Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.4Z: Various All-Pass Filters"

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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Durch Umformung der angegebenen <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion ergibt sich
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'''(1)'''&nbsp; Durch Umformung der angegebenen $p$&ndash;Übertragungsfunktion ergibt sich
$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm  o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm}
+
:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm  o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm}
 
\hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm  x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$
 
\hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm  x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>:
$$H(f)=  \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it
+
*Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
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:$$H(f)=  \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
 
  f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
+
*Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
$$|H(f)|=  \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi
+
:$$|H(f)|=  \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi
 
  f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it
 
  f}/A|}=  \frac {\sqrt{1+(2\pi
 
  f}/A|}=  \frac {\sqrt{1+(2\pi
 
  f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi
 
  f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi
  f/A)^2}}= 1$$
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  f/A)^2}}= 1\hspace{0.3cm}
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm  Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm  Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
Richtig ist somit die <u>Aussage 2</u>. Aber uch die <u>Aussage 3</u> ist richtig, wie aus der Theorieseite &bdquo;Grafische Ermittlung der Dämpfung&rdquo; zu ersehen ist.
+
*Aber auch die <u>Aussage 3</u> ist richtig, wie aus der Theorieseite &bdquo;Grafische Ermittlung der Dämpfung&rdquo; zu ersehen ist.
  
  
 
'''(3)'''&nbsp; Die Phasenfunktion $b(f)$ kann wie folgt berechnet werden:
 
'''(3)'''&nbsp; Die Phasenfunktion $b(f)$ kann wie folgt berechnet werden:
$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
+
:$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
 
  f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi
 
  f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi
 
  f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
 
  f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
 
  f}/{A}),$$
 
  f}/{A}),$$
$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan }
+
:$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan }
 
  \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$
 
  \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$
$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan }
+
:$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan }
 
  \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm}
 
  \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm}
 
  ,$$
 
  ,$$
$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan }
+
:$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan }
 
  \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm}
 
  \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm}
 
  .$$
 
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'''(4)'''&nbsp; Die angegebene $p$&ndash;Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>:
$$H_{\rm L}(p)=  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}=
+
*Die angegebene $p$&ndash;Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
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:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}=
 
  \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}=
 
  \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}=
 
  \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter:
+
*Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}}
+
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}}
 
  = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}}
 
  = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}}
  = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}$$
+
  = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}\hspace{0.3cm}
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
  
 
Es ergibt sich die genau gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe (1) berechnet. Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
 
Es ergibt sich die genau gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe (1) berechnet. Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
*Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) == 0\ \rm  (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
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*Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) = 0\ \rm  (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
 
*Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf $b(f)$ ist nicht linear, sondern vielmehr wie in der Teilaufgabe (3) berechnet.
 
*Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf $b(f)$ ist nicht linear, sondern vielmehr wie in der Teilaufgabe (3) berechnet.
 
*Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten $a(f) = 0$ müsste zur Phasenfunktion $b(f) = 0$  führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
 
*Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten $a(f) = 0$ müsste zur Phasenfunktion $b(f) = 0$  führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
 
*Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
 
*Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
 
*Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp; &#8658; &nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
 
*Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp; &#8658; &nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
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'''(5)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:  
 
'''(5)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:  
*Wie bereits in der Teilaufgabe (2) festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung <b>B</b> zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
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*Wie bereits in der Teilaufgabe (2) festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung $\rm B$ zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
 
*Da $b(f)$ stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt $b(f= 0) = 0$ ganz allgemein, das heißt für jede Spektralfunktion $H(f)$, deren Fourier&ndash;Rücktransformierte reell ist.
 
*Da $b(f)$ stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt $b(f= 0) = 0$ ganz allgemein, das heißt für jede Spektralfunktion $H(f)$, deren Fourier&ndash;Rücktransformierte reell ist.
 
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Revision as of 18:29, 16 March 2018

Allpass, zwei verschiedene Varianten

Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$

Aus dieser soll der herkömmliche Fourier–Frequenzgang

$$H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}$$

ermittelt werden, der sich durch Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ darstellen lässt.

