Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.4: Attenuation and Phase Response"

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:Wir gehen vom skizzierten Pol–Nullstellen–Diagramm aus, also von den Werten
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Wir gehen vom skizzierten Pol–Nullstellen–Diagramm aus, also von den Werten
:$$K \hspace{-0.25cm} =  \hspace{-0.2cm}5, \hspace{0,2cm}Z = 1, \hspace{0,2cm}N = 2, \\
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$$K \hspace{-0.25cm} =  \hspace{-0.2cm}5, \hspace{0,2cm}Z = 1, \hspace{0,2cm}N = 2, $$
p_{\rm  o}\hspace{-0.25cm} =  \hspace{-0.2cm} 1,\hspace{0,2cm}p_{\rm  x1}= -3 + 3{\rm j},\hspace{0,2cm}p_{\rm  x2}= -3 - 3{\rm j}\hspace{0.05cm} .$$
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$$ p_{\rm  o}\hspace{-0.25cm} =  \hspace{-0.2cm} 1,\hspace{0,2cm}p_{\rm  x1}= -3 + 3{\rm j},\hspace{0,2cm}p_{\rm  x2}= -3 - 3{\rm j}\hspace{0.05cm} .$$
  
:Damit lautet die <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion:
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Damit lautet die $p$&ndash;Übertragungsfunktion:
 
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}
 
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  {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
 
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:Mit der Substitution <i>p</i> = j &middot; 2&pi;<i>f</i> lässt sich die herkömmliche Übertragungsfunktion angeben, die auch als Frequenzgang bezeichnet wird:
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:Mit der Substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ lässt sich die herkömmliche Übertragungsfunktion angeben, die auch als Frequenzgang bezeichnet wird:
:$$H(f) =  H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
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  f}} =  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}
 
  f}} =  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}
 
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:Aus dieser Gleichung erkennt man auch den Zusammenhang zwischen <i>H</i>(<i>f</i>), der Dämpfungsfunktion <i>a</i>(<i>f</i>) und der Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>). Für eine durch den Punkt <i>p</i> = j2&pi;<i>f</i> indirekt vorgegebene Frequenz <i>f</i> kann man die entsprechenden Dämpfungs&ndash; und Phasenwerte wie folgt ermitteln:
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:Aus dieser Gleichung erkennt man auch den Zusammenhang zwischen
:$$a(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm Np} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K
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* der  Übertragungsfunktion $H(f)$,  
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*der Dämpfungsfunktion $a(f)$ und  
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Für eine durch den Punkt $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ indirekt vorgegebene Frequenz $f$ kann man die entsprechenden Dämpfungs&ndash; und Phasenwerte wie folgt ermitteln:
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$$a(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm Np} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K
 
  + {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm}
 
  + {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm}
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b(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm rad} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}
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$$ b(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm rad} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}
 
  \phi_{\rm x1}+ \phi_{\rm x2}-\phi_{\rm o}
 
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:Die entsprechenden Beträge |<i>R</i><sub>o</sub>|, |<i>R</i><sub>x1</sub>| und |<i>R</i><sub>x2</sub>| können Sie ebenso wie die Winkel <i>&#981;</i><sub>0</sub>, <i>&#981;</i><sub>x1</sub> und <i>&#981;</i><sub>x2</sub> der Grafik entnehmen.
 
:Die entsprechenden Beträge |<i>R</i><sub>o</sub>|, |<i>R</i><sub>x1</sub>| und |<i>R</i><sub>x2</sub>| können Sie ebenso wie die Winkel <i>&#981;</i><sub>0</sub>, <i>&#981;</i><sub>x1</sub> und <i>&#981;</i><sub>x2</sub> der Grafik entnehmen.
  
:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.2.
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===

Revision as of 11:27, 10 February 2017

Pol–Nullstellen–Diagramm und einige Hilfsgrößen

Wir gehen vom skizzierten Pol–Nullstellen–Diagramm aus, also von den Werten $$K \hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.2cm}5, \hspace{0,2cm}Z = 1, \hspace{0,2cm}N = 2, $$ $$ p_{\rm o}\hspace{-0.25cm} = \hspace{-0.2cm} 1,\hspace{0,2cm}p_{\rm x1}= -3 + 3{\rm j},\hspace{0,2cm}p_{\rm x2}= -3 - 3{\rm j}\hspace{0.05cm} .$$

Damit lautet die $p$–Übertragungsfunktion:

$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})} \hspace{0.05cm} .$$
Mit der Substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ lässt sich die herkömmliche Übertragungsfunktion angeben, die auch als Frequenzgang bezeichnet wird:

$$H(f) = H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)} \hspace{0.05cm}.$$

Aus dieser Gleichung erkennt man auch den Zusammenhang zwischen
  • der Übertragungsfunktion $H(f)$,
  • der Dämpfungsfunktion $a(f)$ und
  • der Phasenfunktion $b(f)$.

