Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.3Z: Realization of a PN Sequence"

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{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Spreizfolgen für CDMA
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{{quiz-Header|Buchseite=Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA
 
}}
 
}}
  
[[File:P_ID1886__Mod_Z_5_3.png|right|]]
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[[File:EN_Mod_Z_5_3neu.png|right|frame|Two PN generator realizations]]
Die Grafik zeigt zwei mögliche Generatoren zur Erzeugung von PN–Sequenzen in unipolarer Darstellung: $u_ν$ ∈ {0, 1}. Der obere Generator mit den Koeffizienten
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The diagram shows two possible generators for generating PN sequences in unipolar representation:   $u_ν ∈ \{0, 1\}$.  
$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
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*The upper generator with the coefficients
wird durch die Oktalkennung $(g_3, g_2, g_1, g_0)_{oktal} = (15)$ bezeichnet. Entsprechend ist die Oktalkennung des zweiten PN–Generators gleich (17).
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:$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}$$
 +
:is denoted by the octal identifier   $(g_3,\ g_2,\ g_1,\ g_0)_{\rm octal} = (15)$. 
  
Man spricht von einer M–Sequenz, wenn für die Periodenlänge der Folge 〈$u_ν$〉 gilt: $P = 2^G – 1$. Hierbei bezeichnet G den Grad des Schieberegisters, der gleich der Anzahl der Speicherzellen ist.
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*Accordingly,  the octal identifier of the second PN generator is  $(17)$.
  
 +
*One speaks of an M-sequence if for the period length of the sequence   $〈u_ν〉$   holds:
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:$$P = 2^G – 1.$$
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:Here,  $G$  denotes the degree of the shift register,  which is equal to the number of memory cells.
  
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
  
  
  
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf das [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Spreizfolgen_f%C3%BCr_CDMA Kapitel 5.3] dieses Buches sowie auf das [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen Kapitel 2.5] im Buch „Stochastische Signaltheorie”. Wir möchten Sie gerne auch auf das folgende Lehrvideo hinweisen:
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Notes:  
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*The exercise belongs to the chapter   [[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA|Spreading Sequences for CDMA]].
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*Reference is also made to the chapter   [[Theory_of_Stochastic_Signals/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen |Generation of Discrete Random Variables]]  in the book "Theory of Stochastic Signals".  
 +
* We would also like to draw your attention to the&nbsp;  (German language)&nbsp;  learning video <br> &nbsp; [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)|Erläuterung der PN–Generatoren an einem Beispiel]] &nbsp; &rArr;&nbsp;  "Explanation of PN generators using an example".&nbsp;
 +
  
Verdeutlichung der PN–Generatoren :
 
  
<lntmedia>
+
===Questions===
  file:Erlaeuterung der PN-Generatoren am Beispiel L = 4.ogv
 
  file:Erlaeuterung der PN-Generatoren am Beispiel L = 4.mp4
 
</lntmedia>
 
 
 
===Fragebogen===
 
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß ist der Grad der PN–Generatoren?
+
{What is the degree &nbsp;$G$&nbsp; of the two PN generators considered here?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$G$ = { 3 3% }  
+
$G \ = \ $ { 3 }  
  
{Geben Sie die Periodenlänge des PN–Generators $(15)_{oktal}$ an.
+
{Give the period length &nbsp;$P$&nbsp; of the PN generator with the octal identifier &nbsp;$(15)$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$P$ = { 7 3% }  
+
$P\ = \ $ { 7 }  
  
{Welche der nachfolgenden Aussagen treffen für jede M–Sequenz zu?
+
{Which of the following statements are true for each M-sequence?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich.
+
- The number of&nbsp; "zeros"&nbsp; and&nbsp; "ones"&nbsp; is the same.
+ In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen.
+
+ In each period there is one more&nbsp; "ones"&nbsp; than&nbsp; "zeros".
+ Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist G.
+
+ The maximum number of consecutive&nbsp; "ones"&nbsp; is &nbsp;$G$.
+ Die Folge 1 0 1 0 1 0 ..... ist nicht möglich.
+
+ The sequence &nbsp;$1 0 1 0 1 0$ ... &nbsp; is not possible.
  
{Geben Sie die Periodenlänge des Generators $(17)_{oktal}$ an:
+
{Specify the period length &nbsp;$P$&nbsp; of the PN generator with the octal identifier&nbsp;$(17)$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$P$ = { 1 3% }
+
$P\ = \ $ { 1 }
  
{Welcher PN–Generator liefert eine M–Sequenz?
+
{Which PN generator produces an M-sequence?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Generator Nr. $(15)_{oktal},$
+
+ The generator with the octal identifier &nbsp;$(15)$.
- Generator Nr. $(17)_{oktal},$
+
- The generator with the octal identifier &nbsp;$(17)$.
  
