Exercise 3.4Z: Various All-Pass Filters

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All-pass filter in two different variants

We first assume a two-port network with the following transfer function:

$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$

From this, the conventional Fourier frequency response

$$H(f) = {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)},$$

which is representable by the attenuation function  $a(f)$  and the phase function  $b(f)$, is to be determined.


The upper diagram shows a so-called all-pass circuit where the complex resistance  $Z_1$  denotes an inductance and the complex resistance  $Z_2$  denotes a capacitance:

$$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$

For anechoic adjustment at the input and output with

$$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}},$$

the following holds for the  $p$–transfer function of the circuit  $\rm A$  (see upper diagram):

$$H_{\rm L}(p)= \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$

The circuit  $\rm B$  is defined by the  $p$–transfer function.  It is characterized by the fact that

  • all poles (in the left $p$–half-plane)
  • are located in a mirror-imaged manner with respect to the zeros (in the right half-plane).





Please note:


Questions

1

Specify the zero  $p_{\rm o}$  and the pole  $p_{\rm x}$  of  $H_{\rm L}(p)= (1 -p/A)/(1 +p/A)$ .  What is the constant factor  $K$?

$K \ = \ $

$p_{\rm o} \ = \ $

$\ \cdot A$
$p_{\rm x} \ = \ $

$\ \cdot A$

2

Compute the attenuation function  $a(f)$.  Which statements are true?

The attenuation function  $a(f)$  exhibits low-pass filter behavior.
The attenuation function  $a(f)$  is constant.
The above result is generally valid for  $p_{\rm x} = - p_{\rm o}$.

3

Compute the phase response  $b(f)$.  What are the phase values for the given frequencies?

$b(f = A/2 \pi) \ = \ $

$\ \rm Grad$
$b(f = A/ \pi)\ = \ $

$ \rm Grad$
$b(f → ∞) \ = \ $

$ \rm Grad$

4

Compute the  $p$–transfer function of circuit  $\rm A$.  What statements can be derived from this?

The attenuation  $a(f)$  is constantly equal to  $0 \ \rm (Np)$.
The phase  $b(f)$  increases linearly with frequency  $f$ .
$b(f)$  is the Hilbert transform of  $a(f)$.

5

What statements can be derived from the pole–zero diagram of circuit  $\rm B$ ?

The attenuation  $a(f)$  is constant.
The following holds for the phase function:  $b(f =0) =0$.


Solution

(1)  Transforming the given  $p$–transfer function yields

$$H_{\rm L}(p)= \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$


(2)  Richtig sind die Aussagen 2 und 3:

  • Setzt man  $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
$$H(f)= \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
  • Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
$$|H(f)|= \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it f}/A|}= \frac {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi f/A)^2}}= 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
  • Aber auch die  $\text{Aussage 3}$  ist richtig, wie aus der Theorieseite "Grafische Ermittlung der Dämpfung" zu ersehen ist.



(3)  Die Phasenfunktion  $b(f)$  kann wie folgt berechnet werden:

$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi f}/{A}),$$
$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$
$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm} ,$$
$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm} .$$
  • Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise nach der Seite "Grafische Ermittlung der Phase" im Theorieteil.



(4)  Richtig ist nur die Aussage 1:

  • Die angegebene  $p$–Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}= \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}= \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Mit  $Z_1 = p \cdot L$  und  $Z_2 = 1/(p \cdot C)$  erhält man weiter:
$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}} = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}} = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
  • Es ergibt sich die gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe  (1)  berechnet.


Daraus folgt, dass nur die Aussage 1 richtig ist:

  • Der Dämpfungsverlauf ist  $a(f) = 0\ \rm (Np)$.  Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt.  Man spricht deshalb auch von einem "Allpass".
  • Die zweite Aussage ist falsch.  Der Phasenverlauf  $b(f)$  ist nicht linear, sondern vielmehr gekrümmt, wie in der Teilaufgabe  (3)  berechnet.
  • Die Hilbert–Transformierte der Konstanten  $a(f) = 0$  müsste zur Phasenfunktion  $b(f) = 0$  führen, wie im Theorieteil gezeigt.  Das heißt:  die Aussage 3 ist falsch.
  • Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion  $a(f)$  und Phasenfunktion  $b(f)$  über die Hilbert–Transformation zusammen.
  • Bei einem solchen Minimum–Phasen–System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$–Halbebene, was hier nicht zutrifft   ⇒   ein Allpass ist kein Minimum–Phasen–System.


(5)  Beide Aussagen sind richtig:

  • Wie bereits in der Teilaufgabe  (2)  festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt   ⇒   die Schaltung  $\rm B$  zeigt ebenfalls Allpass–Charakteristik.
  • Da  $b(f)$  stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt  $b(f= 0) = 0$  ganz allgemein.
  • Das heißt für jede Spektralfunktion  $H(f)$, deren Fourier–Rücktransformierte  ("Impulsantwort")  reell ist.