Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.3: DSB-AM Realization"

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{Multiple-Choice Frage
+
{In welchem Wertebereich kann das Eingangssignal $x(t)$ variieren? Geben Sie den Minimal– und Maximalwert der Hilfsgröße $w(t) = x(t) – A_0$ ein.
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+
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- Falsch
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$w_{min}$ = { -2 3% } $\text{V}$
+ Richtig
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$w_{max}$ = { 2 3% } $\text{V}$
  
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{Berechnen Sie die Koeffizienten $c_0$ und $c_1$ der Taylorreihe.
 +
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 +
$c_0$ = { 1.46 3% } $\text{V}$
 +
$c_1$ = { 0.513 3% }
  
{Input-Box Frage
+
{Wie lauten die Koeffizienten $c_2$ und $c_3$ der nichtlinearen Kennlinie?
 
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$\alpha$ = { 0.3 }
+
$c_2$ = { -0.086 3% }   $V^{ -1 }$
 
+
$c_3$ = { 0.0095 3% }  $V^{ -2 }$
  
 +
{Zeigen Sie, dass sich eine „ZSB–AM mit Träger”–Konstellation ergibt, wenn man $c_3$ als vernachlässigbar klein betrachtet. Wie groß ist der Modulationsgrad?
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|type="{}"}
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$m$ = { 0.335 3% }
  
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{Welche der Aussagen treffen unter der Voraussetzung zu, dass man $c_3$ nicht als vernachlässigbar klein betrachtet?
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 +
- Das Gewicht der Spektrallinie bei $f_T$ wird nicht verändert.
 +
+ $s(t)$ beinhaltet nun auch Diraclinien bei $f_T ± 2f_N$.
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+ Der kubische Term führt zu nichtlinearen Verzerrungen.
 +
- Der kubische Term führt zu linearen Verzerrungen.
 
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Revision as of 16:33, 28 December 2016

P ID1000 Mod A 2 3.png

Zur Realisierung der so genannten „ZSB–AM mit Träger” soll ein Verstärker mit der Kennlinie $$y = g(x) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-x/U}\right)$$ verwendet werden. Hierbei sind $x = x(t)$ und $y = y(t)$ als zeitabhängige Spannungen am Eingang bzw. Ausgang des Verstärkers zu verstehen. Der Parameter $U = 3 V$ gibt die Sättigungsspannung des Verstärkers an.

Diese Kennlinie wird im Arbeitspunkt $A_0 = 2 V$ betrieben. Dies erreicht man beispielsweise durch das Eingangssignal $$x(t) = A_0 + z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$ Setzen Sie für das Trägersignal und das Quellensignal jeweils Cosinusschwingungen voraus: $$ z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm T} = 30\,{\rm kHz},$$ $$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ Verwenden Sie bei der Lösung dieser Aufgabe die Hilfsgröße $$w(t) = x(t) - A_0 = z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$ Die nichtlineare Kennlinie kann entsprechend einer Taylorreihe um den Arbeitspunkt entwickelt werden: $$y(x) = y(A_0) + \frac{1}{1!} \cdot y\hspace{0.08cm}{\rm '}(A_0) \cdot (x - A_0)+ \frac{1}{2!} \cdot y\hspace{0.08cm}''(A_0) \cdot (x - A_0)^2+$$ $$ + \frac{1}{3!} \cdot y\hspace{0.08cm}'''(A_0) \cdot (x - A_0)^3 + ...$$ In Abhängigkeit der Hilfsgröße $w(t)$ kann das Ausgangssignal dann auch wie folgt dargestellt werden: $$y(t) = c_0 + c_1 \cdot w(t) + c_2 \cdot w^2(t)+ c_3 \cdot w^3(t) + ...$$ Das ZSB–AM–Signal $s(t)$ erhält man durch die Bandbegrenzung von $y(t)$ auf den Frequenzbereich von $\text{23 kHz}$ bis $\text{37 kHz}$. Das heißt: Alle anderen Frequenzen als $f_T$, $f_T±f_N$ sowie $f_T±2f_N$ werden durch den Bandpass entfernt.

Die obige Grafik zeigt die Kennlinie $g(x)$ sowie die Näherungen $g_1(x)$, $g_2(x)$ und $g_3(x)$, wenn man die Taylorreihe nach dem ersten, zweiten oder dritten Term abbricht. Man erkennt, dass die Näherung $g_3(x)$ im dargestellten Bereich innerhalb der Zeichengenauigkeit von $g(x)$ nicht mehr zu unterscheiden ist.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.1.


Fragebogen

1

In welchem Wertebereich kann das Eingangssignal $x(t)$ variieren? Geben Sie den Minimal– und Maximalwert der Hilfsgröße $w(t) = x(t) – A_0$ ein.

$w_{min}$ =

$\text{V}$
$w_{max}$ =

$\text{V}$

2

Berechnen Sie die Koeffizienten $c_0$ und $c_1$ der Taylorreihe.

$c_0$ =

$\text{V}$
$c_1$ =

3

Wie lauten die Koeffizienten $c_2$ und $c_3$ der nichtlinearen Kennlinie?

$c_2$ =

$V^{ -1 }$
$c_3$ =

$V^{ -2 }$

4

Zeigen Sie, dass sich eine „ZSB–AM mit Träger”–Konstellation ergibt, wenn man $c_3$ als vernachlässigbar klein betrachtet. Wie groß ist der Modulationsgrad?

$m$ =

5

Welche der Aussagen treffen unter der Voraussetzung zu, dass man $c_3$ nicht als vernachlässigbar klein betrachtet?

Das Gewicht der Spektrallinie bei $f_T$ wird nicht verändert.
$s(t)$ beinhaltet nun auch Diraclinien bei $f_T ± 2f_N$.
Der kubische Term führt zu nichtlinearen Verzerrungen.
Der kubische Term führt zu linearen Verzerrungen.


Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.