Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.1: Election Demand"

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Zu einer Bürgermeisterwahl treten die drei Kandidaten  $A$,  $B$  und  $C$  an.  
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In an election, the three candidates  $A$,  $B$  and  $C$  are running for mayor.  
*Gewählt ist derjenige Kandidat, der mehr als  $50\%$  der abgegebenen Stimmen erhält.  
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*The candidate who receives more than  $50\%$  of the votes cast is elected.  
*Gelingt dies im ersten Wahlgang keinem der drei Bewerber, so kommt es zwischen den beiden Kandidaten mit den meisten Stimmen zu einer Stichwahl.
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*If none of the three candidates succeeds in the first ballot, a run-off election shall be held between the two candidates with the most votes.
  
  
Direkt nach Schließung der Wahllokale wird das Ergebnis einer Wahlnachfrage vorgelegt:
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Immediately after the closing of the polling stations, the result of an election demand shall be presented:
  
:Kandidat  $A$:   $48\%$,         Kandidat  $B$:   $30\%$,           Kandidat  $C$:   $22\%$.  
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:Candidate  $A$:   $48\%$,       Candidate  $B$:   $30\%$,       Candidate  $C$:   $22\%$.  
  
Diese Nachfrage basiert auf einer Umfrage unter lediglich  $N = 2000$  der insgesamt  $N' = 800 \hspace{0.05cm}000$  Wählerinnen und Wähler.  
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This demand is based on a survey of only  $N = 2000$  of the total  $N' = 800 \hspace{0.05cm}000$  voters.  
  
Gehen Sie bei der Beantwortung der nachfolgenden Fragen von folgenden Voraussetzungen aus:
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In answering the following questions, assume the following:
  
*Die bei der Wahl von den Kandidaten  $A$,  $B$  und  $C$  tatsächlich erzielten (prozentualen) Stimmen können als die Wahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$,  $p_{\rm B}$  und  $p_{\rm C}$  aufgefasst werden, obwohl auch diese selbst als relative Häufigkeiten  $($bezogen auf  $N')$  ermittelt werden.
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*The actual (percentage) votes obtained in the election by candidates  $A$,  $B$  and  $C$  can be taken as the probabilities  $p_{\rm A}$,  $p_{\rm B}$  and  $p_{\rm C}$  although these are also themselves determined as relative frequencies  $($related to  $N')$  .
*Die  $2000$  ausgewählten Wähler repräsentieren die gesamte Wählerschaft im statistischen Sinne ideal und haben bei der Wahlnachfrage wahrheitsgemäß geantwortet.
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*The  $2000$  selected voters ideally represent the entire electorate in a statistical sense and answered truthfully when asked to vote.
*Nach dem  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße#Bernoullisches_Gesetz_der_gro.C3.9Fen_Zahlen|Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen]]  sollen die Ergebnisse dieser Nachfrage als relative Häufigkeiten aufgefasst werden:  
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*According to [[Theory_of_Stochastic_Signals/From_Random_Experiment_to_Random_Variable#Bernoulli.27s_law_of_large_numbers|Bernoulli's Law of Large Numbers]]  the results of this demand are to be understood as relative frequencies:  
 
:$$h_{\rm A} = 0.48,\hspace{0.8cm}h_{\rm B} = 0.30,\hspace{0.9cm} h_{\rm C} = 0.22.$$
 
:$$h_{\rm A} = 0.48,\hspace{0.8cm}h_{\rm B} = 0.30,\hspace{0.9cm} h_{\rm C} = 0.22.$$
  
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''Hinweise:''
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Hints:
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
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*The exercise belongs to the chapter  [[Theory_of_Stochastic_Signals/From_Random_Experiment_to_Random_Variable|From Random Experiment to Random Variable]].
 
