Exercise 1.4: Low-Pass Filter of 2nd Order

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Low-pass filter of first order (top)
and of second order (bottom)

In  exercise 1.1  and  exercise 1.1Z  of the chapter  System Description in Frequency Domain  the so-called RC low-pass filters were described in the frequency domain. Now, the time domain representation is elaborated on.

The circuit sketched above with the input signal  $x(t)$  and the output signal  $y_1(t)$  is a low-pass filter of first order with the frequency response

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0}}.$$

Here,  $f_0 = 1/(2πRC)$  indicates the 3dB–cutoff frequency. If a Dirac-shaped signal  $x(t) = δ(t)$  is applied to the input, the signal  $y_1(t)$  is given by the system output according to the sketch in the middle.

The relationship between the system parameters  $R$,  $C$  and  $T$  is (see  exercise 1.3Z):

$$T = \frac{1}{\omega_{\rm 0}}= \frac{1}{2\pi f_{\rm 0}} = R \cdot C.$$

For numerical calculations   $T = 1 \ \rm ms$  shall be used in the following.


The circuit below with input  $x(t)$  and output  $y_2(t)$  represents a low-pass filter of second order:

$$H_{\rm 2}(f) = \big[H_{\rm 1}(f)\big]^2 =\frac{1}{(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0})^2}.$$
  • The impulse response associated with  $H_2(f)$  is  $h_2(t)$.
  • The system parameter  $f_0$  no longer indicates the 3dB–cutoff frequency for a low-pass filter of second or higher order.
  • Furthermore, it should be noted that the two RC elements must be decoupled in order to achieve impedance matching.
  • An operational amplifier, for example, is suitable for this. However, this hint is not relevant for the solution of this task.





Please note:

$$\int u \cdot {\rm e}^{a \cdot \hspace{0.03cm} u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u = \frac{{\rm e}^{\hspace{0.03cm}a \cdot \hspace{0.03cm} u}}{a^2} \cdot (a \cdot u -1).$$



Questions

1

State the impulse response  $h_1(t)$ .   At what time  $t_1$  has  $h_1(t)$  decreased to half of its maximum value?

$t_1\ = \ $

$\ \rm ms$

2

What is the output signal  $y_1(t)$  for  $x(t) = T · h_1(t)$?   What are the signal values at times  $t = 0$  and  $t = T$ ?

$y_1(t = 0) \ = \ $

$y_1(t = T) \ = \ $

3

Compute the impulse response  $h_2(t)$  considering the result of  (2).   At what time  $t_2$  is  $h_2(t=t_2)$  maximal?

$t_2 \ = \ $

 $\rm ms$
$h_2(t = t_2) \ = \ $

 $\rm 1/s$

4

What is the output signal  $y_2(t)$, if a step function  $x(t) = {\rm 2 \hspace{0.05cm}V} · γ(t)$  is applied to the input?   What are the signal values at  $t = T$  und  $t = 5T$ ?

$y_2(t = T) \ = \ $

 $\rm V$
$y_2(t = 5T) \ = \ $

 $\rm V$


Sample solution

(1)  Die Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich dem Ausgangssignal, wenn am Eingang ein Diracimpuls mit Gewicht  $1$  anliegt.

$$h_1(t) = y_1(t) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
  • Für den Zeitpunkt  $t_1$  soll gelten:
$$h_1(t_{\rm 1}) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t_{\rm 1}/T} = \frac{1}{2T} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{t_{\rm 1}}/{T} = {\rm ln}(2)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}t_{\rm 1} = 0.693 \cdot T \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.693\,\,ms}}.$$


(2)  Das Eingangssignal  $x(t)$  ist wie die Impulsantwort  $h_1(t)$  ein exponentiell abfallender Impuls, jedoch dimensionslos.

Zur Verdeutlichung der Faltung
  • Somit gilt nach dem Faltungssatz:
$$y_1(t) = x (t) * h_1 (t) = T \cdot \big[ h_1 (t) * h_1 (t) \big].$$
  • Die Faltung ist hier für einen spezifischen Zeitpunkt  $t$  durch eine Skizze verdeutlicht.
  • Nach Variablenumbenennung erhält man:
$$\begin{align*}h_1(\tau) & = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(t-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \\ & \Rightarrow\hspace{0.5cm} y_1(t) = T \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } h_1 ( {t - \tau } )\cdot {h_1 ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.\end{align*}$$
  • Für  $τ < 0$  ist  $h_1(τ) = 0$.   Für  $τ > t$  verschwindet der erste Faltungsoperand (siehe Skizze). Daraus folgt:
$$y_1(t) = T \cdot \frac{1}{T^2}\cdot \int_{ 0 }^{ t } {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot \int_{ 0 }^{ t } {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
  • Man sieht, dass nun der Integrand unabhängig von der Integrationsvariablen  $τ$  ist. Somit gilt:
$$y_1(t) = {t}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y_1(t =0) \hspace{0.15cm}\underline{=0}; \hspace{0.5cm}y_1(t =T)={\rm e}^{-1} \hspace{0.15cm}\underline{=0.368}.$$


(3)  Aufgrund des Zusammenhangs  $H_2(f) = H_1(f) · H_1(f)$  gilt für die Impulsantwort:   $h_2(t) = h_1 (t) * h_1 (t).$

  • Bis auf den zusätzlichen konstanten Faktor  $1/T$  erhält man das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe  (2):
$$h_2(t) ={t}/{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
  • Der Maximalwert wird durch Nullsetzen der Ableitung ermittelt:
$$\frac{{\rm d} h_2(t)}{{\rm d}t} = \frac{1}{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T} \cdot \left( 1 - {t}/{T}\right) = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} t_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline{= T = 1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} h_2(t_{\rm 2}) =\frac{{\rm e}^{-1}}{T} =\frac{0.368}{1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 368 \hspace{0.1cm} 1/s}}.$$


(4)  Allgemein bzw. mit dem Ergebnis aus  (3)  gilt für die Sprungantwort:

$${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t } {h_2 ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T^2} \cdot \int_{ 0 }^{ t } \tau \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
  • Mit der Substitution  $u = τ/T$  folgt daraus unter Verwendung des angegebenen Integrals:
$${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t /T} u \cdot {\rm e}^{-u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u ={\rm e}^{-u} \cdot (-u-1) |_{ 0 }^{ t /T} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm \sigma_2}(t) = 1- \left( 1 + {t}/{T} \right) \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
  • Zu den angegebenen Zeitpunkten erhält man unter weiterer Berücksichtigung des Faktors  $2\ \rm V$:
$$y_2(t = T) = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 2 \cdot {\rm e}^{-1} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.528 \,V}}, \hspace{0.9cm}y_2(t = 5T) = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 6 \cdot {\rm e}^{-5} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 1.919 \,V}}.$$
  • Für noch größere Zeiten nähert sich  $y_2(t)$  immer mehr dem Endwert  $2\hspace{0.05cm} \rm V$  an.