Aufgaben:Exercise 3.4Z: Various All-Pass Filters

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Allpass, zwei verschiedene Varianten

Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$

Ermittelt werden soll aus dieser der herkömmliche Fourier–Frequenzgang

$$H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)},$$

darstellbar durch die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und die Phasenfunktion  $b(f)$.

Die obere Grafik zeigt eine so genannte Allpass–Schaltung, wobei der komplexe Widerstand  $Z_1$  eine Induktivität und der komplexe Widerstand  $Z_2$  eine Kapazität bezeichnet:

$$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$

Bei reflexionsfreier Anpassung am Eingang und Ausgang mit

$$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}}$$

gilt für die $p$–Übertragungsfunktion der Schaltung $\rm A$ (siehe obere Grafik):

$$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$

Die Schaltung  $\rm B$  ist durch die  $p$–Übertragungsfunktion festgelegt. Sie ist dadurch charakterisiert, dass

• alle Pole (in der linken $p$–Halbebene)
• spiegelbildlich zu den Nullstellen (in der rechten Halbebene) liegen.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion.

Fragebogen

1

Geben Sie die Nullstelle  $p_{\rm o}$  und den Pol  $p_{\rm x}$  von  $H_{\rm L}(p)= (1 -p/A)/(1 +p/A)$  an.
Wie groß ist der konstante Faktor $K$?

$K \ = \ $

$p_{\rm o} \ = \ $ $\ \cdot A$

$p_{\rm x} \ = \ $ $\ \cdot A$

2

Berechnen Sie die Dämpfungsfunktion  $a(f)$. Welche Aussagen treffen zu?

	Die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  zeigt Tiefpassverhalten.
	Die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  ist konstant.
	Das obige Ergebnis gilt allgemein für  $p_{\rm x} = - p_{\rm o}$.

3

Berechnen Sie den Phasenverlauf  $b(f)$. Welche Phasenwerte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?

$b(f = A/2 \pi) \ = \ $ $\ \rm Grad$

$b(f = A/ \pi)\ = \ $ $ \rm Grad$

$b(f → ∞) \ = \ $ $ \rm Grad$

4

Berechnen Sie die  $p$–Übertragungsfunktion von Schaltung  $\rm A$.
Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten?

	Die Dämpfung  $a(f)$  ist konstant gleich $0 \ \rm (Np)$.
	Die Phase  $b(f)$  steigt linear mit der Frequenz  $f$  an.
	$b(f)$  ist die Hilbert–Transformierte von  $a(f)$.

5

Welche Aussagen können aus dem Pol–Nullstellen–Diagramm von Schaltung  $\rm B$ abgeleitet werden?

	Die Dämpfung  $a(f)$  ist konstant.
	Für die Phasenfunktion gilt  $b(f =0) =0$.

Musterlösung

Solution

(1)  Durch Umformung der angegebenen $p$–Übertragungsfunktion ergibt sich

$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$

(2)  Richtig ist sind die Aussagen 2 und 3:

• Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:

$$H(f)= \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A}\hspace{0.05cm} .$$

• Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:

$$|H(f)|= \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A|}= \frac {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}}= 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$

• Aber auch die Aussage 3 ist richtig, wie aus der Theorieseite „Grafische Ermittlung der Dämpfung” zu ersehen ist.

(3)  Die Phasenfunktion $b(f)$ kann wie folgt berechnet werden:

$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}),$$

$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$

$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm} ,$$

$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm} .$$

Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise entsprechend der Seite „Grafische Ermittlung der Phase” im Theorieteil.

(4)  Richtig ist nur die Aussage 1:

• Die angegebene $p$–Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}= \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}= \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$

• Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}} = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}} = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$

Es ergibt sich die genau gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe (1) berechnet. Daraus folgt, dass nur die Aussage 1 richtig ist:

• Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) = 0\ \rm (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem „Allpass”.
• Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf $b(f)$ ist nicht linear, sondern vielmehr wie in der Teilaufgabe (3) berechnet.
• Die Hilbert–Transformierte der Konstanten $a(f) = 0$ müsste zur Phasenfunktion $b(f) = 0$ führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
• Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ über die Hilbert–Transformation zusammen.
• Bei einem solchen Minimum–Phasen–System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$–Halbebene, was hier nicht zutrifft   ⇒   ein Allpass ist kein Minimum–Phasen–System.

(5)  Beide Aussagen sind richtig:

• Wie bereits in der Teilaufgabe (2) festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt   ⇒   die Schaltung $\rm B$ zeigt ebenfalls Allpass–Charakteristik.
• Da $b(f)$ stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt $b(f= 0) = 0$ ganz allgemein, das heißt für jede Spektralfunktion $H(f)$, deren Fourier–Rücktransformierte reell ist.