Exercise 1.6: Rectangular-in-Time Low-Pass Filter

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Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal (Aufgabe A1.6)

Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation. Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von –1 ms bis 1 ms konstant gleich $k$ und außerhalb 0; an den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt =$ 2 ms.


Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet: $$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$ Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein: $$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j2 \pi}f \tau}.$$ Für die Teilaufgaben a) bis d) gelte $τ =$ 0 und damit $H(f) = H_1(f)$. Mit dem Parameter $τ =$ 0 kann hierfür auch geschrieben werden ( $Δt =$ 2 ms): $$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$ Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠$ 0 nicht anwendbar ist: $$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$


Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.3.


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung, dass $H_1(f = 0) =$ 1 gelten soll.

$k =$

1/s

2

Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t =$ 0 symmetrisches Rechteck der Dauer $T =$ 2 ms und der Höhe 1 V. Es gelte $τ =$ 0. Welche Aussagen sind zutreffend?

$y(t)$ ist rechteckförmig.
$y(t)$ ist dreieckförmig.
$y(t)$ ist trapezförmig.
Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.

3

Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T =$ 1 ms besitzt?

$y(t)$ ist rechteckförmig.
$y(t)$ ist dreieckförmig.
$y(t)$ ist trapezförmig.
Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.

4

Es gelte weiter $τ =$ 0. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t =$ 0 von 0 auf 1 V springt. Welche Aussagen treffen zu?

$z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit.
$z(t)$ weist bei $t =$ 0 eine Sprungstelle auf.
Zum Zeitpunkt $t =$ 0 ist $z(t) =$ 0.
Für $t >$ 1 ms ist $z(t) =$ 0.

5

Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =$ 1 ms ist? Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 1 ms auf?

$z(t = 1 \rm \ ms) =$

V


Musterlösung

a) Die Bedingung $H(f = 0) =$ 1 bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich 1 ist. Daraus folgt: $$k = \frac{1}{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$


b) Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$. Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t =$ 0: $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int\limits_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$ Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2 \ und \ 4}$.


c) rechts Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze. Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von –0.5 ms bis 0.5 ms auf und beträgt $$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$ Richtig ist somit nur $\rm \underline{ \ die \ dritte \ Alternative}$.


d) rechts Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: $$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$$ Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt. Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit 1 V kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze ist das Integral über $δ(t)$ blau, die Funktion $–σ(t)$ rot und das gesamte Signal $z(t)$ grün gezeichnet.


$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t =$ 0: Der Signalwert bei $t =$ 0 liegt genau in der Mitte zwischen dem links- und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0. Für $t >$ 1 ms gilt ebenfalls $z(t) =$ 0, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist. Richtig sind somit die $\rm \underline{ \ Vorschläge \ 2, \ 3 \ und \ 4}$.


e) Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t =$ 0 auf 1 springt und bis zum Zeitpunkt $t =$ 2 ms auf den Endwert 0 abklingt. Zum Zeitpunkt $t =$ 1 ms ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) =$ 0.5.

rechts Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit 1 V zu multiplizieren. Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 =$ 1 ms ergibt sich zu $z(t_1) \rm \underline{\ = \ 0.5}$.