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Die bei einem System wirksame Störleistungsdichte kann als bereichsweise konstant angenommen werden:
$$\it{\Phi} _n \left( f \right) = \left\{ \begin{array}{l} N_0 /2 \\ N_1 /2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c} \rm{f\ddot{u}r} \\ \rm{f\ddot{u}r} \\\end{array}\quad \begin{array}{*{20}c} {\left| f \right| \le f_{\rm N} ,} \\ {\left| f \right| > f_{\rm N} .} \\\end{array}$$
Hierbei sei die Störleistungsdichte N1 im äußeren Bereich <nobr>(> fN)</nobr> stets sehr viel kleiner als N0. Verwenden Sie zum Beispiel die folgenden Werte:
$$N_0 = 2 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} /{\rm{Hz}},\quad N_1 = 2 \cdot 10^{ - 8} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$
Ein solches Störsignal n(t) tritt beispielsweise dann auf, wenn die dominante Störquelle nur Anteile unterhalb der Grenzfrequenz fN beinhaltet. Aufgrund des unvermeidbaren thermischen Rauschens ist jedoch auch oberhalb von |f| = fN die Störleistungsdichte Φn(f) ≠ 0.
Das Spektrum G(f) des Nutzsignals sei entsprechend der obigen Skizze ebenfalls rechteckförmig. Der zugehörige Nutzimpuls g(t) hat deshalb mit Δf = 2 · fG folgenden Verlauf:
$$g(t) = G_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} \left( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta f \cdot t} \right).$$
Verwenden Sie für numerische Berechnungen stets die Zahlenwerte
$$G_0 = 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{, }}\quad \Delta f = 10\;{\rm{kHz}}.$$
Das Empfangsfilter sei optimal an das Nutzspektrum G(f) und das Störleistungsdichtespektrums Φn(f) angepasst. Das heißt, es gelte HE(f) = HMF(f). Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend <nobr>TD = 0</nobr> (akausale Systembeschreibung).


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen gelten unter der Voraussetzung fN > fG?

Anwendbar ist das „Matched-Filter” für „Weißes Rauschen”.
Der MF–Ausgangsimpuls ist dreieckförmig.
Der MF–Ausgangsimpuls ist s–förmig.
Der MF–Ausgangsimpuls ist si2–förmig.

2

Welches S/N–Verhältnis (in dB) ergibt sich für fN > fG?

$10\ .\ lg(\rho_d)$ =

$dB$

3

Welches SNR (in dB) ergibt sich für fN = fG /2? Interpretation.

$10\ .\ lg(\rho_d)$ =

$dB$


Musterlösung

1.  Für alle Frequenzen |f| < fG, bei denen das Nutzsignal Spektralanteile besitzt (G(f) ≠ 0), ist das Störleistungsdichtespektrum Φn(f) = N0 /2. Damit lautet der Frequenzgang des Matched-Filters, TD = 0 vorausgesetzt:
$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G(f).$$
Der optimale Frequenzgang HMF(f) ist in diesem Fall ebenso wie G(f) rechteckförmig mit Breite Δf. Für den Nutzanteil des MF-Ausgangssignals gilt:
$$d_{\rm S}(t)\quad \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \quad G(f) \cdot H_{\rm MF} (f).$$
Das Produkt zweier Rechteckfunktionen gleicher Breite ergibt wiederum diese Rechteckfunktion. Daraus folgt weiter, dass der Ausgangsimpuls des Matched-Filters ebenfalls si-förmig verläuft. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3.
2.  Bei weißem Rauschen erhält man:
$$\rho _d = \frac{1}{N_0 /2}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {G(f)} \right|^2 \, {\rm{d}}f.}$$
Das Integral liefert den Wert G02 · Δf. Daraus folgt:
$$\rho _d = \frac{G_0 ^2 \cdot \Delta f }{N_0 /2} = \frac{ 10^{ - 8}\,(\rm V/Hz)^2 \;\cdot10^4 \;{\rm{Hz}} }{10^{ - 6}\,\rm V^2/Hz} = 10^2 $$
$$\Rightarrow \quad 10\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline { = 20\;{\rm{dB}}}.$$
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3.  Allgemein gilt für das SNR bei farbiger Störung:
$$\rho _d = 2 \cdot \int_0^\infty {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{\it{\Phi} _n (f)}} \, {\rm{d}}f.$$
Wie aus der nebenstehenden qualitativen Skizze hervorgeht, ist der Integrand bei den vorgegebenen Frequenzgängen stückweise konstant. Mit fG = 5 kHz und fN = fG/2 <nobr>(= 2.5 kHz)</nobr> erhält man somit:
$$\rho _d = 2 \cdot 2.5\;{\rm{kHz}}\left( { \frac{10^{ - 2}}{\rm{Hz}} + \frac{1}{{{\rm{Hz}}}} } \right) = 5.05 \cdot 10^3$$
$$ \Rightarrow \quad 10\cdot\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline {= 37.03\;{\rm{dB}}}.$$
Interpretation:
Der Matched–Filter–Frequenzgang HMF(f) hat genau den selben Verlauf wie der oben skizzierte Integrand. Wird die Konstante KMF (willkürlich) so gewählt, dass im Bereich fNffG der MF–Frequenzgang den Wert 1 besitzt, so gilt für tiefe Frequenzen (|f| < fN): HMF(f) = 0.01. Das bedeutet: Das Matched–Filter bevorzugt diejenigen Frequenzen, die durch die Störung Φn(f) nur wenig beeinträchtigt werden.
Würde man stattdessen ein Filter H(f) verwenden, das alle Frequenzen des Nutzsignals bis einschließlich fG gleich bewertet (violetter Kurvenverlauf in der unteren Skizze), so ergäben sich folgende Verhältnisse:
$$d_{\rm S}( {T_{\rm D} } ) = G_0 \cdot 2 \cdot f_{\rm G} = 1\;{\rm{V}},$$
$$\sigma _d ^2 = 10^{ - 6} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot f_{\rm G} + 10^{ - 8} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot ( {f_{\rm G} - f_{\rm N} } ) = 2.5 \cdot 1.01 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}$$
$$ \Rightarrow \rho _d = \frac {d_{\rm S}( {T_{\rm D} } )^2}{\sigma _d ^2} = \frac{1 \;{\rm{V}}^{\rm{2}}}{2.525 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}} = 396 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \, \rho _d = 25.98 \, {\rm dB}.$$
Das Signal–zu–Rauschverhältnis ist somit um ca. 11 dB schlechter, als wenn man das Matched–Filter für farbige Störungen verwendet.