Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.1Z: Different Signal Courses"

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[[File:P_ID59__Sto_Z_2_1.png|right|frame|Wertdiskret oder wertkontinuierlich?]]
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[[File:P_ID59__Sto_Z_2_1.png|right|frame|Discrete value or continuous value?]]
Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt.  Die ersten drei Signale  $\rm (A)$,  $\rm (B)$  und  $\rm (C)$  sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Der Momentanwert dieser Signale  $x(t)$  wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst.
+
On the right are shown five signals.  The first three signals  $\rm (A)$,  $\rm (B)$  and  $\rm (C)$  are periodic and thus also deterministic, the two lower signals have stochastic character. The current value of these signals  $x(t)$  is taken as a random quantity in each case.
  
Im Einzelnen sind dargestellt:
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Shown in detail are:
  
$\rm (A)$:   ein dreieckförmiges periodisches Signal,
+
$\rm (A)$:   a triangular-shaped periodic signal,
  
$\rm (B)$:   das Signal  $\rm (A)$  nach Einweggleichrichtung,
+
$\rm (B)$:   the signal  $\rm (A)$  after one-way rectification,
  
$\rm (C)$:   ein rechteckförmiges periodisches Signal,
+
$\rm (C)$:   a rectangular periodic signal,
  
$\rm (D)$:   ein rechteckförmiges Zufallssignal,
+
$\rm (D)$:   a rectangular random signal,
  
$\rm (E)$: &nbsp;&nbsp;das Zufallssignal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; nach &nbsp;AMI-Codierung; &nbsp; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; hierbei bleibt die "Null" erhalten, w&auml;hrend eine jede "Eins" alternierend mit "$+2\hspace{0.03cm}\rm V$" und "$-2\hspace{0.03cm} \rm V$" codiert wird.
+
$\rm (E)$: &nbsp;&nbsp;the random signal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; according to &nbsp;AMI coding; &nbsp; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; here the "zero" is preserved, while each "one" is alternately encoded with "$+2\hspace{0.03cm}\rm V$" and "$-2\hspace{0.03cm} \rm V$".
  
  
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''Hinweis:''
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Hints:
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
+
*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/From_Random_Experiment_to_Random_Variable|From Random Experiment to Random Variable]].
 
   
 
   
  
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===Fragebogen===
+
===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e? <br>&Uuml;berlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl&nbsp; $M$.
+
{For which signals does the current value describe a discrete random variable? <br>Consider also the respective number of steps&nbsp; $M$.
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
 
- Signal $\rm (A)$,
 
- Signal $\rm (A)$,
- Signal $\rm (B)$,
+
- signal $\rm (B)$,
+ Signal $\rm (C)$,
+
+ signal $\rm (C)$,
+ Signal $\rm (D)$,
+
+ signal $\rm (D)$,
+ Signal $\rm (E)$.
+
+ signal $\rm (E)$.
  
  
{Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine (ausschlie&szlig;lich) kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e?  
+
{For which signals is the current value (exclusively) a continuous random variable?  
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Signal $\rm (A)$,
+
+ signal $\rm (A)$,
- Signal $\rm (B)$,
+
- signal $\rm (B)$,
- Signal $\rm (C)$,
+
- signal $\rm (C)$,
- Signal $\rm (D)$,
+
- signal $\rm (D)$,
- Signal $\rm (E)$.
+
- signal $\rm (E)$.
  
  
{Welche Zufallsgr&ouml;&szlig;en besitzen einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil?
+
{Which random variables have a discrete and a continuous part?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
 
- Signal $\rm (A)$,
 
- Signal $\rm (A)$,
+ Signal $\rm (B)$,
+
+ signal $\rm (B)$,
- Signal $\rm (C)$,
+
- signal $\rm (C)$,
- Signal $\rm (D)$,
+
- signal $\rm (D)$,
- Signal $\rm (E)$.
+
- signal $\rm (E)$.
  