   
 
   
*Die Thematik wird im Lernvideo  [[Bernoullisches_Gesetz_der_großen_Zahlen_(Lernvideo)|Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen]]  zusammengefasst.
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*The topic of this chapter is illustrated with examples in the   (German language)   learning video  [[Bernoullisches_Gesetz_der_großen_Zahlen_(Lernvideo)|Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen]]  $\Rightarrow$   Bernoulli's Law of Large Numbers.
  
  
  
===Fragebogen===
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===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>

Revision as of 22:01, 30 November 2021

Result of election demand

In an election, the three candidates  $A$,  $B$  and  $C$  are running for mayor.

  • The candidate who receives more than  $50\%$  of the votes cast is elected.
  • If none of the three candidates succeeds in the first ballot, a run-off election shall be held between the two candidates with the most votes.


Immediately after the closing of the polling stations, the result of an election demand shall be presented:

Candidate  $A$:   $48\%$,       Candidate  $B$:   $30\%$,       Candidate  $C$:   $22\%$.

This demand is based on a survey of only  $N = 2000$  of the total  $N' = 800 \hspace{0.05cm}000$  voters.

In answering the following questions, assume the following:

  • The actual (percentage) votes obtained in the election by candidates  $A$,  $B$  and  $C$  can be taken as the probabilities  $p_{\rm A}$,  $p_{\rm B}$  and  $p_{\rm C}$  although these are also themselves determined as relative frequencies  $($related to  $N')$  .
  • The  $2000$  selected voters ideally represent the entire electorate in a statistical sense and answered truthfully when asked to vote.
  • According to Bernoulli's Law of Large Numbers  the results of this demand are to be understood as relative frequencies:
$$h_{\rm A} = 0.48,\hspace{0.8cm}h_{\rm B} = 0.30,\hspace{0.9cm} h_{\rm C} = 0.22.$$




Hints:


Questions

1

Wen erwarten Sie nach dieser Nachfrage als zukünftigen Bürgermeister?

Kandidat  $A$,
Kandidat  $B$,
Kandidat  $C$.

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Stichwahl erforderlich sein wird?  Geben Sie hierfür die obere Schranke an.

$\text{Maximum: Pr(keine Stichwahl)} \ = \ $

$\ \rm \%$

3

Wir setzen nun voraus, dass Kandidat  $A$  tatsächlich genau  $48\%$  der Stimmen erhält.
Wie groß ist damit (höchstens) die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat  $C$  die Stichwahl erreicht?

$\text{Maximum: Pr(}C \ \text{in Stichwahl)}\ = \ $

$\ \rm \%$


Musterlösung

(1)  Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass  $\underline{\text{Kandidat} \ A}$  wahrscheinlich gewinnt.


(2)  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage  $(h_{\rm A})$  vom endgültigen Ergebnis  $(p_{\rm A})$  betragsmäßig um mehr als  $2\%$  abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der großen Zahlen mit  $N = 2000$:

$${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$
  • Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen Fälle, dass  $p_{\rm A} \le 46\%$  und  $p_{\rm A} \ge 50\%$  ist.
  • Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:
$${\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)} \le 0.156 \hspace{0.15cm}\underline{=15.6 \%}.$$


(3)  Mit  $\varepsilon = 4\%$  $($ergibt sich aus  $0.26 -0.22)$  liefert das Gesetz der großen Zahlen:

$${\rm Pr}\left(|h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$

Daraus folgt:

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat  $C$  mindestens  $26\%$  der Stimmen erhält, ist nicht größer als  $3.9\%$.
  • Da  $p_{\rm A} = 0.48$  fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig  $p_{\rm B} \le 0.26$.
  • Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgrößen handelt, sind  $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$  und  $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$  gleich.
  • Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $C$  die Stichwahl erreicht, ebenfalls auf  $3.9\%$  beschränkt:
$${\rm Pr(}C\rm \hspace{0.1cm}erreicht\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 0.039 \hspace{0.15cm}\underline{= 3.9 \%}.$$