {\rm e}^{a \cdot \hspace{0.03cm} u}  \hspace{0.1cm}{\rm d}u =
 
:$$\int u \cdot {\rm e}^{a \cdot \hspace{0.03cm} u}  \hspace{0.1cm}{\rm d}u =
 
  \frac{{\rm e}^{\hspace{0.03cm}a \cdot \hspace{0.03cm} u}}{a^2} \cdot (a \cdot u -1).$$
 
  \frac{{\rm e}^{\hspace{0.03cm}a \cdot \hspace{0.03cm} u}}{a^2} \cdot (a \cdot u -1).$$
 +
  
  
===Fragebogen===
+
 
 +
 
 +
===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Geben Sie die Impulsantwort $h_1(t)$ an. Zu welcher Zeit $t_1$ ist $h_1(t)$ auf die Hälfte seines Maximalwertes abgefallen?  
+
{State the impulse response&nbsp; $h_1(t)$&nbsp;. &nbsp;  At what time&nbsp; $t_1$&nbsp; has&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; decreased to half of its maximum value?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$t_1$ = { 0.693 5%  } ms
+
$t_1\ = \ $ { 0.693 5%  } $\ \rm ms$
  
  
{Wie lautet das Ausgangssignal $y_1(t)$ für $x(t) = T · h_1(t)$? Welche Signalwerte treten zu den Zeiten $t = 0$ und $t = T$ auf?  
+
{What is the output signal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; for&nbsp; $x(t) = T · h_1(t)$? &nbsp; What are the signal values at times&nbsp; $t = 0$&nbsp; and&nbsp; $t = T$&nbsp;?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$y_1(t = 0) \ =$ { 0. }   
+
$y_1(t = 0) \ = \ $ { 0. }   
$y_1(t = T) \ =$ { 0.368 5%  }
+
$y_1(t = T) \ = \ $ { 0.368 5%  }
  
  
{Berechnen Sie die Impulsantwort $h_2(t)$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses von 2). Zu welcher Zeit $t_2$ ist $h_2(t)$ maximal?
+
{Compute the impulse response&nbsp; $h_2(t)$&nbsp; considering the result of&nbsp; '''(2)'''. &nbsp;  At what time&nbsp; $t_2$&nbsp; is&nbsp; $h_2(t=t_2)$&nbsp; maximum?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$t_2 \ =$ { 1 } &nbsp;$\rm ms$
+
$t_2 \ = \ $ { 1 } &nbsp;$\rm ms$
$h_2(t = t_2) =$ { 368 3% } &nbsp;$\rm 1/s$
+
$h_2(t = t_2) \ = \ $ { 368 3% } &nbsp;$\rm 1/s$
  
  
{Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn man am Eingang eine Sprungfunktion $x(t) = {\rm 2V} · γ(t)$ anlegt? Welche Signalwerte treten bei $t = T$ und $t = 5T$ auf?  
+
{What is the output signal&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; if a step function&nbsp; $x(t) = {\rm 2 \hspace{0.05cm}V} · γ(t)$&nbsp; is applied to the input? &nbsp; What are the signal values at&nbsp; $t = T$&nbsp; and&nbsp; $t = 5T$&nbsp;?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$y_2(t = T) \ =$ { 0.528 5%  } &nbsp;$\rm V$
+
$y_2(t = T) \ = \ $ { 0.528 5%  } &nbsp;$\rm V$
$y_2(t = 5T) \ =$ { 1.919 5%  } &nbsp;$\rm V$
+
$y_2(t = 5T) \ = \ $ { 1.919 5%  } &nbsp;$\rm V$
  
