Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.2: DC Component of Signals"

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{{quiz-Header|Buchseite=*Buch*/*Kapitel*
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{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals
 
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[[File:P_ID273__Sig_A_2_2.png|250px|right|Rechtecksignale mit und ohne Gleichanteil (Aufgabe A2.2)]]
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[[File:P_ID273__Sig_A_2_2.png|right|frame|Square wave signal with/ without DC component]]
  
In der Grafik sehen Sie einige Zeitsignale, die für alle Zeiten (von $-\infty$ bis $+\infty$) definiert sind. Bei allen sechs Beispielsignalen $x_i(t)$ kann für die dazugehörige Spektralfunktion geschrieben werden:
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The graph shows six time signals defined for all times $($from  $-\infty$  to  $+\infty)$.  For all sample signals  $x_i(t)$  the associated spectral function can be written as:
 
   
 
   
$$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$
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:$$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$
  
Hierbei bezeichnen
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Here:
*$A_0$ den Gleichsignalanteil, und
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*$A_0$  is the DC component of the signal.
*$\Delta X_i(f)$ das Spektrum des um diesen Gleichanteil verminderten Restsignals $\Delta x_i(t) = x_i(t) A_0$.
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*$\Delta X_i(f)$  is the spectrum of the residual signal reduced by the DC component: 
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:$$\Delta x_i(t) = x_i(t) - A_0.$$
  
  
===Fragebogen===
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''Hint:''
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*This exercise belongs to the chapter&nbsp; <br>[[Signal_Representation/Direct_Current_Signal_-_Limit_Case_of_a_Periodic_Signal|Direct Current Signal - Limit Case of a Periodic Signal]].
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===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welches der Signale beinhaltet einen Gleichanteil, das heißt, bei welchen Signalen ist $A_0 \neq 0$?
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{Which of the signals contains a DC component, i.e. for which signals is &nbsp; $A_0 \neq 0$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Signal $x_1(t)$
+
+ Signal&nbsp; $x_1(t),$
- Signal $x_2(t)$
+
- signal&nbsp; $x_2(t),$
+ Signal $x_3(t)$
+
+ signal&nbsp; $x_3(t),$
+ Signal $x_4(t)$
+
+ signal&nbsp; $x_4(t),$
+ Signal $x_5(t)$
+
+ signal&nbsp; $x_5(t),$
+ Signal $x_6(t)$
+
+ signal&nbsp; $x_6(t).$
  
  
{Bei welchen der Signale gilt für das „Restspektrum” $\Delta X_i(f) =0$?
+
{For which of the signals is the „residual spectrum”&nbsp; $\Delta X_i(f) =0$?
 
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- Signal $x_1(t)$
+
- Signal&nbsp; $x_1(t),$
- Signal $x_2(t)$
+
- signal&nbsp; $x_2(t),$
- Signal $x_3(t)$
+
- signal&nbsp; $x_3(t),$
- Signal $x_4(t)$
+
- signal&nbsp; $x_4(t),$
+ Signal $x_5(t)$
+
+ signal&nbsp; $x_5(t),$
- Signal $x_6(t)$
+
- signal&nbsp; $x_6(t).$
  
  
{Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $x_3(t)$?
+
{What is the DC component of the signal&nbsp; $x_3(t)$?
 
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$x_3(t):A_0$ = { 0.333 3% } V  
+
$x_3(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0 \ = \ $ { -0.35--0.31 } &nbsp; ${\rm V}$
 
 
  
{Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $x_4(t)$?
+
{What is the DC component of the signal&nbsp; $x_4(t)$?
 
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$x_4(t):A_0$ = { 0.5 3% } V  
+
$x_4(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp; ${\rm V}$
  
{Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $x_6(t)$?
+
{What is the DC component of the signal&nbsp; $x_6(t)$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$x_6(t):A_0$ = { 0.5 3% } V  
+
$x_6(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp; ${\rm V}$
  
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung zu "A1.1 Musiksignale"===
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===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Alle Signale mit Ausnahme von $x_2(t)$ beinhalten einen Gleichsignalanteil  ⇒  Richtig sind somit die Antworten 1, 3, 4, 5 und 6.
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'''(1)'''&nbsp; The correct <u>answers are 1, 3, 4, 5 and 6</u>.
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*All signals except&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; contain a DC signal component.
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'''2.''' Subtrahiert man vom Signal $x_5(t)$ den Gleichanteil 1V, so ist das Restsignal $\Delta x_5(t) = x5(t) 1\text{V}$ gleich Null. Dementspechend ist auch die Spektralfunktion $\Delta X_5(f) = 0$. Bei allen anderen Zeitverläufen ist $\Delta x_i(t)$ ungleich 0 und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion $\Delta X_i(f)$ ⇒  Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 5.
+
'''(2)'''&nbsp; Only <u>solution 5 is correct</u>:
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*If the DC component &nbsp; $1\text{V}$ is subtracted from the signal &nbsp; $x_5(t)$,&nbsp; the residual signal&nbsp; $\Delta x_5(t) = x5(t) - 1\text{V}$&nbsp; is  zero.  
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*Accordignly, the spectral function is&nbsp; $\Delta X_5(f) = 0$.  
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*For all other time courses&nbsp; $\Delta x_i(t)ßne 0$&nbsp; and thus the associated spectral function &nbsp; $\Delta X_i(f)\ne 0$,&nbsp; too.  
  
