Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.8: Different Error Probabilities"

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{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Lineare digitale Modulation
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{{quiz-Header|Buchseite=Modulation_Methods/Linear_Digital_Modulation
 
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[[File:P_ID1703__Mod_A_4_7.png|right|frame|AWGN–Fehlerwahrscheinlichkeitskurven von ASK, BPSK und DPSK]]
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[[File:P_ID1703__Mod_A_4_7.png|right|frame|AWGN error probability curves of <br>ASK, BPSK and DPSK]]
Hier werden die  Bitfehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm B}$ der digitalen Modulationsverfahren ASK und BPSK ohne weitere Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der so genannten Q–Funktion
+
Here,&nbsp; the bit error probabilities &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; of the digital modulation methods ASK and BPSK are given without further derivation.&nbsp; For example,&nbsp; with the so-called Q function,
:$$ \rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$
+
:$$ {\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u,$$
für den AWGN–Kanal gekennzeichnet durch den Quotienten $E_{\rm B}/N_0$ – und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation)
+
one obtains for the AWGN channel&nbsp; &nbsp; characterized by the quotient&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; &nbsp; and further optimal conditions&nbsp; (for example coherent demodulation)
* für ''Amplitude Shift Keying'' (ASK):
+
* for &nbsp;"Amplitude Shift Keying"&nbsp; $\rm (ASK)$:
 
:$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$
 
:$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$
* für ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK):
+
* for &nbsp;"Binary Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$:
 
:$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
 
+
* for &nbsp;"Differential Phase Shift Keying"&nbsp;  $\rm (DPSK)$&nbsp; with differential coherent demodulation is:
Die entsprechende Gleichung für ''Differential Phase Shift Keying'' (DPSK) mit differentiell–kohärenter Demodulation lautet:
 
 
:$$p_{\rm B} ={1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{N_0 }}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$p_{\rm B} ={1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{N_0 }}\hspace{0.05cm}.$$
Aber auch die ASK könnte nichtkohärent demoduliert werden. In diesem Fall würde gelten:
+
:However,&nbsp; ASK could also be demodulated non-coherently.&nbsp; In this case the following would apply:
 
:$$ p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/(2{N_0 })}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/(2{N_0 })}\hspace{0.05cm}.$$
Die drei ersten Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Beispielsweise erhält man für $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  entsprechend den exakten Funktionen:
+
The first three error probabilities are shown in the diagram.&nbsp; For example,&nbsp; for &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; corresponding to the exact functions,&nbsp; one obtains:
 
:$$ p_{\rm B} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (ASK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{\rm B} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm},$$
 
:$$ p_{\rm B} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (ASK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{\rm B} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm},$$
Um bei BPSK die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = 10^{–5}$ zu erreichen bzw. zu unterschreiten, muss $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ge 9.6 \ \rm dB$ sein.
+
For BPSK to reach or fall below the bit error probability &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ge 9.6 \ \rm dB$.&nbsp;
  
  
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].
 
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick]].
 
*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]] desBuches „Digitalsignalübertragung”.
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
*Für die numerischen Auswertungen können Sie die folgende obere Schranke verwenden:
 
:$$ \rm Q_{\rm S} (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} \cdot x}\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \ge \rm Q (\it x)\hspace{0.05cm}.$$
 
  
  
  
===Fragebogen===
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Notes:
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*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Linear_Digital_Modulation|Linear Digital Modulation]].
 +
*Reference is made in particular to the section&nbsp; [[Modulation_Methods/Linear_Digital_Modulation#Error_probabilities_-_a_brief_overview|Error probabilities - a brief overview]].
 +
*The derivations can be found in the chapter &nbsp;[[Digital_Signal_Transmission/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Linear Digital Modulation - Coherent Demodulation]]&nbsp; of the book "Digital Signal Transmission".
 +
*For numerical evaluations,&nbsp; you can use the following upper bound:
 +
:$$ {\rm Q}_{\rm S} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} \cdot x}\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \ge {\rm Q} ({\it x})\hspace{0.05cm}.$$
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===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die ASK–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$ unter Verwendung der oberen Schranke ${\rm Q_S}(x)$.
+
{Calculate the &nbsp;'''ASK''' bit error probability for &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; using the upper bound&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$.
 
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$p_{\rm B} \ = \ $  { 85 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
 
$p_{\rm B} \ = \ $  { 85 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
  
  
{Berechnen Sie die BPSK–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$ unter Verwendung der oberen Schranke ${\rm Q_S}(x)$.
+
{Calculate the &nbsp;'''BPSK''' bit error probability for &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; using the upper bound&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$.
 
