Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.2: DC Component of Signals"
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Die Grafik zeigt einige Zeitsignale, die für alle Zeiten (von $-\infty$ bis $+\infty$) definiert sind. Bei allen sechs Beispielsignalen $x_i(t)$ kann für die zugehörige Spektralfunktion geschrieben werden: | Die Grafik zeigt einige Zeitsignale, die für alle Zeiten (von $-\infty$ bis $+\infty$) definiert sind. Bei allen sechs Beispielsignalen $x_i(t)$ kann für die zugehörige Spektralfunktion geschrieben werden: | ||
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*$A_0$ den Gleichsignalanteil, und | *$A_0$ den Gleichsignalanteil, und | ||
*$\Delta X_i(f)$ das Spektrum des um den Gleichanteil verminderten Restsignals $\Delta x_i(t) = x_i(t) - A_0$. | *$\Delta X_i(f)$ das Spektrum des um den Gleichanteil verminderten Restsignals $\Delta x_i(t) = x_i(t) - A_0$. | ||
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Alle Signale mit Ausnahme von $x_2(t)$ beinhalten einen Gleichsignalanteil ⇒ Richtig sind somit die <u>Antworten 1, 3, 4, 5 und 6</u>. |
| − | '''2 | + | |
| + | '''(2)''' Subtrahiert man vom Signal $x_5(t)$ den Gleichanteil $1\text{V}$, so ist das Restsignal $\Delta x_5(t) = x5(t) – 1\text{V}$ gleich Null. Dementspechend ist auch die Spektralfunktion $\Delta X_5(f) = 0$. | ||
Bei allen anderen Zeitverläufen ist $\Delta x_i(t)$ ungleich $0$ und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion $\Delta X_i(f)$ ⇒ Richtig ist <u>allein der Lösungsvorschlag 5</u>. | Bei allen anderen Zeitverläufen ist $\Delta x_i(t)$ ungleich $0$ und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion $\Delta X_i(f)$ ⇒ Richtig ist <u>allein der Lösungsvorschlag 5</u>. | ||
| − | '''3 | + | |
| + | '''(3)''' Bei einem periodischen Signal genügt zur Berechnung des Gleichsignalanteils $A_0$ die Mittelung über eine Periodendauer. Beim Beispielsignal $x_3(t)$ ist diese $T_0 = 3\,\text{ms}$. Damit ergibt sich der gesuchte Gleichanteil zu | ||
$$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot [1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms] | $$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot [1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms] | ||
\hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$ | \hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$ | ||
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| − | '''5.''' Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet: | + | '''(4)''' Für das Signal $x_4(t)$ kann geschrieben werden: $x_4(t) = 0.5 \,{\rm V} + Δx_4(t)$. Hierbei bezeichnet $Δx_4(t)$ einen Rechteckimpuls der Amplitude $0.5 \,{\rm V} $ und der Dauer $4 \,{\rm ms} $, der aufgrund seiner endlichen Dauer nicht zum Gleichsignalanteil beiträgt. Deshalb gilt hier $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$. |
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| + | '''(5)''' Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet: | ||
$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$ | $$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$ | ||
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$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V\cdot\, {\rm d }{\it t }.$$ | $$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V\cdot\, {\rm d }{\it t }.$$ | ||
| − | Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum $A_0 \underline{=0.5 \,{\rm V}}$. | + | Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$. |
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Revision as of 11:20, 20 December 2017
Die Grafik zeigt einige Zeitsignale, die für alle Zeiten (von $-\infty$ bis $+\infty$) definiert sind. Bei allen sechs Beispielsignalen $x_i(t)$ kann für die zugehörige Spektralfunktion geschrieben werden:
$$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$
Hierbei bezeichnen
- $A_0$ den Gleichsignalanteil, und
- $\Delta X_i(f)$ das Spektrum des um den Gleichanteil verminderten Restsignals $\Delta x_i(t) = x_i(t) - A_0$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Subtrahiert man vom Signal $x_5(t)$ den Gleichanteil $1\text{V}$, so ist das Restsignal $\Delta x_5(t) = x5(t) – 1\text{V}$ gleich Null. Dementspechend ist auch die Spektralfunktion $\Delta X_5(f) = 0$.
Bei allen anderen Zeitverläufen ist $\Delta x_i(t)$ ungleich $0$ und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion $\Delta X_i(f)$ ⇒ Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 5.
(3) Bei einem periodischen Signal genügt zur Berechnung des Gleichsignalanteils $A_0$ die Mittelung über eine Periodendauer. Beim Beispielsignal $x_3(t)$ ist diese $T_0 = 3\,\text{ms}$. Damit ergibt sich der gesuchte Gleichanteil zu
$$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot [1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms] \hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$
(4) Für das Signal $x_4(t)$ kann geschrieben werden: $x_4(t) = 0.5 \,{\rm V} + Δx_4(t)$. Hierbei bezeichnet $Δx_4(t)$ einen Rechteckimpuls der Amplitude $0.5 \,{\rm V} $ und der Dauer $4 \,{\rm ms} $, der aufgrund seiner endlichen Dauer nicht zum Gleichsignalanteil beiträgt. Deshalb gilt hier $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.
(5) Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet:
$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$
Spaltet man dieses Integral in zwei Teilintegrale auf, so erhält man:
$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V\cdot\, {\rm d }{\it t }.$$
Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.