'''3.''' Bei einem periodischen Signal genügt zur Berechnung des Gleichsignalanteils die Mittelung über eine Periode (hier: 3 ms). Damit ergibt sich der Gleichanteil zu
+
 
+
 
$$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}(1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms)
+
'''(3)'''&nbsp; Given a periodic signal, averaging over a period duration is sufficient to calculate the DC signal component&nbsp; $A_0$&nbsp;.
 +
*For signal&nbsp;  $x_3(t)$&nbsp; the period duration is&nbsp; $T_0 = 3\,\text{ms}$.&nbsp; This results in the required DC component:$$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot \big[1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms \big]
 
\hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$
  
'''4.''' Für das Signal x4(t) kann geschrieben werden: x4(t) = 0.5 V + Δx4(t). Hierbei bezeichnet Δx4(t) einen Rechteckimpuls der Amplitude 0.5 V und der Dauer 4 ms, der aufgrund seiner endlichen Dauer nicht zum Gleichsignalanteil beiträgt. Deshalb gilt hier A0 = 0.5 V.
+
 
'''5.''' Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet:
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'''(4)'''&nbsp; The signal&nbsp; $x_4(t)$&nbsp; can be written as:&nbsp; $x_4(t) = 0.5 \,{\rm V} + Δx_4(t)$.  
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*Here&nbsp; $Δx_4(t)$&nbsp; denotes a rectangular pulse with amplitude&nbsp; $0.5 \,{\rm V} $&nbsp; and duration&nbsp; $4 \,{\rm ms} $,  
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*which due to its finite duration does not contribute to the DC signal component.  
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*Therefore&nbsp; $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$ applies here.
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'''(5)'''&nbsp; The general equation for calculating the DC signal component is:
 
   
 
   
$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$
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:$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$
  
Spaltet man dieses Integral in zwei Teilintegrale auf, so erhält man:
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*If one splits this integral into two partial integrals, one obtains:
 
   
 
   
$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{T_{\rm M}/2}1 \rm V\cdot\, {\rm d }{\it t }.$$
+
:$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V \ {\rm d }{\it t }.$$
  
Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum A0 = 0.5 V.
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*Only the second term makes a contribution.&nbsp; From this follows again :&nbsp; $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
 
__NOEDITSECTION__
 
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^Kapitelx^]]
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[[Category:Signal Representation: Exercises|^2.2 Direct Current Signal^]]

Latest revision as of 17:30, 17 May 2021

Square wave signal with/ without DC component

The graph shows six time signals defined for all times $($from  $-\infty$  to  $+\infty)$.  For all sample signals  $x_i(t)$  the associated spectral function can be written as:

$$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$

Here:

  • $A_0$  is the DC component of the signal.
  • $\Delta X_i(f)$  is the spectrum of the residual signal reduced by the DC component: 
$$\Delta x_i(t) = x_i(t) - A_0.$$


Hint:



Questions

1

Which of the signals contains a DC component, i.e. for which signals is   $A_0 \neq 0$?

Signal  $x_1(t),$
signal  $x_2(t),$
signal  $x_3(t),$
signal  $x_4(t),$
signal  $x_5(t),$
signal  $x_6(t).$

2

For which of the signals is the „residual spectrum”  $\Delta X_i(f) =0$?

Signal  $x_1(t),$
signal  $x_2(t),$
signal  $x_3(t),$
signal  $x_4(t),$
signal  $x_5(t),$
signal  $x_6(t).$

3

What is the DC component of the signal  $x_3(t)$?

$x_3(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0 \ = \ $

  ${\rm V}$

4

What is the DC component of the signal  $x_4(t)$?

$x_4(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $

  ${\rm V}$

5

What is the DC component of the signal  $x_6(t)$?

$x_6(t)\hspace{-0.1cm}:\,\,A_0\ = \ $

  ${\rm V}$


Solution

(1)  The correct answers are 1, 3, 4, 5 and 6.

  • All signals except  $x_2(t)$  contain a DC signal component.


(2)  Only solution 5 is correct:

  • If the DC component   $1\text{V}$ is subtracted from the signal   $x_5(t)$,  the residual signal  $\Delta x_5(t) = x5(t) - 1\text{V}$  is zero.
  • Accordignly, the spectral function is  $\Delta X_5(f) = 0$.
  • For all other time courses  $\Delta x_i(t)ßne 0$  and thus the associated spectral function   $\Delta X_i(f)\ne 0$,  too.


(3)  Given a periodic signal, averaging over a period duration is sufficient to calculate the DC signal component  $A_0$ .

  • For signal  $x_3(t)$  the period duration is  $T_0 = 3\,\text{ms}$.  This results in the required DC component:$$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot \big[1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms \big] \hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$


(4)  The signal  $x_4(t)$  can be written as:  $x_4(t) = 0.5 \,{\rm V} + Δx_4(t)$.

  • Here  $Δx_4(t)$  denotes a rectangular pulse with amplitude  $0.5 \,{\rm V} $  and duration  $4 \,{\rm ms} $,
  • which due to its finite duration does not contribute to the DC signal component.
  • Therefore  $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$ applies here.


(5)  The general equation for calculating the DC signal component is:

$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$
  • If one splits this integral into two partial integrals, one obtains:
$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V \ {\rm d }{\it t }.$$
  • Only the second term makes a contribution.  From this follows again :  $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.