Some Basics of Algebra

1 # ÜBERBLICK ZUM ZWEITEN HAUPTKAPITEL #
2 Definition eines Galoisfeldes
3 Beispiele und Eigenschaften von Galoisfeldern
4 Gruppe, Ring, Körper – algebraische Grundbegriffe
5 Definition und Beispiele einer algebraischen Gruppe
6 Definition und Beispiele eines algebraischen Rings
7 Aufgaben zum Kapitel
8 Quellenverzeichnis

# ÜBERBLICK ZUM ZWEITEN HAUPTKAPITEL #

Dieses Kapitel behandelt die Reed–Solomon–Codes, die Anfang der 1960er Jahre von Irving Stoy Reed und Gustave Solomon erfunden wurden. Im Gegensatz zu den binären Blockcodes basieren diese auf einem Galoisfeld ${\rm GF}(2^m)$ mit $m > 1$. Sie arbeiten also mit mehrstufigen Symbolen anstelle von Binärzeichen (Bit).

Im Einzelnen werden in diesem Kapitel behandelt:

Die Grundlagen der linearen Algebra: Menge, Gruppe, Ring, Körper, endlicher Körper,
die Definition von Erweiterungskörpern ⇒ ${\rm GF}(2^m)$ und die zugehörigen Operationen,
die Bedeutung von irreduziblen Polynomen und primitiven Elementen,
die Beschreibungs– und Realisierungsmöglichkeiten eines Reed–Solomon–Codes,
Fehlerkorrektur eines solchen Codes beim Auslöschungskanal (BEC),
die Decodierung mit Hilfe des Error Locator Polynoms ⇒ Bounded Distance Decoding,
die Blockfehlerwahrscheinlichkeit der Reed–Solomon–Codes und typische Anwendungen.

Definition eines Galoisfeldes

Bevor wir uns der Beschreibung der Reed–Solomon–Codes zuwenden können, benötigen wir einige algebraische Grundbegriffe. Beginnen wir mit den Eigenschaften eines Galoisfeldes ${\rm GF}(q)$, benannt nach dem Franzosen Évariste Galois, dessen Biografie für einen Mathematiker eher ungewöhnlich ist.

$\text{Definition:}$ Ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ ist ein endlicher Körper mit $q$ Elementen $z_0$, $z_1$, ... , $z_{q-1}$, wenn die acht nachfolgend aufgeführten Aussagen hinsichtlich Addition („$+$”) und Multiplikation („$\cdot $”) zutreffen.

Addition und Multiplikation sind hierbei modulo $q$ zu verstehen.
Die Ordnung $q$ die Anzahl der Elemente des Galoisfeldes.

$\rm (A)$ ${\rm GF}(q)$ ist in sich abgeschlossen ⇒ Closure:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}(z_i + z_j)\in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm}(z_i \cdot z_j)\in {\rm GF}(q) \hspace{0.05cm}. \]

$\rm (B)$ Es gibt ein hinsichtlich der Addition neutrales Element $N_{\rm A}$, das so genannte Nullelement ⇒ Identity for „+”:

\[\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_i \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_j = N_{\rm A} = {\rm "0"} \hspace{0.25cm}{\rm (Nullelement)} \hspace{0.05cm}.\]

$\rm (C)$ Es gibt ein hinsichtlich der Multiplikation neutrales Element $N_{\rm M}$, das so genannte Einselement ⇒ Identity for „·”:

\[\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} z_j = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm}{\rm (Einselement)} \hspace{0.05cm}. \]

$\rm (D)$ Für jedes $z_i$ existiert eine additive Inverse ${\rm Inv_A}(z_i)$ ⇒ Inverse for „+”:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}. \]

$\rm (E)$ Für jedes $z_i$ mit Ausnahme des Nullelements existiert die multiplikative Inverse ${\rm Inv_M}(z_i)$ ⇒ Inverse for „·”:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A}, \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1} \hspace{0.05cm}. \]

$\rm (F)$ Für Addition und Multiplikation gilt jeweils das Kommutativgesetz ⇒ Commutative Law:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_j + z_i ,\hspace{0.15cm}z_i \cdot z_j = z_j \cdot z_i \hspace{0.05cm}.\]