  
{F&uuml;r das Signal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; wird die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_0$&nbsp; empirisch &uuml;ber $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen&nbsp; $0.49$&nbsp; und&nbsp; $0.51$&nbsp; liegt?
+
{For the signal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; the relative frequency&nbsp; $h_0$&nbsp; is determined empirically over $100\hspace{0.03cm}000$ binary symbols. <br>Name a lower bound for the probability that the determined value lies between&nbsp; $0.49$&nbsp; and&nbsp; $0.51$&nbsp;?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 0.975 3% }
 
${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 0.975 3% }
  
  
{Wieviele Symbole&nbsp; $(N_\min)$&nbsp; m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, <br>dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis "Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen&nbsp; $0.499$&nbsp; und&nbsp; $0.501$" größer als&nbsp; $99\%$&nbsp; ist?
+
{How many symbols&nbsp; $(N_\min)$&nbsp; would you need to use for this investigation to ensure <br>that the probability for the event "The frequency so determined is between&nbsp; $0.499$&nbsp; and&nbsp; $0.501$" is greater than&nbsp; $99\%$&nbsp;?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$N_\min \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$
+
$N_\min \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$
  
  
Line 74: Line 74:
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>:
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>:

Revision as of 22:35, 30 November 2021

Discrete value or continuous value?

On the right are shown five signals.  The first three signals  $\rm (A)$,  $\rm (B)$  and  $\rm (C)$  are periodic and thus also deterministic, the two lower signals have stochastic character. The current value of these signals  $x(t)$  is taken as a random quantity in each case.

Shown in detail are:

$\rm (A)$:   a triangular-shaped periodic signal,

$\rm (B)$:   the signal  $\rm (A)$  after one-way rectification,

$\rm (C)$:   a rectangular periodic signal,

$\rm (D)$:   a rectangular random signal,

$\rm (E)$:   the random signal  $\rm (D)$  according to  AMI coding;  
          here the "zero" is preserved, while each "one" is alternately encoded with "$+2\hspace{0.03cm}\rm V$" and "$-2\hspace{0.03cm} \rm V$".




Hints:



Questions

1

For which signals does the current value describe a discrete random variable?
Consider also the respective number of steps  $M$.

Signal $\rm (A)$,
signal $\rm (B)$,
signal $\rm (C)$,
signal $\rm (D)$,
signal $\rm (E)$.

2

For which signals is the current value (exclusively) a continuous random variable?

signal $\rm (A)$,
signal $\rm (B)$,
signal $\rm (C)$,
signal $\rm (D)$,
signal $\rm (E)$.

3

Which random variables have a discrete and a continuous part?

Signal $\rm (A)$,
signal $\rm (B)$,
signal $\rm (C)$,
signal $\rm (D)$,
signal $\rm (E)$.

4

For the signal  $\rm (D)$  the relative frequency  $h_0$  is determined empirically over $100\hspace{0.03cm}000$ binary symbols.
Name a lower bound for the probability that the determined value lies between  $0.49$  and  $0.51$ ?

${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $

5

How many symbols  $(N_\min)$  would you need to use for this investigation to ensure
that the probability for the event "The frequency so determined is between  $0.499$  and  $0.501$" is greater than  $99\%$ ?

$N_\min \ = \ $

$\ \cdot 10^9$


Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 3, 4 und 5:

  • Die Zufallsgrößen  $\rm (C)$  und  $\rm (D)$  sind binär  $(M= 2)$,
  • während die Zufallsgröße  $\rm (E)$  dreiwertig ist   $(M= 3)$.


(2)  Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 1:

  • Die Zufallsgröße  $\rm (A)$  ist wertkontinuierlich und kann alle Werte zwischen  $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
  • Alle anderen Zufallsgrößen sind wertdiskret.


(3)  Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 2:

  • Nur die Zufallsgröße  $\rm (B)$  hat einen diskreten Anteil bei  $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und
  • außerdem noch eine kontinuierliche Komponente  (zwischen  $0\hspace{0.03cm} \rm V$  und  $+2\hspace{0.03cm}\rm V)$.


(4)  Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt:

$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
  • Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$


(5)  Mit  $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$  und  $\varepsilon = 0.001$  gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen:

$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
  • Aufgelöst nach  $N$  erhält man:
$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$