Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.4Z: Pointer Diagram for SSB-AM"

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{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion
+
{{quiz-Header|Buchseite=Signal_Representation/Analytical_Signal_and_Its_Spectral_Function
 
}}
 
}}
  
[[File:P_ID732__Sig_Z_4_4_neu.png|right|Zeigerdiagramm bei ESB-AM]]
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[[File:P_ID732__Sig_Z_4_4_neu.png|right|frame|Given analytical spectrum  $S_+(f)$]]
Betrachtet werden soll das analytische Signal $s_+(t)$ mit dem Linienspektrum
+
 
 +
The analytical signal  $s_+(t)$  with the line spectrum
 
:$$S_{+}(f) =  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm
 
:$$S_{+}(f) =  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm
 
50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f -
 
50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f -
f_{\rm 60}).$$
+
f_{\rm 60})$$  
Hierbei stehen $f_{50}$ und $f_{60}$ als Abkürzungen für die Frequenzen $50 \ \text{kHz}$ bzw. $60 \ \text{kHz}$.
+
is to be considered.
 +
Here  $f_{50}$  and  $f_{60}$  are abbreviations for the frequencies  $50 \ \text{kHz}$  and  $60 \ \text{kHz}$, respectively.
 +
 
 +
This analytical signal could occur, for example, with the  [[Modulation_Methods/Einseitenbandmodulation|Single Sideband Amplitude Modulation]]  $\text{(SSB–AM)}$  of a sinusoidal message signal  $($Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$  with a cosinusoidal carrier signal  $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$ , whereby only the upper sideband is transmitted   ⇒   $\text{Upper Sideband Modulation}$.
 +
 
 +
However, the analytical signal could also result from a  $\text{Lower Sideband Modulation}$  of the same sinusoidal signal if a sinusoidal carrier with frequency  $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$  is used.
 +
 
 +
 
 +
 
  
Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenband–Amplitudenmodulation]] (ESB-AM) eines sinusförmigen Nachrichtensignals (Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$) mit einem cosinusförmigen Trägersignal ($f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$) auftreten, wobei <u>nur das obere Seitenband</u> übertragen wird (''OSB-Modulation'').
+
''Hints:''
 +
*This exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Signal_Representation/Analytical_Signal_and_Its_Spectral_Function|Analytical Signal and its Spectral Function]].
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*You can check your solution with the interaction module&nbsp; [[Applets:Physical_Signal_%26_Analytic_Signal|Physical and Analytical Signal]].
  
Das analytische Signal könnte aber auch durch eine ''USB-Modulation'' des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$ verwendet wird.
 
  
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] überprüfen.
 
  
  
===Fragebogen===
+
===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Geben Sie das analytische Signal $s_+(t)$ formelmäßig an. Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt $t = 0$?
+
{Give the analytical signal&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; as a formula.&nbsp; What value results at the starting time&nbsp; $t = 0$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\text{Re}[s_+(t = 0)]$ = { 1 3% } $\text{V}$
+
$\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
$\text{Im}[s_+(t = 0)]$ = $-$ { 1 3% } $\text{V}$
+
$\text{Im}[s_+(t = 0)]\ = \ $ { -1.03--0.97 } &nbsp;$\text{V}$
  
  
{Zu welcher Zeit $t_1$ tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals $s(t)$ relativ zum ersten Nulldurchgang des $50 \text{kHz-Cosinussignals}$ auf?  
+
{At what time&nbsp; $t_1$&nbsp; does the first zero crossing of the physical signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; occur relative to the first zero crossing of the&nbsp; $50 \ \text{kHz-cosine signal}$&nbsp;? <br>''Note:'' &nbsp; The latter is at time&nbsp; $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ &micro; \text{s}$.
Hinweis: Letzterer ist zur Zeit $T_0/4 = 1/(4f_{50}) = 5 \mu s$.
+
|type="()"}
|type="[]"}
+
- It is&nbsp; $t_1 < 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
- Es gilt $t_1 < 5 \mu s$.
+
- It is&nbsp; $t_1 = 5 \ {\rm &micro;}\text{s}$.
- Es gilt $t_1 = 5 \mu s$.
+
+ It is&nbsp; $t_1 > 5 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
+ Es gilt $t_1 > 5 \mu s$.
 
