Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.4Z: Various All-Pass Filters"

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===Musterlösung===
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Durch Umformung der angegebenen <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion ergibt sich
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'''(1)'''&nbsp; Durch Umformung der angegebenen <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion ergibt sich
:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm  o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm}
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$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm  o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm}
 
\hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm  x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$
 
\hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm  x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Setzt man <i>p</i> = j &middot; 2&pi;<i>f</i>, so erhält man:
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:$$H(f)=  \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it
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'''(2)'''&nbsp; Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
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$$H(f)=  \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
 
  f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
:Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
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Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
:$$|H(f)|=  \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi
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$$|H(f)|=  \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi
 
  f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A|}=  \frac {\sqrt{1+(2\pi
 
  f}/A|}=  \frac {\sqrt{1+(2\pi
 
  f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi
 
  f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi
 
  f/A)^2}}= 1$$
 
  f/A)^2}}= 1$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm  Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
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$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm  Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
:Richtig ist somit die <u>Aussage 2</u>. Auch die <u>Aussage 3</u> ist richtig, wie aus der Theorieseite Grafische Ermittlung der Dämpfung zu ersehen ist.
+
Richtig ist somit die <u>Aussage 2</u>. Aber uch die <u>Aussage 3</u> ist richtig, wie aus der Theorieseite &bdquo;Grafische Ermittlung der Dämpfung&rdquo; zu ersehen ist.
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:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Die Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>) kann wie folgt berechnet werden:
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'''(3)'''&nbsp; Die Phasenfunktion $b(f)$ kann wie folgt berechnet werden:
:$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm}\frac {2\pi
+
$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
  f}{A} - {\rm arctan } \hspace{0.1cm}\frac {-2\pi
+
  f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi
  f}{A} = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}\frac {2\pi
+
  f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
  f}{A}:\\
+
  f}/{A}),$$
b(f= \frac{A}{2\pi})\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}2 \cdot {\rm arctan }
+
$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan }
  \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ\hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm}
+
  \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$
,\\
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$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan }
b(f= \frac{A}{\pi})\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}2 \cdot {\rm arctan }
 
 
  \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm}
 
  \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm}
  ,\\
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  ,$$
b(f \rightarrow \infty)\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}2 \cdot {\rm arctan }
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$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan }
 
  \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm}
 
  \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm}
 
  .$$
 
  .$$
:Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise entsprechend der Seite Grafische Ermittlung der Phase im Theorieteil.
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Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise entsprechend der Seite &bdquo;Grafische Ermittlung der Phase&rdquo;  im Theorieteil.
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:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die angegebene <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
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'''(4)'''&nbsp; Die angegebene $p$&ndash;Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
:$$H_{\rm L}(p)\hspace{0.25cm} \hspace{0.2cm}  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}=\\
+
$$H_{\rm L}(p)=  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}=
  \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm}  \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}=
+
  \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}=
 
  \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
:Mit <i>Z</i><sub>1</sub> = <i>p</i> &middot; <i>L</i> und <i>Z</i><sub>2</sub> = 1/(<i>pC</i>) erhält man weiter:
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Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter:
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}}
+
$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}}
 
  = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}}
 
  = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}}
 
  = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}$$
 
  = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
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$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
:Es ergibt sich die genau gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe 1) berechnet. Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
 
 
 
:<ul class="liste_ohne"><li>Der Dämpfungsverlauf ist <i>a</i>(<i>f</i>) = 0 (Np). Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
 
 
 
:<ul class="liste_ohne"><li>Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf <i>b</i>(<i>f</i>) ist nicht linear, sondern vielmehr wie in der Teilaufgabe 3) berechnet.
 
 
 
:<ul class="liste_ohne"><li>Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten <i>a</i>(<i>f</i>) = 0 müsste zur Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>) = 0 führen, wie in Kapitel 3.1 gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
 
 
 
:<ul class="liste_ohne"><li>Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion <i>a</i>(<i>f</i>) und Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>) über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
 
  
:<ul class="liste_ohne"><li>Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken <i>p</i>&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp;&#8658;&nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
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Es ergibt sich die genau gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe (1) berechnet. Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
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*Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) == 0\ \rm  (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
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*Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf $b(f)$ ist nicht linear, sondern vielmehr wie in der Teilaufgabe (3) berechnet.
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*Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten $a(f) = 0$ müsste zur Phasenfunktion $b(f) = 0$  führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
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*Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
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*Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp; &#8658; &nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;<u>Beide Aussagen</u> sind richtig. Wie bereits in der Teilaufgabe 2) festgestellt wurde, ergibt sich dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken <i>p</i>&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp;&#8658;&nbsp; die Schaltung <b>B</b> zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
 
  
:Da <i>b</i>(<i>f</i>) stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt <i>b</i>(<i>f</i> = 0) = 0 ganz allgemein, das heißt für jede Spektralfunktion <i>H</i>(<i>f</i>), deren Fourier&ndash;Rücktransformierte reell ist.
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'''(5)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
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*Wie bereits in der Teilaufgabe (2) festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung <b>B</b> zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
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*Da $b(f)$ stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt $b(f= 0) = 0$ ganz allgemein, das heißt für jede Spektralfunktion $H(f)$, deren Fourier&ndash;Rücktransformierte reell ist.
 