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$p_{\rm B} \ = \ $ { 0.405 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
 
$p_{\rm B} \ = \ $ { 0.405 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
  
{Geben Sie für die ASK den minimalen Wert für $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) an, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = 10^{–5}$ erreicht wird.
+
{Specify the minimum value for &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB) for &nbsp;'''ASK'''&nbsp; to achieve the bit error probability &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$.&nbsp;
 
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$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$  
 
$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$  
  
{Berechnen Sie die DPSK–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.
+
{Calculate the &nbsp;'''DPSK''' bit error probability for &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.
 
|type="{}"}
 
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$p_{\rm B} \ = \ $ { 2.27 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
 
$p_{\rm B} \ = \ $ { 2.27 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
  
{Geben Sie für DPSK den minimalen Wert für $E_{\rm B}/N_0$ (in dB) an, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = 10^{–5}$ erreicht wird
+
{For &nbsp;'''DPSK''',&nbsp; specify the minimum value for &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB) to achieve the bit error probability &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$.&nbsp;
 
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$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 10.4 3% } $\ \rm dB$  
 
$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 10.4 3% } $\ \rm dB$  
  
{Welches $E_{\rm B}/N_0$ (in dB)  benötigt man dagegen bei inkohärenter ASK, um wieder $p_{\rm B} = 10^{–5}$ zu erreichen?
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{On the other hand,&nbsp; what &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (in dB)&nbsp; is needed for &nbsp;'''incoherent ASK'''&nbsp; to achieve &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{–5}$?&nbsp;
 
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$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 13.4 3% }  $\ \rm dB$
 
$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ { 13.4 3% }  $\ \rm dB$
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</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
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===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Aus $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $ und damit
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'''(1)'''&nbsp; From&nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; follows&nbsp; $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $&nbsp; and thus
 
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{10} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5 }\hspace{0.15cm}\underline {= 85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{10} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5 }\hspace{0.15cm}\underline {= 85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $7.83 · 10^{–4}$. Die angegebene Gleichung ${\rm Q_S}(x)$ ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$. Der relative Fehler bei Verwendung von ${\rm Q_S}(x)$ anstelle von ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.
+
*The actual value according to the specification sheet is&nbsp; $78.3 · 10^{–5}$.&nbsp;
 +
*Thus,&nbsp; the given equation&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$&nbsp; is actually an upper bound for&nbsp; ${\rm Q}(x)$.  
 +
*The relative error of using&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$&nbsp; instead of&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; in this case is less than&nbsp; $10\%$.
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'''(2)'''&nbsp; Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung:
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'''(2)'''&nbsp; For BPSK,&nbsp; the corresponding equation is:
 
:$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{20} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {= 0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{20} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {= 0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
*Nun beträgt der relative Fehler durch Verwendung von ${\rm Q_S}(x)$ nur noch $\5\%$.  
+
*Now, by using&nbsp; ${\rm Q_S}(x)$,&nbsp; the relative error is only&nbsp; $5 \%$.  
*Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung ${\rm Q}(x) ≈ {\rm Q_S}(x)$.
+
*In general: &nbsp; The smaller the error probability, the better the approximation&nbsp; ${\rm Q}(x) ≈ {\rm Q_S}(x)$.
 +
 
  
  
'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6\ \rm  dB$ erforderlich. Bei der ASK muss der logarithmierte Wert um etwa $3\ \rm  dB$ erhöht werden &nbsp; ⇒ &nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 12.6 \ \rm dB}$.
+
'''(3)'''&nbsp; For BPSK,&nbsp; according to the specification,&nbsp; a (logarithmized) value of&nbsp; $9.6\ \rm  dB$&nbsp; is required for this.
 +
*For ASK,&nbsp; the logarithmized value must be increased by about&nbsp; $3\ \rm  dB$&nbsp; &nbsp; ⇒ &nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 12.6 \ \rm dB}$.
  
  
'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen DPSK–Gleichung gilt mit $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $:
+
 
 +
'''(4)'''&nbsp; According to the given DPSK equation,&nbsp; with&nbsp; $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $:
 
:$$p_{\rm B} = {\rm 1}/{2 }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.27 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$p_{\rm B} = {\rm 1}/{2 }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.27 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
Wie bereits aus der Grafik auf der Angabenseite ersichtlich, liegt die DPSK mit differentiell–kohärenter Demodulation zwischen der binären Phasenmodulation (BPSK) und der binären Amplitudenmodulation (ASK), wenn für beide eine kohärente Demodulation vorgesehen ist.
+
*As can already be seen from the diagram on the specification page,&nbsp; DPSK with differential coherent demodulation lies between binary phase modulation&nbsp; (BPSK)&nbsp; and binary amplitude modulation&nbsp; (ASK) when coherent demodulation is provided for both.
  