Für eine durch den Punkt $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ indirekt vorgegebene Frequenz $f$ kann man die entsprechenden Dämpfungs– und Phasenwerte wie folgt ermitteln: $$a(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm Np} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K + {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm} ,$$ $$ b(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm rad} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \phi_{\rm x1}+ \phi_{\rm x2}-\phi_{\rm o} \hspace{0.05cm} .$$

Die entsprechenden Beträge |Ro|, |Rx1| und |Rx2| können Sie ebenso wie die Winkel ϕ0, ϕx1 und ϕx2 der Grafik entnehmen.

Hinweise:


Fragebogen

1

Berechnen Sie H(f). Wie groß ist dessen Betrag bei sehr großen Frequenzen?

$|H_L(f → ∞)|$ =

2

Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang und den Dämpfungswert für f → 0.

$|H(f = 0)|$ =

$|a(f = 0)|$ =

$Np$

3

Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Dämpfungswert bei f = 4/(2π) in Neper (Np) und Dezibel (dB).

$a(f = 2/ \pi)$ =

$Np$
$a(f = 2/ \pi)$ =

$dB$

4

Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Phasenwert bei der Frequenz <nobr>f = 4/(2π).</nobr>

$b(f = 2/ \pi)$ = -

$Grad$


Musterlösung

1.  Die p–Übertragungsfunktion lautet:
$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})} \hspace{0.05cm} .$$
Zur herkömmlichen Übertragungsfunktion (Frequenzgang) kommt man mit der Substitution p = j · 2πf:
$$H(f)= K \cdot \frac {{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f} - p_{\rm o }} {({\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f} - p_{\rm x 1})({\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f} - p_{\rm x 2})} = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)} \hspace{0.05cm} .$$
Im Grenzfall f → ∞ ergibt sich für den Betrag, die Dämpfung und die Phase:
$$\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H(f)= \frac{K}{{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}}\hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.05cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} |H(f)|\hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.05cm} \Rightarrow \hspace{0.05cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} a(f)= \infty,\hspace{0.1cm} \lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} b(f)= \frac{\pi}{2}\hspace{0.1cm}(90^\circ) \hspace{0.01cm}.$$
2.  Aus der allgemeinen Gleichung in a) erhält man mit dem Grenzübergang f → 0:
$$|H(f=0)|= -\frac {K \cdot p_{\rm o }} {p_{\rm x 1}\cdot p_{\rm x 2}} = \frac {5 \cdot 1}{ (-3 + 3{\rm j})\cdot (-3 + 3{\rm j})}= \frac {5 }{18}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.278} \hspace{0.05cm} ,$$
$$a(f=0)=- {\rm ln} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { |H(f=0)|= 1.281\,{\rm Np }} \hspace{0.05cm} .$$
P ID1769 LZI A 3 4 d neu.png
Die Grafik fasst die Ergebnisse dieser Aufgabe zusammen:

Mittlere Achse (blau): Betrag,
Linke Achse (rot): Dämpfung,
Rechte Achse (grün): Phase.

Schwarzer Punkt:2πf = 4.



Bildschirmabzug des Flash–Moduls „Kausale Systeme”.

3.  Entsprechend der detaillierten Beschreibung im Theorieteil gilt für die Dämpfungsfunktion:
P ID2843 LZI A 3 4.png
$$a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K + {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_[[:Template:\rm x1]]|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_[[:Template:\rm x1]]|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm} .$$
Zu berücksichtigen ist die Zusatzeinheit „Neper” (Np).
Gesucht ist der Dämpfungswert bei f = 2/π. Dazu setzen wir p = j · 2πf = 4 und ermitteln folgende Abstände:
$$R_{\rm o} = 1 - 4 \cdot {\rm j}, \hspace{0.2cm}|R_{\rm o}| \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \sqrt{1^2 + 4^2}= 4.123,\\ {\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm o}| \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}1.417\,{\rm Np }\hspace{0.05cm},\\ R_{\rm x1} = -3 - 1 \cdot {\rm j}, \hspace{0.2cm}|R_{\rm x1}| \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \sqrt{3^2 + 1^2}= 3.162,\\ {\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm x1}| \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}1.151\,{\rm Np }\hspace{0.05cm},\\ R_{\rm x2} = -3 - 7 \cdot{\rm j}, \hspace{0.2cm}|R_{\rm x2}| \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \sqrt{3^2 + 7^2}= 7.616,\\ {\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm x2}| \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}2.030\,{\rm Np }\hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}a(f = \frac{4}{2\pi})= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} 5 + 1.151+ 2.030- 1.417=0.155\,{\rm Np } \hspace{0.05cm}.$$
Das entspricht 0.155 Np · 8.686 dB/Np = 1.346 dB.
4.  Nach der detaillierten Beschreibung im Theorieteil gilt wegen K > 0 für die Phasenfunktion:
$$b(f ={2}/\pi) = \phi_{\rm x1} + \phi_{\rm x1}-\phi_{\rm o}\hspace{0.05cm},$$
$$\phi_{\rm x1} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(1/3) = 18.4^\circ\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\phi_{\rm x2} = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(7/3) = 66.8^\circ\hspace{0.05cm},\\ \phi_{\rm o} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(-1/4) = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}b(f ={2}/\pi) = 18.4^\circ + 66.8^\circ - 104^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= -18.8^\circ} \hspace{0.05cm}.$$