  
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich dem Ausgangssignal, wenn am Eingang ein Diracimpuls mit Gewicht $1$ anliegt. Entsprechend der [[Aufgaben:1.3Z_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Musterlösung zu 1.3Z]] und obiger Skizze gilt:  
+
'''(1)'''&nbsp; By definition the impulse response is equal to the output signal if a Dirac delta function of weight&nbsp; $1$&nbsp; is applied to the input.  
$$h_1(t) = y_1(t) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
+
*According to the&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_1.3Z:_Exponentially_Decreasing_Impulse_Response|solution of Exercise 1.3Z]]&nbsp; and the sketch above the following holds:  
Für den Zeitpunkt $t_1$ soll gelten:
+
:$$h_1(t) = y_1(t) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
$$h_1(t_{\rm 1}) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t_{\rm 1}/T} = \frac{1}{2T}
+
*For the time&nbsp; $t_1$&nbsp; the following shall hold:
 +
:$$h_1(t_{\rm 1}) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t_{\rm 1}/T} = \frac{1}{2T}
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{t_{\rm 1}}/{T} = {\rm ln}(2)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}t_{\rm 1} = 0.693 \cdot T  \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.693\,\,ms}}.$$
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{t_{\rm 1}}/{T} = {\rm ln}(2)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}t_{\rm 1} = 0.693 \cdot T  \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.693\,\,ms}}.$$
  
'''(2)'''&nbsp; Das Eingangssignal $x(t)$ ist wie die Impulsantwort $h_1(t)$ ein exponentiell abfallender Impuls, jedoch dimensionslos. Somit gilt nach dem Faltungssatz:
 
[[File:P_ID830__LZI_A_1_4b.png | Zur Verdeutlichung der Faltungsoperation|rechts]]
 
$$y_1(t) = x (t) * h_1 (t) = T \cdot \left[ h_1 (t) * h_1 (t) \right].$$
 
  
Die Faltung ist für einen spezifischen Zeitpunkt $t$ in nebenstehender Skizze verdeutlicht.
 
  
Nach Variablenumbenennung erhält man:  
+
'''(2)'''&nbsp; The input signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; is an exponentially decreasing impulse like the impulse response&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; but dimensionless.
$$\begin{align*}h_1(\tau) & = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(t-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \\ & \Rightarrow\hspace{0.5cm}
+
[[File:P_ID830__LZI_A_1_4b.png |right|frame| Illustration of the convolution]]
 +
*Thus, according to the convolution theorem:
 +
 
 +
:$$y_1(t) = x (t) * h_1 (t) = T \cdot \big[ h_1 (t) * h_1 (t) \big].$$
 +
 
 +
*The convolution is illustrated here for a specific time&nbsp; $t$&nbsp; by a sketch.
 +
 
 +
*The following is obtained after renaming the variables:  
 +
:$$\begin{align*}h_1(\tau) & = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(t-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \\ & \Rightarrow\hspace{0.5cm}
 
y_1(t) =  T \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty }  h_1 ( {t - \tau } )\cdot {h_1 ( \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.\end{align*}$$
 
y_1(t) =  T \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty }  h_1 ( {t - \tau } )\cdot {h_1 ( \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.\end{align*}$$
Für $τ < 0$ ist $h_1(τ) = 0$. Für $τ > t$ verschwindet der erste Faltungsoperand (siehe Skizze). Daraus folgt:  
+
*For&nbsp; $τ < 0$&nbsp; the impulse response is&nbsp; $h_1(τ) = 0$. &nbsp; For&nbsp; $τ > t$&nbsp; the first convolution operand vanishes (see sketch). From this it follows that:  
$$y_1(t) =  T \cdot \frac{1}{T^2}\cdot \int_{ 0 }^{ t }  {\rm
+
:$$y_1(t) =  T \cdot \frac{1}{T^2}\cdot \int_{ 0 }^{ t }  {\rm
 
  e}^{(-t+\tau)/T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}  \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot \int_{ 0 }^{ t }  {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
 
  e}^{(-t+\tau)/T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}  \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot \int_{ 0 }^{ t }  {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
Man sieht, dass nun der Integrand unabhängig von der Integrationsvariablen $τ$ ist. Somit gilt:  
+
*Now,&nbsp; it can be observed that the integrand is independent of the integration variable&nbsp; $τ$.&nbsp; Consequently, the following holds:  
$$y_1(t) = {t}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow
+
:$$y_1(t) = {t}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow
 