  
  
{Welchen Maximalwert nimmt der Betrag $|s_+(t)|$ an? Zu welchem Zeitpunkt $t_2$ wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?
+
{What is the maximum value of&nbsp; $|s_+(t)|$?&nbsp; At what time&nbsp; $t_2$&nbsp; is this maximum value reached for the first time?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$|s_+(t)|_{max}$ = { 2 3% } $\text{V}$
+
$|s_+(t)|_{\rm max}\ = \ ${ 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
$t_2$ = { 25 3% } $\mu s$
+
$t_2\ = \ ${ 25 3% } &nbsp;${\rm &micro; s}$
  
  
{Zu welchem Zeitpunkt $t_3$ ist die Zeigerlänge $|s_+(t)|$ erstmalig gleich $0$?
+
{At what time&nbsp; $t_3$&nbsp; is the pointer length&nbsp; $|s_+(t)|$&nbsp; equal to zero for the first time?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$t_3$ = { 75 3% } $\mu s$
+
$t_3\ = \ $ { 75 3% } &nbsp;${\rm &micro; s}$
  
  
Line 51: Line 57:
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Das analytische Signal lautet allgemein:
+
[[File:EN_Sig_Z_4_4_ML.png|right|frame|Three different analytical signals]]
 +
'''(1)'''&nbsp; The analytical signal is generally:
 
:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
:$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } - {\rm
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } - {\rm
 
j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$
 
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$
Zum Zeitpunkt $t = 0$ nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert $1$ an und man erhält $\underline{\text{Re}[s_+(t = 0)] = 1V}$ und $\underline{\text{Im}[s_+(t = 0)] = –1V}$ (siehe linke Grafik).
+
At time&nbsp; $t = 0$&nbsp; the complex exponential functions each take the value&nbsp; $1$&nbsp; and one obtains (see left graph):
[[File:P_ID733__Sig_Z_4_4_ML.png|center|]]
+
*$\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,
 
+
*$\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$.
'''2.'''  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:
+
<br clear=all>
 +
'''(2)'''&nbsp; For the analytical signal it can also be written:
 
:$$s_{+}(t)  =  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
 
:$$s_{+}(t)  =  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
 
50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm j} \cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}
 
50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm j} \cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}
\cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t })+\\ - {\rm j}
+
\cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t })  - {\rm j}
 
\cdot
 
\cdot
 
  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
 
  {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
 
60}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({
 
60}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({
 
\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$
 
\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$
Der Realteil hiervon beschreibt das tatsächliche, physikalische Signal:
+
The real part of this describes the actual physical signal:
 
:$$s(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
 
:$$s(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm
 
50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({
 
50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({
 
\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$
 
\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$
Bei alleiniger Berücksichtigung des 50 kHz-Cosinussignals würde der erste Nulldurchgang bei $t_1 = T_0/4$ auftreten, also nach $5 \mu s$, wobei $T_0 = 1/f_{50} = 20 \mu s$ die Periodendauer des 50 kHz-Signals bezeichnet. Das Sinussignal mit der Frequenz 60 kHz ist während der gesamten ersten Halbwelle ($0 ... 8.33\ \mu s$) positiv. Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von $s(t)  \Rightarrow  t_1 > 5\ \mu s$. Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
 