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Revision as of 15:43, 10 February 2017

Allpass in zwei verschiedenen Varianten

Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus: $$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$ Aus dieser soll der herkömmliche Fourier–Frequenzgang $$H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$$ ermittelt werden, der sich durch Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ darstellen lässt.

Die obere Grafik zeigt eine so genannte Allpass–Schaltung, wobei der komplexe Widerstand $Z_1$ eine Induktivität und $Z_2$ eine Kapazität bezeichnet: $$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$ Bei reflexionsfreier Anpassung am Eingang und Ausgang mit $$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}}$$ gilt für die p–Übertragungsfunktion der Schaltung A (siehe obere Grafik): $$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$

Die Schaltung B ist durch die $p$–Übertragungsfunktion festgelegt. Sie ist dadurch charakterisiert, dass

  • alle Pole (in der linken $p$–Halbebene)
  • spiegelbildlich zu den Nullstellen (in der rechten Halbebene) liegen.


Hinweise:


Fragebogen

1

Geben Sie die Nullstelle $p_{\rm o}$ und den Pol $p_{\rm x}$ von $H_{\rm L}(p)= (1 -p/A)/(1 +p/A)$ an. Wie groß ist der konstante Faktor $K$?

$K \ =$

$p_{\rm o} \ =$

$\ \cdot A$
$p_{\rm x} \ =$

$\ \cdot A$

2

Berechnen Sie die Dämpfungsfunktion $a(f)$. Welche Aussagen treffen zu?

Die Dämpfungsfunktion $a(f)$ zeigt Tiefpassverhalten.
Die Dämpfungsfunktion $a(f)$ ist konstant.
Das obige Ergebnis gilt allgemein für $p_{\rm x} = - p_{\rm o}$.

3

Berechnen Sie den Phasenverlauf $b(f)$. Welche Phasenwerte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?

$b(f = A/2 \pi) \ =$

$\ \rm Grad$
$b(f = A/ \pi)\ =$

$ \rm Grad$
$b(f → ∞) \ =$

$ \rm Grad$

4

Berechnen Sie die $p$–Übertragungsfunktion von Schaltung A. Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten?

Die Dämpfung $a(f)$ ist konstant gleich $0 \ \rm (Np)$.
Die Phase $b(f)$ steigt linear mit der Frequenz $f$ an.
$b(f)$ ist die Hilbert–Transformierte von $a(f)$.

5

Welche Aussagen können aus dem Pol–Nullstellen–Diagramm von Schaltung B abgeleitet werden?

Die Dämpfung $a(f)$ ist konstant.
Die Phasenfunktion $b(f)$ hat bei $f = 0$ den Wert $0$.


Musterlösung

(1)  Durch Umformung der angegebenen p–Übertragungsfunktion ergibt sich $$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$


(2)  Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man: $$H(f)= \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A}\hspace{0.05cm} .$$ Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge: $$|H(f)|= \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A|}= \frac {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}}= 1$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$ Richtig ist somit die Aussage 2. Aber uch die Aussage 3 ist richtig, wie aus der Theorieseite „Grafische Ermittlung der Dämpfung” zu ersehen ist.


(3)  Die Phasenfunktion $b(f)$ kann wie folgt berechnet werden: $$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}),$$ $$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$ $$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm} ,$$ $$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm} .$$ Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise entsprechend der Seite „Grafische Ermittlung der Phase” im Theorieteil.


(4)  Die angegebene $p$–Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen: $$H_{\rm L}(p)= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}= \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}= \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$ Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter: $$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}} = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}} = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$

Es ergibt sich die genau gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe (1) berechnet. Daraus folgt, dass nur die Aussage 1 richtig ist:

  • Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) == 0\ \rm (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem „Allpass”.
  • Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf $b(f)$ ist nicht linear, sondern vielmehr wie in der Teilaufgabe (3) berechnet.
  • Die Hilbert–Transformierte der Konstanten $a(f) = 0$ müsste zur Phasenfunktion $b(f) = 0$ führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
  • Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ über die Hilbert–Transformation zusammen.
  • Bei einem solchen Minimum–Phasen–System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$–Halbebene, was hier nicht zutrifft   ⇒   ein Allpass ist kein Minimum–Phasen–System.


(5)  Beide Aussagen sind richtig:

  • Wie bereits in der Teilaufgabe (2) festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt   ⇒   die Schaltung B zeigt ebenfalls Allpass–Charakteristik.
  • Da $b(f)$ stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt $b(f= 0) = 0$ ganz allgemein, das heißt für jede Spektralfunktion $H(f)$, deren Fourier–Rücktransformierte reell ist.