Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.4: About the Quantization Noise"

Revision as of 18:01, 4 January 2017

Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung $P_Q$ gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal $q(t)$ mit dem Wertebereich $±q_{max}$ und der Periodendauer $T_0$ aus.

Im mittleren Zeitbereich $–T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$ gilt: $$q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$$ Dessen Leistung wird hier mit $P_S$ bezeichnet.

Dieses Signal wird entsprechend der Grafik mit $M = 6$ Stufen quantisiert. Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich $±Q_{max}$ ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite $Δ = 2/M · Q_{max}$ aufweist. Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für $Q_{max} = q_{max} = 6 V$. Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich Teilaufgabe e) ausgegangen werden.

Die so genannte Quantisierungsrauschleistung ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals $ε(t) = q_Q(t) – q(t)$ definiert. Es gilt $$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$ wobei die Zeit $T_0'$ geeignet zu wählen ist. Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis $$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm},$$ das meist in dB angegeben wird.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.1.

Fragebogen

$P_S$ =

$V^2$

+ $ε(t)$ hat einen sägezahnförmigen Verlauf.

- $ε(t)$ hat einen stufenförmigen Verlauf.

+ $ε(t)$ ist auf den Bereich $±Δ/2 = ±1V$ beschränkt.

+ $ε(t)$ besitzt die Periodendauer $T_0' = T_0/M$.

$M=6 P_Q$ =

$V^2$

$M = 6: 10 · lg ρ_Q$ =

$dB$

$ N = 8: 10 · lg ρ_Q$ =

$dB$

$ N = 16: 10 · lg ρ_Q$ =

$dB$

	Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.
	Es liegt ein linearer Quantisierer vor.
	Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst ($Q_{max} = q_{max}$).

Musterlösung

Solution

1. Die Signalleistung $P_S$ ist gleich dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$, wenn der Bezugswiderstand 1Ω verwendet und dementsprechend für die Leistung die Einheit „$V^2$” in Kauf genommen wird. Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über $T_0/2$: $$P_{\rm S} = \frac{1}{T_0/2} \cdot \int\limits_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int\limits_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t=$$ $$ = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int\limits_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$ Hierbei wurde die Substitution $x = 2 · t/T_0$ verwendet. Mit $q_{max} = 6 V$ erhält man $P_S = 12 V^2$.

2. Wir gehen hier von $Q_{max} = q_{max} = 6 V$ aus. Damit ergibt sich das sägezahnförmige Fehlersignal $ε(t)$ zwischen $±1V$ und der Periodendauer $T0' = T_0/6$.

Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 3 und.4. 3. 4. 5. 6. 7.