\hspace{0.1cm} y_1(t =0) \hspace{0.15cm}\underline{=0}; \hspace{0.5cm}y_1(t =T)={\rm e}^{-1}  \hspace{0.15cm}\underline{=0.368}.$$
 
\hspace{0.1cm} y_1(t =0) \hspace{0.15cm}\underline{=0}; \hspace{0.5cm}y_1(t =T)={\rm e}^{-1}  \hspace{0.15cm}\underline{=0.368}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp;  Aufgrund von $H_2(f) = H_1(f) · H_1(f)$ gilt für die Impulsantwort:  &nbsp; $h_2(t) = h_1 (t) * h_1 (t).$
+
 
Bis auf den zusätzlichen konstanten Faktor $1/T$ erhält man das gleiche Ergebnis wie unter (2):  
+
'''(3)'''&nbsp;  Due to the interrelationship&nbsp; $H_2(f) = H_1(f) · H_1(f)$&nbsp; the following holds for the impulse response:  &nbsp; $h_2(t) = h_1 (t) * h_1 (t).$
$$h_2(t) ={t}/{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
+
*Except for the additional constant factor&nbsp; $1/T$&nbsp; the same result as in subtask&nbsp;  '''(2)''' is obtained:  
Der Maximalwert wird durch Nullsetzen der Ableitung ermittelt:  
+
:$$h_2(t) ={t}/{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
$$\begin{align*}\frac{{\rm d} h_2(t)}{{\rm d}t} & = \frac{1}{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T} \cdot \left( 1 - {t}/{T}\right) = 0  \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} t_{\rm 2}  \hspace{0.15cm}\underline{= T = 1\,\,{\rm ms}} \\ & \Rightarrow  \hspace{0.1cm} h_2(t_{\rm 2})  =\frac{{\rm e}^{-1}}{T}  =\frac{0.368}{1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 368 \hspace{0.1cm} 1/s}}.\end{align*}$$
+
*The maximum value is obtained by setting the derivative to zero:  
 +
:$$\frac{{\rm d} h_2(t)}{{\rm d}t} = \frac{1}{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T} \cdot \left( 1 - {t}/{T}\right) = 0  \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} t_{\rm 2}  \hspace{0.15cm}\underline{= T = 1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.5cm}\Rightarrow  \hspace{0.5cm} h_2(t_{\rm 2})  =\frac{{\rm e}^{-1}}{T}  =\frac{0.368}{1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 368 \hspace{0.1cm} 1/s}}.$$
 +
 
  
  
'''(4)'''&nbsp; Allgemein bzw. mit dem Ergebnis aus (3) gilt für die Sprungantwort:
+
'''(4)'''&nbsp; In general or with the result from&nbsp; '''(3)'''&nbsp; the following applies to the step response:
$${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t } {h_2 ( \tau  )}  \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =
+
:$${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t } {h_2 ( \tau  )}  \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =
 
  \frac{1}{T^2} \cdot \int_{ 0 }^{ t } \tau  \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau  .$$
 