  
'''(5)'''&nbsp; Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:
+
 
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'''(5)'''&nbsp; From the inverse function of the given equation,&nbsp; we obtain:
 
:$$ \frac{E_{\rm B}} {N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{E_{\rm B}} {N_{\rm 0}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 10.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ \frac{E_{\rm B}} {N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{E_{\rm B}} {N_{\rm 0}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 10.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(6)'''&nbsp; Die inkohärente ASK ist entsprechend den angegebenen Gleichungen wieder um $3\ \rm  dB$ schlechter als die differentiell–kohärente DPSK. Daraus folgt für den gesuchten dB–Wert: &nbsp;  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 13.4 \ \rm dB}$.
+
 
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 +
'''(6)'''&nbsp; The incoherent ASK is again&nbsp; $3\ \rm  dB$&nbsp; worse than the differential coherent DPSK according to the equations given.&nbsp; From this it follows for the sought dB value: &nbsp;   
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:$$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 13.4 \ \rm dB}.$$
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]
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[[Category:Modulation Methods: Exercises|^4.2 Linear Digital Modulation^]]

Latest revision as of 15:42, 15 April 2022

AWGN error probability curves of
ASK, BPSK and DPSK

Here,  the bit error probabilities  $p_{\rm B}$  of the digital modulation methods ASK and BPSK are given without further derivation.  For example,  with the so-called Q function,

$$ {\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u,$$

one obtains for the AWGN channel  –  characterized by the quotient  $E_{\rm B}/N_0$  –  and further optimal conditions  (for example coherent demodulation)

  • for  "Amplitude Shift Keying"  $\rm (ASK)$:
$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$
  • for  "Binary Phase Shift Keying"  $\rm (BPSK)$:
$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
  • for  "Differential Phase Shift Keying"  $\rm (DPSK)$  with differential coherent demodulation is:
$$p_{\rm B} ={1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{N_0 }}\hspace{0.05cm}.$$
However,  ASK could also be demodulated non-coherently.  In this case the following would apply:
$$ p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/(2{N_0 })}\hspace{0.05cm}.$$

The first three error probabilities are shown in the diagram.  For example,  for  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  corresponding to the exact functions,  one obtains:

$$ p_{\rm B} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (ASK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{\rm B} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm},$$

For BPSK to reach or fall below the bit error probability  $p_{\rm B} = 10^{–5}$   ⇒   $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ge 9.6 \ \rm dB$. 



Notes:

$$ {\rm Q}_{\rm S} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} \cdot x}\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \ge {\rm Q} ({\it x})\hspace{0.05cm}.$$


Questions

1

Calculate the  ASK bit error probability for  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  using the upper bound  ${\rm Q_S}(x)$.

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

2

Calculate the  BPSK bit error probability for  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  using the upper bound  ${\rm Q_S}(x)$.

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

3

Specify the minimum value for  $E_{\rm B}/N_0$  (in dB) for  ASK  to achieve the bit error probability  $p_{\rm B} = 10^{–5}$. 

$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $

$\ \rm dB$

4

Calculate the  DPSK bit error probability for  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

5

For  DPSK,  specify the minimum value for  $E_{\rm B}/N_0$  (in dB) to achieve the bit error probability  $p_{\rm B} = 10^{–5}$. 

$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $

$\ \rm dB$

6

On the other hand,  what  $E_{\rm B}/N_0$  (in dB)  is needed for  incoherent ASK  to achieve  $p_{\rm B} = 10^{–5}$? 

$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \ = \ $

$\ \rm dB$


Solution

(1)  From  $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  follows  $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $  and thus

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{10} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5 }\hspace{0.15cm}\underline {= 85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
  • The actual value according to the specification sheet is  $78.3 · 10^{–5}$. 
  • Thus,  the given equation  ${\rm Q_S}(x)$  is actually an upper bound for  ${\rm Q}(x)$.
  • The relative error of using  ${\rm Q_S}(x)$  instead of  ${\rm Q}(x)$  in this case is less than  $10\%$.


(2)  For BPSK,  the corresponding equation is:

$$ p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx {\rm Q_{\rm S}}\left ( \sqrt{20} \right )= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {= 0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Now, by using  ${\rm Q_S}(x)$,  the relative error is only  $5 \%$.
  • In general:   The smaller the error probability, the better the approximation  ${\rm Q}(x) ≈ {\rm Q_S}(x)$.


(3)  For BPSK,  according to the specification,  a (logarithmized) value of  $9.6\ \rm dB$  is required for this.

  • For ASK,  the logarithmized value must be increased by about  $3\ \rm dB$    ⇒   $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 12.6 \ \rm dB}$.


(4)  According to the given DPSK equation,  with  $ E_{\rm B}/N_0 = 10 $:

$$p_{\rm B} = {\rm 1}/{2 }\cdot \rm e^{-10 }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.27 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
  • As can already be seen from the diagram on the specification page,  DPSK with differential coherent demodulation lies between binary phase modulation  (BPSK)  and binary amplitude modulation  (ASK) when coherent demodulation is provided for both.


(5)  From the inverse function of the given equation,  we obtain:

$$ \frac{E_{\rm B}} {N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{E_{\rm B}} {N_{\rm 0}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 10.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


(6)  The incoherent ASK is again  $3\ \rm dB$  worse than the differential coherent DPSK according to the equations given.  From this it follows for the sought dB value:  

$$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 13.4 \ \rm dB}.$$