Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.2: DC Component of Signals"

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{Welche der Signale beinhalten einen Gleichanteil, das heißt, bei welchen Signalen ist&nbsp; $A_0 \neq 0$?
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{Which of the signals contains a DC component, i.e. for which signals is &nbsp; $A_0 \neq 0$?
 
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+ Signal&nbsp; $x_1(t),$
 
+ Signal&nbsp; $x_1(t),$
- Signal&nbsp; $x_2(t),$
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- signal&nbsp; $x_2(t),$
+ Signal&nbsp; $x_3(t),$
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+ signal&nbsp; $x_3(t),$
+ Signal&nbsp; $x_4(t),$
+
+ signal&nbsp; $x_4(t),$
+ Signal&nbsp; $x_5(t),$
+
+ signal&nbsp; $x_5(t),$
+ Signal&nbsp; $x_6(t).$
+
+ signal&nbsp; $x_6(t).$
  
  
{Bei welchen der Signale gilt für das „Restspektrum”&nbsp; $\Delta X_i(f) =0$?
+
{For which of the signals is the „residual spectrum”&nbsp; $\Delta X_i(f) =0$?
 
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- Signal&nbsp; $x_1(t),$
 
- Signal&nbsp; $x_1(t),$
- Signal&nbsp; $x_2(t),$
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- signal&nbsp; $x_2(t),$
- Signal&nbsp; $x_3(t),$
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- signal&nbsp; $x_3(t),$
- Signal&nbsp; $x_4(t),$
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- signal&nbsp; $x_4(t),$
+ Signal&nbsp; $x_5(t),$
+
+ signal&nbsp; $x_5(t),$
- Signal&nbsp; $x_6(t).$
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- signal&nbsp; $x_6(t).$
  
  
{Wie groß ist der Gleichanteil des Signals&nbsp; $x_3(t)$?
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{What is the DC component of the signal&nbsp; $x_3(t)$?
 
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$x_3(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0 \ = \ $  { -0.35--0.31 } &nbsp; ${\rm V}$  
 
$x_3(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0 \ = \ $  { -0.35--0.31 } &nbsp; ${\rm V}$  
  
{Wie groß ist der Gleichanteil des Signals&nbsp; $x_4(t)$?
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{What is the DC component of the signal&nbsp; $x_4(t)$?
 
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$x_4(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp; ${\rm V}$  
 
$x_4(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp; ${\rm V}$  
  
{Wie groß ist der Gleichanteil des Signals&nbsp; $x_6(t)$?
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{What is the DC component of the signal&nbsp; $x_6(t)$?
 
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$x_6(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp; ${\rm V}$  
 
$x_6(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp; ${\rm V}$  
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===Musterlösung===
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===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1, 3, 4, 5 und 6</u>.
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'''(1)'''&nbsp; The correct <u>answers are 1, 3, 4, 5 and 6</u>.
*Alle Signale mit Ausnahme von&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; beinhalten einen Gleichsignalanteil.  
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*All signals except&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; contain a DC signal component.
  
  
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'''(2)'''&nbsp; Only <u>solution 5 is correct</u>:
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*If the DC component &nbsp; $1\text{V}$ is subtracted from the signal &nbsp; $x_5(t)$&nbsp;, the residual signal&nbsp; $\Delta x_5(t) = x5(t) - 1\text{V}$&nbsp; is equal to zero.
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*Accordignly, the spectral function is&nbsp; $\Delta X_5(f) = 0$.
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*For all other time courses&nbsp; $\Delta x_i(t)$&nbsp; is not equal to zero and thus the associated spectral function &nbsp; $\Delta X_i(f)$ is also not equal to zero.
  
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist <u>allein der Lösungsvorschlag 5</u>:
 
*Subtrahiert man vom Signal&nbsp; $x_5(t)$&nbsp; den Gleichanteil&nbsp; $1\text{V}$, so ist das Restsignal&nbsp; $\Delta x_5(t) = x5(t) - 1\text{V}$&nbsp; gleich Null.
 
*Dementspechend ist auch die Spektralfunktion&nbsp; $\Delta X_5(f) = 0$.
 