Die obere Grafik zeigt eine so genannte Allpass–Schaltung, wobei der komplexe Widerstand $Z_1$ eine Induktivität und $Z_2$ eine Kapazität bezeichnet:

$$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$

Bei reflexionsfreier Anpassung am Eingang und Ausgang mit

$$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}}$$

gilt für die $p$–Übertragungsfunktion der Schaltung $\rm A$ (siehe obere Grafik):

$$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$

Die Schaltung $\rm B$ ist durch die $p$–Übertragungsfunktion festgelegt. Sie ist dadurch charakterisiert, dass

  • alle Pole (in der linken $p$–Halbebene)
  • spiegelbildlich zu den Nullstellen (in der rechten Halbebene) liegen.




Hinweise:


Fragebogen

1

Geben Sie die Nullstelle $p_{\rm o}$ und den Pol $p_{\rm x}$ von $H_{\rm L}(p)= (1 -p/A)/(1 +p/A)$ an. Wie groß ist der konstante Faktor $K$?

$K \ = \ $

$p_{\rm o} \ = \ $

$\ \cdot A$
$p_{\rm x} \ = \ $

$\ \cdot A$

2

Berechnen Sie die Dämpfungsfunktion $a(f)$. Welche Aussagen treffen zu?

Die Dämpfungsfunktion $a(f)$ zeigt Tiefpassverhalten.
Die Dämpfungsfunktion $a(f)$ ist konstant.
Das obige Ergebnis gilt allgemein für $p_{\rm x} = - p_{\rm o}$.

3

Berechnen Sie den Phasenverlauf $b(f)$. Welche Phasenwerte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?

$b(f = A/2 \pi) \ = \ $

$\ \rm Grad$
$b(f = A/ \pi)\ = \ $

$ \rm Grad$
$b(f → ∞) \ = \ $

$ \rm Grad$

4

Berechnen Sie die $p$–Übertragungsfunktion von Schaltung $\rm A$. Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten?

Die Dämpfung $a(f)$ ist konstant gleich $0 \ \rm (Np)$.
Die Phase $b(f)$ steigt linear mit der Frequenz $f$ an.
$b(f)$ ist die Hilbert–Transformierte von $a(f)$.

5

Welche Aussagen können aus dem Pol–Nullstellen–Diagramm von Schaltung $\rm B$ abgeleitet werden?

Die Dämpfung $a(f)$ ist konstant.
Die Phasenfunktion $b(f)$ hat bei $f = 0$ den Wert $0$.


Musterlösung

(1)  Durch Umformung der angegebenen $p$–Übertragungsfunktion ergibt sich

$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$


(2)  Richtig ist sind die Aussagen 2 und 3:

  • Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
$$H(f)= \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
  • Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
$$|H(f)|= \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A|}= \frac {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}}= 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
  • Aber auch die Aussage 3 ist richtig, wie aus der Theorieseite „Grafische Ermittlung der Dämpfung” zu ersehen ist.


(3)  Die Phasenfunktion $b(f)$ kann wie folgt berechnet werden:

$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}),$$
$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$
$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm} ,$$
$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm} .$$

Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise entsprechend der Seite „Grafische Ermittlung der Phase” im Theorieteil.


(4)  Richtig ist nur die Aussage 1:

  • Die angegebene $p$–Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}= \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}= \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}} = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}} = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$

Es ergibt sich die genau gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe (1) berechnet. Daraus folgt, dass nur die Aussage 1 richtig ist:

  • Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) = 0\ \rm (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem „Allpass”.
  • Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf $b(f)$ ist nicht linear, sondern vielmehr wie in der Teilaufgabe (3) berechnet.
  • Die Hilbert–Transformierte der Konstanten $a(f) = 0$ müsste zur Phasenfunktion $b(f) = 0$ führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
  • Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ über die Hilbert–Transformation zusammen.
  • Bei einem solchen Minimum–Phasen–System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$–Halbebene, was hier nicht zutrifft   ⇒   ein Allpass ist kein Minimum–Phasen–System.


(5)  Beide Aussagen sind richtig:

  • Wie bereits in der Teilaufgabe (2) festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt   ⇒   die Schaltung $\rm B$ zeigt ebenfalls Allpass–Charakteristik.
  • Da $b(f)$ stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt $b(f= 0) = 0$ ganz allgemein, das heißt für jede Spektralfunktion $H(f)$, deren Fourier–Rücktransformierte reell ist.