  
Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte. Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.
+
Correct is the <u>proposed solution 3</u>:
 +
*Considering the&nbsp; $50 \ \text{kHz}$&nbsp; cosine signal alone, the first zero crossing would occur at&nbsp; $t_1 = T_0/4$&nbsp; , i.e. after&nbsp; $5 \ {\rm &micro; s}$, where&nbsp; $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm &micro; s}$&nbsp; denotes the period duration of this signal.
 +
*The sinusoidal signal with the frequency&nbsp; $60 \ \text{kHz}$&nbsp; is positive during the entire first half-wave&nbsp; $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm &micro; s})$&nbsp;.
 +
*Due to the plus sign, the first zero crossing of&nbsp; $s(t) \ \Rightarrow \ t_1 > 5\ {\rm &micro; s}$ is delayed.
 +
*The middle graph shows the analytical signal at time&nbsp; $t = T_0/4$, when the red carrier would have its zero crossing.
 +
*The zero crossing of the violet cumulative pointer only occurs when it points in the direction of the imaginary axis. Then&nbsp; $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.
 +
 
 +
 
  
'''3.'''  Der Maximalwert von $|s_+(t)|$ wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen. Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; <u>also $2\ V$</u>.
+
'''(3)'''&nbsp; The maximum value of&nbsp; $|s_+(t)|$&nbsp; is reached when both pointers point in the same direction. The amount of the sum pointer is then equal to the sum of the two individual pointers; i.e.&nbsp; $\underline {2\ \text{V}}$.
  
Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega_{60}$ seinen „Rückstand” von $90°\ (\pi /2)$ gegenüber dem langsameren Zeiger ($\omega_{50}$) aufgeholt hat:
+
This case is reached for the first time when the faster pointer with circular velocity&nbsp; $\omega_{60}$&nbsp; has caught up its "lag" of&nbsp; $90^{\circ} \; (\pi /2)$&nbsp; with the slower pointer&nbsp; ($\omega_{50}$)&nbsp;:
:$$\omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t_2 - \omega_{\rm
+
:$$\omega_{\rm 60} \cdot  t_2 - \omega_{\rm
50}\hspace{0.05cm} t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm}
+
50}\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow\hspace{0.3cm}t_2  = \frac{\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}-
 
\Rightarrow\hspace{0.3cm}t_2  = \frac{\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}-
 
f_{\rm 50})} =  \frac{1}{4
 
f_{\rm 50})} =  \frac{1}{4
\cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}}.$$
+
\cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm &micro; s}}}.$$
Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger $5/4$ bzw. $6/4$ Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik). Das tatsächliche Signal $s(t)$ – also der Realteil von $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich $0$.
+
*At this point, the two pointers have made&nbsp; $5/4$&nbsp; and&nbsp; $6/4$&nbsp; rotations respectively and both point in the direction of the imaginary axis (see right graph).
 +
*The actual physical signal&nbsp; $s(t)$ – i.e. the real part of&nbsp; $s_+(t)$ – is therefore zero at this moment.
 +
 
 +
 
 +
 
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'''(4)'''&nbsp;  The condition for&nbsp; $|s_+(t_3)| = 0$&nbsp; is that there is a phase offset of&nbsp; $180^\circ$&nbsp; between the two equally long pointers so that they cancel each other out.
 +
*This further means that the faster pointer has rotated&nbsp; $3\pi /2$&nbsp; further than the&nbsp; $50 \ \text{kHz}$&nbsp; component.  
  
'''4.'''  Die Bedingung für $|s_+(t_3)| = 0$ ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von $180°$ besteht, sodass sie sich auslöschen. Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um $3\pi /2$ weiter gedreht hat als der $50$ kHz-Anteil. Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe 3) gilt deshalb:
+
*Analogous to the sample solution of sub-task&nbsp; '''(3)'''&nbsp;, therefore the following applies:
 
:$$t_3  = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=
 
:$$t_3  = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{=
  {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s}}.$$
+
  {\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm &micro; s}}}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
 
__NOEDITSECTION__
 
__NOEDITSECTION__
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]
+
[[Category:Signal Representation: Exercises|^4.2 Analytical Signal and its Spectral Function^]]

Revision as of 15:37, 7 May 2021

Given analytical spectrum  $S_+(f)$

The analytical signal  $s_+(t)$  with the line spectrum

$$S_{+}(f) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm 50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm 60})$$

is to be considered. Here  $f_{50}$  and  $f_{60}$  are abbreviations for the frequencies  $50 \ \text{kHz}$  and  $60 \ \text{kHz}$, respectively.

