Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.5: Drawing Cards"

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{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit
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{{quiz-Header|Buchseite=Theory_of_Stochastic_Signals/Statistical_Dependence_and_Independence
 
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[[File:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wunschergebnis "Drei Asse"]]
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[[File:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wish result "Three aces"]]
Aus einem Kartenspiel mit  $32$  Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.
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From a deck of  $32$  cards, including four aces, three cards are drawn in succession.
  
*Für die Teilaufgabe  '''(1)'''  wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.
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*For subtask  '''(1)'''  it is assumed that after drawing a card it is put back into the deck, then the deck is reshuffled and the next card is drawn.
  
  
*Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab  '''(2)'''  davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
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*In contrast, for the other subtasks starting with  '''(2)'''  , you are supposed to assume that the three cards are drawn at once ("draw without putting back").
  
  
Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist  $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.
+
In the following, we denote by  $A_i$  the event that the card drawn at time  $i$  is an ace. Here  $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. The complementary event then states that some card other than an ace is drawn at time  $i$ .
  
  
  
  
 
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Hints:
 
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*The exercise belongs to the chapter  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Statistical_Dependence_and_Independence|Statistical dependence and independence]].
 
 
 
 
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
 
 
   
 
   
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 
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*The topic of this chapter is illustrated with examples in the   (German language)  learning video
::[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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:[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]   $\Rightarrow$   "Statistical dependence and independence".
  
  
  
===Fragebogen===
+
===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?
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{First, consider the case of "drawing with putting back". What is the probability&nbsp; $p_1$, that three aces are drawn?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }
 
$p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }
  
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_2$&nbsp; werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?&nbsp; Warum ist&nbsp; $p_2$&nbsp; kleiner/gleich/größer als&nbsp; $p_1$?
+
{What is the probability&nbsp; $p_2$&nbsp; that three aces will be drawn if the cards are not put back?&nbsp; Why is&nbsp; $p_2$&nbsp; smaller/equal/larger than&nbsp; $p_1$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p_2 \ =  \ $ { 0.0008 3% }
 
$p_2 \ =  \ $ { 0.0008 3% }
  
{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?
+
{BConsider further the case "drawing without putting back". What is the probability&nbsp; $p_3$ that not a single ace is drawn?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p_3 \ =  \ $ { 0.6605 3% }
 
$p_3 \ =  \ $ { 0.6605 3% }
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_4$, dass genau ein Ass gezogen wird?
+
{What is the probability&nbsp; $p_4$ that exactly one ace is drawn
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p_4 \ =  \ $ { 0.3048 3% }
 
$p_4 \ =  \ $ { 0.3048 3% }
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_5$, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind?&nbsp; <br>''Hinweis'':&nbsp; Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp; $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$&nbsp; ein vollständiges System beschreiben.
+
{What is the probability&nbsp; $p_5$ that two of the drawn cards are aces?&nbsp; <br>''Hint'':&nbsp; Consider that the four events „exactly&nbsp; $i$&nbsp; aces are drawn” with&nbsp; $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$&nbsp; describe a complete system.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p_5 \ =  \ $ { 0.0339 3% }
 
$p_5 \ =  \ $ { 0.0339 3% }
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</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Ass genau gleich gro&szlig;&nbsp; $(1/8)$:
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'''(1)'''&nbsp; For each card, the probability of an ace is exactly equal&nbsp; $(1/8)$:
 
:$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$
 
:$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$
  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Nun erh&auml;lt man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:
+
'''(2)'''&nbsp; Now, using the general multiplication theorem, we obtain:
 
:$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$
 
:$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$
*Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar.&nbsp; Man erhält hierfür&nbsp; $k/m$&nbsp; (bei&nbsp; $m$&nbsp; Karten sind noch&nbsp; $k$&nbsp; Asse im Stapel):
+
*The conditional probabilities are computable according to the classical definition.&nbsp; For this, one obtains&nbsp; $k/m$&nbsp; (with&nbsp; $m$&nbsp; cards, there are still&nbsp; $k$&nbsp; aces in the deck):
 
:$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
 
:$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
*Man erkennt: &nbsp;  $p_2$&nbsp; ist kleiner als&nbsp; $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
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*We can see: &nbsp;  $p_2$&nbsp; is smaller than&nbsp; $p_1$,, since now the second and third aces are less probable than before.
  
