Exercise 4.9Z: Is Channel Capacity C ≡ 1 possible with BPSK?

Wir gehen hier von einem binären bipolaren Quellensignal ⇒ X = (+1, –1)</nobr> aus. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Quelle lautet somit: $$f_X(x) = {1}/{2} \cdot \delta (x-1) + {1}/{2} \cdot \delta (x+1)\hspace{0.05cm}. $$ Die Transinformation zwischen der Quelle X und der Sinke Y kann gemäß der folgenden Gleichung berechnet werden: $$I(X;Y) = h(Y) - h(N)\hspace{0.05cm}, $$ wobei gilt:

h(Y) bezeichnet die differentille Sinkenentropie :

$$h(Y) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_Y(y) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm},$$ $${\rm mit}\hspace{0.5cm} f_Y(y) = {1}/{2} \cdot \left [ f_{Y|{X}}(y|{X}=-1) + f_{Y|{X}}(y|{X}=+1) \right ]\hspace{0.05cm}.$$

h(N) gibt die differentielle Störentropie an, berechenbar aus der WDF $$f_N(n)$$

$$h(N) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_N)} \hspace{-0.35cm} f_N(n) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_N(n) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}n \hspace{0.05cm}.$$ Nimmt man für die Störung N eine Gaußverteilung f_N(n) entsprechend der oberen Skizze an, so ergibt sich die gewünschte Kanalkapazität C_BPSK = I(X; Y), die im Theorieteil abhängig von 10 · lg (E_B/N₀) dargestellt ist.

Beantwortet werden soll in dieser Aufgabe die Frage, ob es einen endlichen E_B/N₀–Wert gibt, für den C_BPSK(E_B/N₀) ≡ 1 bit/Kanalzugriff möglich ist ⇒ Teilaufgabe (e).

In den Teilaufgaben (a), ... , (d) werden Vorarbeiten zur Beantwortung dieser Frage geleistet. Dabei wird stets von einer gleichverteilten Stör–WDF f_N(n) ausgegangen (siehe untere Skizze): $$f_N(n) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2A) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |n| < A, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |n| > A. \\ \end{array} $$

Hinweis

Die Aufgabe bezieht sich auf Seite 5b im Kapitel 4.3.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

	Falsch
	Richtig