This analytical signal could occur, for example, with the  Single Sideband Amplitude Modulation  $\text{(SSB–AM)}$  of a sinusoidal message signal  $($Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$  with a cosinusoidal carrier signal  $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$ , whereby only the upper sideband is transmitted   ⇒   $\text{Upper Sideband Modulation}$.

However, the analytical signal could also result from a  $\text{Lower Sideband Modulation}$  of the same sinusoidal signal if a sinusoidal carrier with frequency  $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$  is used.



Hints:



Questions

1

Give the analytical signal  $s_+(t)$  as a formula.  What value results at the starting time  $t = 0$?

$\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}[s_+(t = 0)]\ = \ $

 $\text{V}$

2

At what time  $t_1$  does the first zero crossing of the physical signal  $s(t)$  occur relative to the first zero crossing of the  $50 \ \text{kHz-cosine signal}$ ?
Note:   The latter is at time  $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ µ \text{s}$.

It is  $t_1 < 5 \ {\rm µ} \text{s}$.
It is  $t_1 = 5 \ {\rm µ}\text{s}$.
It is  $t_1 > 5 \ {\rm µ} \text{s}$.

3

What is the maximum value of  $|s_+(t)|$?  At what time  $t_2$  is this maximum value reached for the first time?

$|s_+(t)|_{\rm max}\ = \ $

 $\text{V}$
$t_2\ = \ $

 ${\rm µ s}$

4

At what time  $t_3$  is the pointer length  $|s_+(t)|$  equal to zero for the first time?

$t_3\ = \ $

 ${\rm µ s}$


Solution

Three different analytical signals

(1)  The analytical signal is generally:

$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } - {\rm j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$

At time  $t = 0$  the complex exponential functions each take the value  $1$  and one obtains (see left graph):

  • $\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,
  • $\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$.


(2)  For the analytical signal it can also be written:

$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm j} \cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) - {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({ \omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$

The real part of this describes the actual physical signal:

$$s(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({ \omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$

Correct is the proposed solution 3:

  • Considering the  $50 \ \text{kHz}$  cosine signal alone, the first zero crossing would occur at  $t_1 = T_0/4$  , i.e. after  $5 \ {\rm µ s}$, where  $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm µ s}$  denotes the period duration of this signal.
  • The sinusoidal signal with the frequency  $60 \ \text{kHz}$  is positive during the entire first half-wave  $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm µ s})$ .
  • Due to the plus sign, the first zero crossing of  $s(t) \ \Rightarrow \ t_1 > 5\ {\rm µ s}$ is delayed.
  • The middle graph shows the analytical signal at time  $t = T_0/4$, when the red carrier would have its zero crossing.
  • The zero crossing of the violet cumulative pointer only occurs when it points in the direction of the imaginary axis. Then  $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.


(3)  The maximum value of  $|s_+(t)|$  is reached when both pointers point in the same direction. The amount of the sum pointer is then equal to the sum of the two individual pointers; i.e.  $\underline {2\ \text{V}}$.

This case is reached for the first time when the faster pointer with circular velocity  $\omega_{60}$  has caught up its "lag" of  $90^{\circ} \; (\pi /2)$  with the slower pointer  ($\omega_{50}$) :

$$\omega_{\rm 60} \cdot t_2 - \omega_{\rm 50}\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}t_2 = \frac{\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} = \frac{1}{4 \cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$
  • At this point, the two pointers have made  $5/4$  and  $6/4$  rotations respectively and both point in the direction of the imaginary axis (see right graph).
  • The actual physical signal  $s(t)$ – i.e. the real part of  $s_+(t)$ – is therefore zero at this moment.


(4)  The condition for  $|s_+(t_3)| = 0$  is that there is a phase offset of  $180^\circ$  between the two equally long pointers so that they cancel each other out.

  • This further means that the faster pointer has rotated  $3\pi /2$  further than the  $50 \ \text{kHz}$  component.
  • Analogous to the sample solution of sub-task  (3) , therefore the following applies:
$$t_3 = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$