Exercise 3.1Z: Spectrum of the Triangular Pulse
Betrachtet wird ein Dreieckimpuls ${x(t)}$, der im Bereich $–T ≤ t ≤ T$ durch folgende Gleichung beschrieben wird:
- $$x(t) = A \cdot \left( {1 - {\left| \hspace{0.05cm}t \hspace{0.05cm}\right|}/{T}} \right).$$
Die Impulsamplitude sei $A = 1\, \text{V}$, der Zeitparameter $T = 1 \text{ ms}$. Für alle Zeiten $| t | > T$ ist ${x(t)} = 0$.
Zur Berechnung der Spektralfunktionen ${X(f)}$ können Sie folgende Eigenschaften ausnutzen:
- Die Zeitfunktion ist gerade und damit die Spektralfunktion reell:
- $$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)} \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d}t = 2 \cdot \int_0^{ \infty } {x(t)} \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right){\rm d}t.$$
- Für $| t | > T$ besitzt ${x(t)}$ keine Anteile:
- $$X\left( f \right) = 2 \cdot \int_0^T {x(t)} \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right){\rm d}t.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fouriertransformation und –rücktransformation.
- Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo Kontinuierliche und diskrete Spektren.
- Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie auf die folgenden Formeln zurückgreifen:
- $$\int {t \cdot \cos \left( {\omega _0 t} \right)\ {\rm d}t = \frac{{\cos \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 ^2 }} + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 }, \hspace{0.5cm} \sin ^2 \left( \alpha \right) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos \left( {2\alpha } \right)} \right).$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$X(f) = 2A \cdot \int_0^T {\left( {1 -{t}/{T}} \right)} \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
Dieses Integral setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
- $$X_1 (f) = 2A \cdot \int_0^T {\cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{2A}{\omega } \cdot \sin \left( {\omega T} \right),$$
- $$X_2 (f) = - \frac{2A}{T} \cdot \int_0^T {t \cdot \cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = - \frac{2A}{T} \cdot \left. {\left[ {\frac{{\cos \left( {\omega t} \right)}}{\omega ^2 } + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]} \right|_0^T .$$
Unter Berücksichtigung von oberer und unterer Grenze erhält man:
- $$X_2 \left( f \right) = - \frac{2A}{T} \cdot \left[ {\frac{{\cos \left( {\omega T} \right)}}{\omega ^2 } - \frac{1}{\omega ^2 } + \frac{{T \cdot \sin \left( {\omega T} \right)}}{\omega }} \right].$$
Addiert man die beiden Anteile, so ergibt sich:
- $$X(f) = \frac{2A}{\omega ^2 \cdot T}\cdot \big[ {1 - \cos \left( {\omega T} \right)} \big] = \frac{A}{2\pi ^2 f^2 T} \cdot \big[ {1 - \cos \left( {2\pi fT} \right)} \big].$$
Bei der Frequenz $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$ ist das Argument der Cosinusfunktion gleich $\pi$ ⇒ die Cosinusfunktion selbst gleich $-1$. Daraus folgt:
- $$X( {f ={1}/{2T} = 500\;{\rm Hz}} ) = \frac{4}{\pi^2} \cdot A \cdot T = \frac{4}{\pi^2} \cdot 1\;{\rm V} \cdot 10^{ - 3}\;{\rm s}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.405 \,{\rm mV/Hz}}.$$
(2) Mit der trigonometrischen Umformung ${1}/{2} \cdot (1 - \cos (2 \alpha)) = \sin^2(\alpha)$ erhält man für die Spektralfunktion:
- $$X(f) = A \cdot T \cdot \frac{\sin^2(\pi f T)}{\pi^2 \cdot {f^2 \cdot T^2}} = A \cdot T \cdot {{{\rm si}^2(\pi f T)}}.$$
Bei der Frequenz $f = 0$ ist die $\rm si$-Funktion gleich $1$. Daraus folgt:
- $$X( {f = 0} ) = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm mV/Hz}}.$$
(3) Die erste Nullstelle tritt auf, wenn das Argument der si-Funktion gleich $\pi$ ist. Daraus folgt $f_0 \cdot T = 1$ bzw. $f_0 = 1/T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \ \text{kHz}}$.
(4) Richtig ist die erste Aussage:
- Das Spektrum ${X(f)}$ ist bei Vielfachen von $f_0$ ($f = n \cdot f_0$) gleich ${\rm si}^2(n \cdot \pi) = 0$.
- Die zweite Aussage ist falsch: Bei keiner Frequenz $f$ ist ${X(f)} < 0$ (siehe Skizze).
