Exercise 5.3Z: Non-Recursive Filter

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Betrachtet wird das nebenstehende nichtrekursive Filter mit den Filterkoeffizienten

$$a_0 = 1,\quad a_1 = 2,\quad a_2 = 1.$$

Gesucht sind die jeweiligen Ausgangsfolgen 〈y_ν〉, wenn am Eingang folgende Wertefolgen angelegt werden:

die Gleichfolge

$$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {g_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;1,\;...} \right\rangle .$$

die Sinusfolge mit der Periodendauer T₀ = 4 · T_A:

$$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {s_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;0, - 1,\;0,\;1,\;0, - 1,\;...} \right\rangle .$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 5.2 im vorliegenden Buch sowie auf das Kapitel 3 im Buch Signaldarstellung.

Fragebogen

1

Wie lautet die Filter–Impulsantwort h(t)? Zu welchem Zeitpunkt ν · T_A hat diese ihr Maximum?

$v$ =

2

Berechnen Sie den Frequenzgang H(f). Wie groß ist der Wert bei f = 0?

$H(f = 0)$ =

3

Welche Ausgangsfolge 〈y_ν〉 ergibt sich für die Gleichfolge 〈g_ν〉 an seinem Eingang? Interpretieren Sie dieses Ergebnis unter Berücksichtigung von Punkt (b). Welcher Ausgangswert ergibt sich für ν = 4?

$Eingangsfolge 〈g_ν〉: y4$ =

4

Welche Ausgangsfolge 〈y_ν〉 ergibt sich für die Folge 〈s_ν〉 am Eingang? Welcher Ausgangswert ergibt sich für ν = 4?

$Eingangsfolge 〈s_ν〉: y4$ = -

Musterlösung

Solution

1.  Die Impulsantwort lautet:

$$h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$$

Das Maximum liegt bei T_A, d. h. es ist ν = 1.

2.  Der Frequenzgang H(f) ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort h(t). Die um T_A nach links verschobene Impulsantwort

$$h'(t) = \delta ( {t + T_{\rm A} } ) + 2 \cdot \delta ( t ) + \delta ( {t - T_{\rm A} } )$$

ist symmetrisch um t = 0 und hat dementsprechend den rein reellen Frequenzgang

$$H'(f) = 2\left( {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \right).$$

Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt weiter:

$$H(f) = 2\left( {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } )} \right) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT_{\rm A} } .$$

Der Wert des Frequenzgangs bei der Frequenz f = 0 ist demzufolge H(f = 0) = 4.

3.  Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge 〈g_ν〉 mit der Impulsantwort 〈h_ν〉 = 〈1, 2, 1〉 ergibt

$$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;4,\;...\;} \right\rangle $$

und insbesondere y₄ = 4. Mit Ausnahme der Werte y₀ und y₁ (Einschwingvorgang) erhält man auch am Ausgang eine Gleichfolge mit dem Wert 4:

$$y(t) = H( {f = 0} ) \cdot x( t ).$$

4.  Analog zur Teilaufgabe (c) erhält man nun durch Verschiebung, Gewichtung mit a₁, a₂, a₃ und anschließender Überlagerung:

$$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\;0,\;1,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;2,\;0,\; - 2,\;0,\;...\;} \right\rangle .$$

Der gesuchte Wert ist somit y₄ = –2.

Anderer Lösungsweg: Die Eingangsfolge 〈x_ν〉 verläuft sinusförmig mit der Periode 4 · T_A. Die Grundfrequenz ist dementsprechend f₀ = 1/(4 · T_A). Bei dieser Frequenz hat der Frequenzgang H(f) folgenden Wert (vgl. Punkt b):

$$H( {f = f_0 } ) = 2\left( {1 + \cos ( {{{\rm{\pi }}}/{2}} )} \right) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} = 2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi /2}}} .$$

Lässt man den Einschwingungsvorgang (abgeschlossen bei t = 2 · T_A) außer Betracht, so ergibt sich mit τ = T_A (Phase: 90°) folgender Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangssignal:

$$y(t) = 2 \cdot x( {t - T_{\rm A} } ).$$

Aus der Sinusfunktion wird die Funktion „Minus-Cosinus” mit der Amplitude 2.