@@ Line 3: / Line 3: @@
 }}
-[[File:|right|]]
+[[File:P_ID1616__Mod_A_4_4.png|right|]]
+Zur Berechnung der Quantisierungsrauschleistung $P_Q$ gehen wir von einem periodischen sägezahnförmigen Quellensignal $q(t)$ mit dem Wertebereich $±q_{max}$ und der Periodendauer $T_0$ aus.
+Im mittleren Zeitbereich $–T_0/2 ≤ t ≤ T_0/2$ gilt:
+$$q(t) = q_{\rm max} \cdot \left ( {2 \cdot t}/{T_0} \right ).$$
+Dessen Leistung wird hier mit $P_S$ bezeichnet.
+Dieses Signal wird entsprechend der Grafik mit $M = 6$ Stufen quantisiert. Der lineare Quantisierer ist für den Amplitudenbereich $±Q_{max}$ ausgelegt, so dass jedes Quantisierungsintervall die Breite $Δ = 2/M · Q_{max}$ aufweist. Die Grafik zeigt diesen Sachverhalt für $Q_{max} = q_{max} = 6 V$. Von diesen Zahlenwerten soll bis einschließlich Teilaufgabe e) ausgegangen werden.
+Die so genannte '''Quantisierungsrauschleistung''' ist als der quadratische Mittelwert des Differenzsignals $ε(t) = q_Q(t) – q(t)$ definiert. Es gilt
+$$P_{\rm Q} = \frac{1}{T_0' } \cdot \int_{0}^{T_0'}\varepsilon(t)^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$
+wobei die Zeit $T_0'$ geeignet zu wählen ist. Als Quantisierungs–SNR bezeichnet man das Verhältnis
+$$\rho_{\rm Q} = \frac{P_{\rm S}}{P_{\rm Q}}\hspace{0.05cm},$$
+das meist in dB angegeben wird.
+'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf das [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Pulscodemodulation Kapitel 4.1].
@@ Line 9: / Line 25: @@
 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice Frage
+{Berechnen Sie die Signalleistung $P_S$ (auf 1 Ω bezogen):
-|type="[]"}
+|type="{}"}
-- Falsch
+$P_S$ = { 12 3% } $V^2$
-+ Richtig
+{Welche Aussagen treffen für das Fehlersignal $ε(t)$ zu?
+|type="{}"}
++ $ε(t)$ hat einen sägezahnförmigen Verlauf.
+- $ε(t)$ hat einen stufenförmigen Verlauf.
++ $ε(t)$ ist auf den Bereich $±Δ/2 = ±1V$ beschränkt.
++ $ε(t)$ besitzt die Periodendauer $T_0' = T_0/M$.
+{Wie groß ist die Quantisierungsrauschleistung?
+|type="{}"}
+$M=6  P_Q$ = { 0.333 3%  } $V^2$
+{Berechnen Sie den Quantisierungsrauschabstand für $M = 6$.
+|type="{}"}
+$M = 6:   10 · lg ρ_Q$ = { 15.56 3% } $dB$
-{Input-Box Frage
+{Welche Werte ergeben sich bei Quantisierung mit $N = 8$ bzw. $N = 16 Bit$?
 |type="{}"}
-$\alpha$ = { 0.3 }
+$ N = 8:   10 · lg ρ_Q$ = { 48.16 3% } $dB$
+$ N = 16:   10 · lg ρ_Q$ = { 96.32 3% } $dB$
+{Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die abgeleitete Gleichung für $ρ_Q$ angewandt werden kann?
+|type="[]"}
++ Alle Amplitudenwerte sind gleichwahrscheinlich.
++ Es liegt ein linearer Quantisierer vor.
++ Der Quantisierer ist genau an das Signal angepasst ($Q_{max} = q_{max}$).
@@ Line 25: / Line 61: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''
+'''1.'''  Die Signalleistung $P_S$ ist gleich dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$, wenn der Bezugswiderstand 1Ω verwendet und dementsprechend für die Leistung die Einheit „$V^2$” in Kauf genommen wird. Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über $T_0/2$:
-'''2.'''
+$$P_{\rm S}  =  \frac{1}{T_0/2} \cdot \int\limits_{0}^{T_0/2}q^2(t) \hspace{0.05cm}{\rm d}t = \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \int\limits_{0}^{T_0/2}\left ( { 2 \cdot t}/{T_0} \right )^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}t=$$ $$ =  \frac{2 \cdot q_{\rm max}^2}{T_0} \cdot \frac{T_0}{2} \cdot \int\limits_{0}^{1}x^2 \hspace{0.05cm}{\rm d}x = \frac{q_{\rm max}^2}{3} \hspace{0.05cm}.$$
+Hierbei wurde die Substitution $x = 2 · t/T_0$ verwendet. Mit $q_{max} = 6 V$ erhält man $P_S = 12 V^2$.
+'''2.''' Wir gehen hier von $Q_{max} = q_{max} = 6 V$ aus. Damit ergibt sich das sägezahnförmige Fehlersignal $ε(t)$ zwischen $±1V$ und der Periodendauer $T0' = T_0/6$.
+[[File:P_ID1616__Mod_A_4_4.png]]
+Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 3 und.4.
 '''3.'''
 '''4.'''