Aufgaben:Exercise 4.9Z: Is Channel Capacity C ≡ 1 possible with BPSK?

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Zwei unterschiedliche Störkomponenten mit WDF f_N(n)

Wir gehen hier von einem binären bipolaren Quellensignal aus   ⇒   X = (+1, –1). Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Quelle lautet somit:

$$f_X(x) = {1}/{2} \cdot \delta (x-1) + {1}/{2} \cdot \delta (x+1)\hspace{0.05cm}. $$

Die Transinformation zwischen der Quelle X und der Sinke Y kann gemäß der Gleichung

$$I(X;Y) = h(Y) - h(N)$$

berechnet werden, wobei gilt:

• $h(Y)$ bezeichnet die differentielle Sinkenentropie

$$h(Y) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_Y(y) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm},$$

$${\rm mit}\hspace{0.5cm} f_Y(y) = {1}/{2} \cdot \left [ f_{Y|{X}}(y|{X}=-1) + f_{Y|{X}}(y|{X}=+1) \right ]\hspace{0.05cm}.$$

• $h(N)$ gibt die differentielle Störentropie an, allein berechenbar aus der WDF $f_N(n)$:

$$h(N) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_N)} \hspace{-0.35cm} f_N(n) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_N(n) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}n \hspace{0.05cm}.$$

Nimmt man für die Störung N eine Gaußverteilung f_N(n) entsprechend der oberen Skizze an, so ergibt sich die Kanalkapazität C_BPSK = I(X; Y), die im Theorieteil abhängig von 10 · lg (E_B/N₀) dargestellt ist.

Beantwortet werden soll in dieser Aufgabe die Frage, ob es einen endlichen E_B/N₀–Wert gibt, für den C_BPSK(E_B/N₀) ≡ 1 bit/Kanalzugriff möglich ist  ⇒  Teilaufgabe (5).

In den Teilaufgaben (1) bis (4) werden Vorarbeiten zur Beantwortung dieser Frage geleistet. Dabei wird stets von der gleichverteilten Stör–WDF f_N(n) ausgegangen (siehe untere Skizze):

$$f_N(n) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2A) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |n| < A, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |n| > A. \\ \end{array} $$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite AWGN-Kanalkapazität für binäre Eingangssignale.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Wie groß ist die differentielle Störentropie bei gleichverteilter Störung mit A = 1/8?

$h(N) \ = \ $ $\ \rm bit/Symbol$

2

Wie groß ist die differentielle Sinkenentropie bei gleichverteilter Störung mit A = 1/8?

$h(Y) \ = \ $ $\ \rm bit/Symbol$

3

Wie groß ist die Transinformation zwischen Quelle und Sinke? Gehen Sie weiterhin von einer gleichverteilten Störung mit A = 1/8 aus.

$I(X;Y) \ = \ $ $\ \rm bit/Symbol$

4

Unter welchen Bedingungen ändert sich am Ergebnis der Teilaufgabe (3) nichts?

	Für jedes A ≤ 1 bei der vorgegebenen Gleichverteilung.
	Für jede andere WDF fN(n), die auf den Bereich |n| < 1 begrenzt ist.
	Wenn sich fY|X(y|–1) und fY|X(y|+1) nicht überlappen.

5

Beantworten Sie nun die entscheidende Frage, unter der Voraussetzung, dass eine Gaußsche Störung vorliegt und der Quotient E_B/N₀ endlich ist.

	CBPSK(EB/N0) ≡ 1 bit/Symbol ist mit einer Gauß–WDF möglich.
	Bei Gaußscher Störung mit endlichem EB/N0 gilt stets CBPSK(EB/N0) < 1 bit/Symbol.

Musterlösung

Solution

(1)  Die differentielle Entropie einer Gleichverteilung der absoluten Breite 2A ist gleich

$$ h(N) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2A) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A=1/8\hspace{-0.05cm}: \hspace{0.15cm}h(N) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1/4) \hspace{0.15cm}\underline{= -2\,{\rm bit(/Symbol)}}\hspace{0.05cm}.$$

WDF der Ausgangsgröße Y  bei gleichverteilter Störung N

(2)  Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion am Ausgang ergibt sich entsprechend der Gleichung:

$$f_Y(y) = {1}/{2} \cdot \left [ f_{Y|{X}}(y|-1) + f_{Y|{X}}(y|+1) \right ]\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt das Ergebnis für unser Beispiel (A = 1/8):

• Rot gezeichnet ist der erste Term 1/2 · f_Y|X(y|–1), wobei das Rechteck f_N(n) an die Stelle Y = –1 verschoben und mit 1/2 multipliziert wird. Es ergibt sich ein Rechteck der Breite 2A = 1/4 und der Höhe 1/(4A) = 2.
• Blau dargestellt ist der zweite Term 1/2 · f_Y|X(y|+1) mit der Mitte bei Y = +1.
• Lässt man die Farben außer Betracht, so ergibt sich die gesamte WDF f_Y(y).

Die differentiellen Entropie wird nicht verändert wird, wenn man nicht überlappende WDF–Abschnitte verschiebt. Somit ergibt sich für die gesuchte differentielle Sinkenentropie:

$$h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (4A) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A=1/8\hspace{-0.05cm}: \hspace{0.15cm}h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1/2) \hspace{0.15cm}\underline{= -1\,{\rm bit(/Symbol)}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Damit erhält man für die Transinformation zwischen Quelle und Sinke:

$$I(X; Y) = h(Y) \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} h(N) = (-1\,{\rm bit/Symbol})\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm}(-2\,{\rm bit/Symbol}) \hspace{0.15cm}\underline{= +1\,{\rm bit/Symbol}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Alle Lösungsvorschläge sind zutreffend:

• Für jedes A ≤ 1 gilt

$$ h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (4A) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2A) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} h(N) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2A)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} I(X; Y) = h(Y) \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}h(N) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= +1\,{\rm bit/Symbol}}\hspace{0.05cm}.$$

• An diesem Prinzip ändert sich auch bei anderer WDF f_N(n) nichts, solange die Störung auf den Bereich |n| ≤ 1 begrenzt ist.
• Überlappen sich jedoch die beiden bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, so ergibt sich für h(Y) ein kleinerer Wert als oben berechnet und damit auch eine kleinere Transinformation.

WDF der Ausgangsgröße Y  bei gaußverteilter Störung N

(5)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Die Gaußfunktion klingt zwar sehr schnell ab, sie wird aber nie exakt gleich 0.
• Deshalb kommt es hier immer zu einer Überlappung der bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen f_Y|X(y|–1) und f_Y|X(y|+1.)
• Entsprechend der Teilaufgabe (4) ist deshalb C_BPSK(E_B/N₀) ≡ 1 bit/Symbol nicht möglich.