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Der Grad G = 3 ist gleich der Anzahl der Speicherzellen des Schieberegisters.
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'''(1)'''&nbsp; The degree&nbsp; $\underline{G = 3}$&nbsp; is equal to the number of memory cells of the shift register.
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'''(2)'''&nbsp; From the given sequence the period length&nbsp; $\underline{P = 7}$&nbsp; can be read.&nbsp; Because of&nbsp; $P = 2^G –1$&nbsp; it is an M-sequence.
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'''(3)'''&nbsp; <u>Solutions 2, 3 and 4</u>&nbsp; are correct:
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*The maximum number of consecutive&nbsp; "ones"&nbsp; is&nbsp; $G$&nbsp; (whenever there is a&nbsp; "one"&nbsp; in all&nbsp; $G$&nbsp; memory cells).
 +
*On the other hand,&nbsp; it is not possible that all memory cells are filled with zeros&nbsp; (otherwise only zeros would be generated).
 +
*Therefore,&nbsp; there is always one more&nbsp; "ones"&nbsp; than zeros.
 +
*The period length of the sequence&nbsp; "$1 0 1 0 1 0$ ..." &nbsp; is&nbsp; $P = 2$.&nbsp; For an M-sequence&nbsp; $P = 2^G –1$.&nbsp; For no value of&nbsp; $G$:&nbsp; &nbsp; $P = 2$&nbsp; is possible.
  
'''2.''' Aus der angegebenen Folge ist die Periodenlänge P = 7 ablesbar. Wegen $P = 2^G –1$ handelt es sich um eine M–Sequenz.
 
  
'''3.''' Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist G (nämlich immer dann, wenn in allen G Speicherzellen eine Eins steht). Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind (da sonst nur noch Nullen erzeugt würden). Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
 
  
Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt P = 2. Bei einer M–Sequenz gilt dagegen $P = 2^G –1$. Für keinen Wert von G ist P = 2 möglich.
+
'''(4)'''&nbsp; If all memory cells are occupied with ones,&nbsp; the generator with the octal identifier&nbsp; $(17)$&nbsp; returns a&nbsp; $1$&nbsp; again:
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:$$u_{\nu} \big [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \big ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Since this does not change the memory allocation,&nbsp; all further binary values generated will also be&nbsp; $1$&nbsp; each &nbsp; ⇒ &nbsp; $\underline{P = 1}$.
  
Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4.
 
  
'''4.''' Sind alle Speicherzellen mit Einsen belegt, so liefert der Generator $(17)_{okta}$ wieder eine 1:
 
$$u_{\nu} \left [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \right ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$
 
Da sich so an der Speicherbelegung nichts ändert, werden auch alle weiteren erzeugten Binärwerte jeweils 1 sein ⇒ P = 1.
 
  
'''5.''' Richtig ist Antwort 1: Von einer M–Sequenz spricht man nur dann, wenn $P = 2^G –1$ gilt. M steht hierbei für „maximal”.
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'''(5)'''&nbsp; <u>Answer 1</u>&nbsp; is correct:  
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*One speaks of an M-sequence only if&nbsp; $P = 2^G –1$&nbsp; holds.  
 +
*Here,&nbsp; "M"&nbsp; stands for "maximum".
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]
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[[Category:Modulation Methods: Exercises|^5.3 Spread Sequences for CDMA^]]

Latest revision as of 17:32, 20 December 2021

Two PN generator realizations

The diagram shows two possible generators for generating PN sequences in unipolar representation:   $u_ν ∈ \{0, 1\}$.

  • The upper generator with the coefficients
$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}$$
is denoted by the octal identifier   $(g_3,\ g_2,\ g_1,\ g_0)_{\rm octal} = (15)$. 
  • Accordingly,  the octal identifier of the second PN generator is  $(17)$.
  • One speaks of an M-sequence if for the period length of the sequence   $〈u_ν〉$  holds:
$$P = 2^G – 1.$$
Here,  $G$  denotes the degree of the shift register,  which is equal to the number of memory cells.



Notes:


Questions

1

What is the degree  $G$  of the two PN generators considered here?

$G \ = \ $

2

Give the period length  $P$  of the PN generator with the octal identifier  $(15)$.

$P\ = \ $

3

Which of the following statements are true for each M-sequence?

The number of  "zeros"  and  "ones"  is the same.
In each period there is one more  "ones"  than  "zeros".
The maximum number of consecutive  "ones"  is  $G$.
The sequence  $1 0 1 0 1 0$ ...   is not possible.

4

Specify the period length  $P$  of the PN generator with the octal identifier $(17)$.

$P\ = \ $

5

Which PN generator produces an M-sequence?

The generator with the octal identifier  $(15)$.
The generator with the octal identifier  $(17)$.


Solution

(1)  The degree  $\underline{G = 3}$  is equal to the number of memory cells of the shift register.


(2)  From the given sequence the period length  $\underline{P = 7}$  can be read.  Because of  $P = 2^G –1$  it is an M-sequence.


(3)  Solutions 2, 3 and 4  are correct:

  • The maximum number of consecutive  "ones"  is  $G$  (whenever there is a  "one"  in all  $G$  memory cells).
  • On the other hand,  it is not possible that all memory cells are filled with zeros  (otherwise only zeros would be generated).
  • Therefore,  there is always one more  "ones"  than zeros.
  • The period length of the sequence  "$1 0 1 0 1 0$ ..."   is  $P = 2$.  For an M-sequence  $P = 2^G –1$.  For no value of  $G$:    $P = 2$  is possible.


(4)  If all memory cells are occupied with ones,  the generator with the octal identifier  $(17)$  returns a  $1$  again:

$$u_{\nu} \big [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \big ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Since this does not change the memory allocation,  all further binary values generated will also be  $1$  each   ⇒   $\underline{P = 1}$.


(5)  Answer 1  is correct:

  • One speaks of an M-sequence only if  $P = 2^G –1$  holds.
  • Here,  "M"  stands for "maximum".