*Bei allen anderen Zeitverläufen ist&nbsp; $\Delta x_i(t)$&nbsp; ungleich Null und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion&nbsp; $\Delta X_i(f)$.
 
  
  
 
+
'''(3)'''&nbsp; With a periodic signal, averaging over a period duration is sufficient to calculate the DC signal component&nbsp; $A_0$&nbsp;.  
'''(3)'''&nbsp; Bei einem periodischen Signal genügt zur Berechnung des Gleichsignalanteils&nbsp; $A_0$&nbsp; die Mittelung über eine Periodendauer.  
 
 
*Beim Beispielsignal&nbsp;  $x_3(t)$&nbsp; ist diese&nbsp; $T_0 = 3\,\text{ms}$. Damit ergibt sich der gesuchte Gleichanteil zu
 
*Beim Beispielsignal&nbsp;  $x_3(t)$&nbsp; ist diese&nbsp; $T_0 = 3\,\text{ms}$. Damit ergibt sich der gesuchte Gleichanteil zu
 
   
 
   

Revision as of 02:40, 4 January 2021

Rechtecksignale mit und ohne Gleichanteil

The graph shows some time signals defined for all times $($from  $-\infty$  to  $+\infty)$ . For all six sample signals  $x_i(t)$  the associated spectral function can be written as:

$$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$

Here

  • $A_0$  is the DC component, and
  • $\Delta X_i(f)$  is the spectrum of the residual signal reduced by the DC component  $\Delta x_i(t) = x_i(t) - A_0$.





Hint:




Questions

1

Which of the signals contains a DC component, i.e. for which signals is   $A_0 \neq 0$?

Signal  $x_1(t),$
signal  $x_2(t),$
signal  $x_3(t),$
signal  $x_4(t),$
signal  $x_5(t),$
signal  $x_6(t).$

2

For which of the signals is the „residual spectrum”  $\Delta X_i(f) =0$?

Signal  $x_1(t),$
signal  $x_2(t),$
signal  $x_3(t),$
signal  $x_4(t),$
signal  $x_5(t),$
signal  $x_6(t).$

3

What is the DC component of the signal  $x_3(t)$?

$x_3(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0 \ = \ $

  ${\rm V}$

4

What is the DC component of the signal  $x_4(t)$?

$x_4(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $

  ${\rm V}$

5

What is the DC component of the signal  $x_6(t)$?

$x_6(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $

  ${\rm V}$


Solution

(1)  The correct answers are 1, 3, 4, 5 and 6.

  • All signals except  $x_2(t)$  contain a DC signal component.


(2)  Only solution 5 is correct:

  • If the DC component   $1\text{V}$ is subtracted from the signal   $x_5(t)$ , the residual signal  $\Delta x_5(t) = x5(t) - 1\text{V}$  is equal to zero.
  • Accordignly, the spectral function is  $\Delta X_5(f) = 0$.
  • For all other time courses  $\Delta x_i(t)$  is not equal to zero and thus the associated spectral function   $\Delta X_i(f)$ is also not equal to zero.


(3)  With a periodic signal, averaging over a period duration is sufficient to calculate the DC signal component  $A_0$ .

  • Beim Beispielsignal  $x_3(t)$  ist diese  $T_0 = 3\,\text{ms}$. Damit ergibt sich der gesuchte Gleichanteil zu
$$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot \big[1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms \big] \hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$


(4)  Für das Signal  $x_4(t)$  kann geschrieben werden:  $x_4(t) = 0.5 \,{\rm V} + Δx_4(t)$.

  • Hierbei bezeichnet  $Δx_4(t)$  einen Rechteckimpuls mit Amplitude  $0.5 \,{\rm V} $  und Dauer  $4 \,{\rm ms} $, der wegen seiner endlichen Dauer nicht zum Gleichsignalanteil beiträgt.
  • Deshalb gilt hier  $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.


(5)  Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet:

$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$
  • Spaltet man dieses Integral in zwei Teilintegrale auf, so erhält man:
$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V \ {\rm d }{\it t }.$$
  • Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum  $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.