  
  
'''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erh&auml;lt man hier:
+
'''(3)'''&nbsp; Analogous to subtask&nbsp; '''(2)'''&nbsp;, we obtain here:
 
:$$p_{\rm 3} =  {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$
 
:$$p_{\rm 3} =  {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$
  
  
  
'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdr&uuml;cken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:
+
'''(4)'''&nbsp; This probability can be expressed as the sum of three probabilities, since the associated events are disjoint:
 
:$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
 
:$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
 
::$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
 
::$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
 
::$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
 
::$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
 
::$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) =  Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap  \overline{\it A_{\rm 2}} \cap  A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
 
::$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) =  Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap  \overline{\it A_{\rm 2}} \cap  A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
*Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich &ndash; warum sollte es auch anders sein?  
+
*These probabilities are all the same &ndash; why should it be any different?
  
*Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.  
+
*If you draw exactly one ace from three cards, it is just as likely whether you draw it first, second, or third.
  
*Damit erh&auml;lt man für die Summe&nbsp; $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.
+
*This gives&nbsp; $p_4 \; \underline{= 0.3048}$ for the sum.
  
  
  
'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i :=$&nbsp; "Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen" mit Index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
+
'''(5)'''&nbsp; If we define the events&nbsp; $E_i :=$&nbsp; "Exactly $i$ aces are drawn on three cards" with index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; then&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; and&nbsp; $E_3$&nbsp; describe a complete system. Therefore:
 
:$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 
:$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 
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Revision as of 21:53, 28 November 2021

Wish result "Three aces"

From a deck of  $32$  cards, including four aces, three cards are drawn in succession.

  • For subtask  (1)  it is assumed that after drawing a card it is put back into the deck, then the deck is reshuffled and the next card is drawn.


  • In contrast, for the other subtasks starting with  (2)  , you are supposed to assume that the three cards are drawn at once ("draw without putting back").


In the following, we denote by  $A_i$  the event that the card drawn at time  $i$  is an ace. Here  $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. The complementary event then states that some card other than an ace is drawn at time  $i$ .



Hints:

  • The topic of this chapter is illustrated with examples in the  (German language)  learning video
Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit   $\Rightarrow$   "Statistical dependence and independence".


Questions

1

First, consider the case of "drawing with putting back". What is the probability  $p_1$, that three aces are drawn?

$p_1 \ = \ $

2

What is the probability  $p_2$  that three aces will be drawn if the cards are not put back?  Why is  $p_2$  smaller/equal/larger than  $p_1$?

$p_2 \ = \ $

3

BConsider further the case "drawing without putting back". What is the probability  $p_3$ that not a single ace is drawn?

$p_3 \ = \ $

4

What is the probability  $p_4$ that exactly one ace is drawn

$p_4 \ = \ $

5

What is the probability  $p_5$ that two of the drawn cards are aces? 
Hint:  Consider that the four events „exactly  $i$  aces are drawn” with  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$  describe a complete system.

$p_5 \ = \ $


Solution

(1)  For each card, the probability of an ace is exactly equal  $(1/8)$:

$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$


(2)  Now, using the general multiplication theorem, we obtain:

$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$
  • The conditional probabilities are computable according to the classical definition.  For this, one obtains  $k/m$  (with  $m$  cards, there are still  $k$  aces in the deck):
$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
  • We can see:   $p_2$  is smaller than  $p_1$,, since now the second and third aces are less probable than before.


(3)  Analogous to subtask  (2) , we obtain here:

$$p_{\rm 3} = {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$


(4)  This probability can be expressed as the sum of three probabilities, since the associated events are disjoint:

$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) = {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) = \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) = Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
  • These probabilities are all the same – why should it be any different?
  • If you draw exactly one ace from three cards, it is just as likely whether you draw it first, second, or third.
  • This gives  $p_4 \; \underline{= 0.3048}$ for the sum.


(5)  If we define the events  $E_i :=$  "Exactly $i$ aces are drawn on three cards" with index  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$,
        then  $E_0$,  $E_1$,  $E_2$  and  $E_3$  describe a complete system. Therefore:

$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$