  \frac{1}{T^2} \cdot \int_{ 0 }^{ t } \tau  \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau  .$$
Mit der Substitution $u = τ/T$ folgt daraus unter Verwendung des angegebenen Integrals:  
+
*With the substitution&nbsp; $u = τ/T$&nbsp; and using the given integral it follows that:  
$$\begin{align*}{\rm \sigma_2}(t) & = \int_{ 0 }^{ t /T} u  \cdot {\rm e}^{-u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u ={\rm e}^{-u} \cdot (-u-1)  |_{ 0 }^{ t /T}. \\ \Rightarrow \hspace{0.1cm}{\rm \sigma_2}(t)  & =
+
:$${\rm \sigma_2}(t)   = \int_{ 0 }^{ t /T} u  \cdot {\rm e}^{-u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u ={\rm e}^{-u} \cdot (-u-1)  |_{ 0 }^{ t /T} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm \sigma_2}(t)  =
  1- \left( 1 + {t}/{T} \right) \cdot {\rm e}^{-t/T}.\end{align*}$$
+
  1- \left( 1 + {t}/{T} \right) \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
Zu den angegebenen Zeitpunkten erhält man unter weiterer Berücksichtigung des Faktors $2\ \rm V$:  
+
*The following is obtained at the given times taking the factor&nbsp; $2\ \rm V$ further into account:  
$$\begin{align*}y_2(t = T) & = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 2 \cdot {\rm e}^{-1} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.528 \,V}}, \\ y_2(t = 5T) & = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 6 \cdot {\rm e}^{-5} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 1.919 \,V}}.\end{align*}$$
+
:$$y_2(t = T) = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 2 \cdot {\rm e}^{-1} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.528 \,V}},   \hspace{0.9cm}y_2(t = 5T) = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 6 \cdot {\rm e}^{-5} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 1.919 \,V}}.$$
Für noch größere Zeiten nähert sich $y_2(t)$ immer mehr dem Endwert $2\ \rm V$ an.  
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*For even larger times&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; approaches more and more the final value&nbsp; $2\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp;.  
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.2 Systembeschreibung im Zeitbereich^]]
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[[Category:Linear and Time-Invariant Systems: Exercises|^1.2 System Description in Time Domain^]]

Latest revision as of 00:51, 19 July 2021

Low-pass filter of first order (top)
and of second order (bottom)

In  Exercise 1.1  and  Exercise 1.1Z  of the chapter  System Description in Frequency Domain  the so-called  "RC low-pass filters"  were described in the frequency domain.  Now, the time domain representation is elaborated on.

The circuit with the input signal  $x(t)$  and the output signal  $y_1(t)$  is a low-pass filter of first order with frequency response

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0}}.$$

Here,  $f_0 = 1/(2πRC)$  indicates the 3dB cut-off frequency.  If a Dirac-shaped signal  $x(t) = δ(t)$  is applied to the input, the signal  $y_1(t)$  is given by the system output according to the sketch in the middle.

The relationship between the system parameters  $R$  (resistance),  $C$  (capacitance)   and  $T$  is (see  Exercise 1.3Z):

$$T = \frac{1}{\omega_{\rm 0}}= \frac{1}{2\pi f_{\rm 0}} = R \cdot C.$$

For numerical calculations   $T = 1 \ \rm ms$  shall be used in the following.

The circuit below with input  $x(t)$  and output  $y_2(t)$  represents a low-pass filter of second order:

$$H_{\rm 2}(f) = \big[H_{\rm 1}(f)\big]^2 =\frac{1}{(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0})^2}.$$
  • The impulse response associated with  $H_2(f)$  is  $h_2(t)$.
  • The system parameter  $f_0$  no longer indicates the 3dB cut-off frequency for a low-pass filter of second or higher order.
  • Furthermore, it should be noted that the two RC elements must be decoupled in order to achieve impedance matching.
  • An operational amplifier, for example, is suitable for this.  However, this hint is not relevant for the solution of this task.





Please note:

$$\int u \cdot {\rm e}^{a \cdot \hspace{0.03cm} u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u = \frac{{\rm e}^{\hspace{0.03cm}a \cdot \hspace{0.03cm} u}}{a^2} \cdot (a \cdot u -1).$$



Questions

1

State the impulse response  $h_1(t)$ .   At what time  $t_1$  has  $h_1(t)$  decreased to half of its maximum value?

$t_1\ = \ $

$\ \rm ms$

2

What is the output signal  $y_1(t)$  for  $x(t) = T · h_1(t)$?   What are the signal values at times  $t = 0$  and  $t = T$ ?

$y_1(t = 0) \ = \ $

$y_1(t = T) \ = \ $

3

Compute the impulse response  $h_2(t)$  considering the result of  (2).   At what time  $t_2$  is  $h_2(t=t_2)$  maximum?

$t_2 \ = \ $

 $\rm ms$
$h_2(t = t_2) \ = \ $

 $\rm 1/s$

4

What is the output signal  $y_2(t)$  if a step function  $x(t) = {\rm 2 \hspace{0.05cm}V} · γ(t)$  is applied to the input?   What are the signal values at  $t = T$  and  $t = 5T$ ?

$y_2(t = T) \ = \ $

 $\rm V$
$y_2(t = 5T) \ = \ $

 $\rm V$


Solution

(1)  By definition the impulse response is equal to the output signal if a Dirac delta function of weight  $1$  is applied to the input.

$$h_1(t) = y_1(t) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
  • For the time  $t_1$  the following shall hold:
$$h_1(t_{\rm 1}) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t_{\rm 1}/T} = \frac{1}{2T} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{t_{\rm 1}}/{T} = {\rm ln}(2)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}t_{\rm 1} = 0.693 \cdot T \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.693\,\,ms}}.$$


(2)  The input signal  $x(t)$  is an exponentially decreasing impulse like the impulse response  $h_1(t)$  but dimensionless.

Illustration of the convolution
  • Thus, according to the convolution theorem:
$$y_1(t) = x (t) * h_1 (t) = T \cdot \big[ h_1 (t) * h_1 (t) \big].$$
  • The convolution is illustrated here for a specific time  $t$  by a sketch.
  • The following is obtained after renaming the variables:
$$\begin{align*}h_1(\tau) & = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(t-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \\ & \Rightarrow\hspace{0.5cm} y_1(t) = T \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } h_1 ( {t - \tau } )\cdot {h_1 ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.\end{align*}$$
  • For  $τ < 0$  the impulse response is  $h_1(τ) = 0$.   For  $τ > t$  the first convolution operand vanishes (see sketch). From this it follows that:
$$y_1(t) = T \cdot \frac{1}{T^2}\cdot \int_{ 0 }^{ t } {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot \int_{ 0 }^{ t } {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
  • Now,  it can be observed that the integrand is independent of the integration variable  $τ$.  Consequently, the following holds:
$$y_1(t) = {t}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y_1(t =0) \hspace{0.15cm}\underline{=0}; \hspace{0.5cm}y_1(t =T)={\rm e}^{-1} \hspace{0.15cm}\underline{=0.368}.$$


(3)  Due to the interrelationship  $H_2(f) = H_1(f) · H_1(f)$  the following holds for the impulse response:   $h_2(t) = h_1 (t) * h_1 (t).$

  • Except for the additional constant factor  $1/T$  the same result as in subtask  (2) is obtained:
$$h_2(t) ={t}/{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
  • The maximum value is obtained by setting the derivative to zero:
$$\frac{{\rm d} h_2(t)}{{\rm d}t} = \frac{1}{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T} \cdot \left( 1 - {t}/{T}\right) = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} t_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline{= T = 1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} h_2(t_{\rm 2}) =\frac{{\rm e}^{-1}}{T} =\frac{0.368}{1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 368 \hspace{0.1cm} 1/s}}.$$


(4)  In general or with the result from  (3)  the following applies to the step response:

$${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t } {h_2 ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T^2} \cdot \int_{ 0 }^{ t } \tau \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
  • With the substitution  $u = τ/T$  and using the given integral it follows that:
$${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t /T} u \cdot {\rm e}^{-u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u ={\rm e}^{-u} \cdot (-u-1) |_{ 0 }^{ t /T} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm \sigma_2}(t) = 1- \left( 1 + {t}/{T} \right) \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
  • The following is obtained at the given times taking the factor  $2\ \rm V$ further into account:
$$y_2(t = T) = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 2 \cdot {\rm e}^{-1} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.528 \,V}}, \hspace{0.9cm}y_2(t = 5T) = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 6 \cdot {\rm e}^{-5} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 1.919 \,V}}.$$
  • For even larger times  $y_2(t)$  approaches more and more the final value  $2\hspace{0.05cm} \rm V$ .