$\rm (G)$ Für Addition und Multiplikation gilt jeweils das Assoziativgesetz ⇒ Associative Law:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i,\hspace{0.1cm} z_j ,\hspace{0.1cm} z_k \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}(z_i + z_j) + z_k = z_i + (z_j + z_k ),\hspace{0.15cm}(z_i \cdot z_j) \cdot z_k = z_i \cdot (z_j \cdot z_k ) \hspace{0.05cm}.\]

$\rm (H)$ Für die Kombination „Addition – Multiplikation” gilt das Distributivgesetz ⇒ Distributive Law:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i,\hspace{0.15cm} z_j ,\hspace{0.15cm} z_k \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}(z_i + z_j) \cdot z_k = z_i \cdot z_k + z_j \cdot z_k \hspace{0.05cm}.\]

Beispiele und Eigenschaften von Galoisfeldern

Wir überprüfen zunächst, ob für die binäre Zahlenmenge $Z_2 = \{0, 1\}$ ⇒ $q=2$ (gültig für den einfachen Binärcode) die auf der letzten Seite genannten acht Kriterien erfüllt werden, so dass man tatsächlich von „${\rm GF}(2)$” sprechen kann. Sie sehen nachfolgend die Additions– und Multiplikationstabelle:

$$Z_2 = \{0, 1\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition: } \left[ \begin{array}{c|cccccc} + & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \hspace{-0.1cm} ,\hspace{0.25cm}\text{Multiplikation: } \left[ \begin{array}{c|cccccc} \cdot & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right]\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}{\rm GF}(2) . $$

Man erkennt aus dieser Darstellung:

Jedes Element der Additions– und der Multiplikationstabelle von $Z_2$ ist wieder $z_0 = 0$ oder $z_0 = 1$ ⇒ das Kriterium $\rm (A)$ ist erfüllt.

Die Zahlenmenge $Z_2$ enthält das Nullelement $(\hspace{-0.05cm}N_{\rm A} = z_0 = 0)$ und das Einselement $(\hspace{-0.05cm}N_{\rm M} = z_1 = 1)$ ⇒ die Kriterien $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind erfüllt.

Die additiven Inversen ${\rm Inv_A}(0) = 0$ und ${\rm Inv_A}(1) = -1 \ {\rm mod}\ 2 = 1$ existieren und gehören zu $Z_2$. Ebenso gibt es die multiplikative Inverse ${\rm Inv_M}(1) = 1$ ⇒ die Kriterien $\rm (D)$ und $\rm (E)$ sind erfüllt.

Die Gültigkeit des Kommutativgesetzes $\rm (F)$ in der Menge $Z_2$ erkennt man an der Symmetrie bezüglich der Tabellendiagonalen. Die Kriterien $\rm (G)$ und $\rm (H)$ werden hier ebenfalls erfüllt ⇒ alle acht Kriterien sind erfüllt ⇒ $Z_2 = \rm GF(2)$.

$\text{Beispiel 1:}$ Die Zahlenmenge $Z_3 = \{0, 1, 2\}$ ⇒ $q = 3$ erfüllt alle acht Kriterien und ist somit ein Galoisfeld $\rm GF(3)$:

$$Z_3 = \{0, 1, 2\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition: } \left[ \begin{array}{c | cccccc} + & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right] \hspace{-0.1cm} ,\hspace{0.25cm}\text{Multiplikation: } \left[ \begin{array}{c | cccccc} \cdot & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2& 0 & 2 & 1 \end{array} \right]\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}{\rm GF}(3) . $$

$\text{Beispiel 2:}$ Dagegen ist die Zahlenmenge $Z_4 = \{0, 1, 2, 3\}$ ⇒ $q = 4$ kein Galoisfeld.

Der Grund hierfür ist, dass es hier zum Element $z_2 = 2$ keine multiplikative Inverse gibt. Bei einem Galoisfeld müsste nämlich gelten: $2 \cdot {\rm Inv_M}(2) = 1$
In nachfolgender Multiplikationstabelle gibt es aber in der dritten Zeile und dritten Spalte (jeweils gültig für den Multiplikanden $z_2 = 2$ keinen Eintrag mit „$1$”.

$$Z_4 = \{0, 1, 2, 3\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition: } \left[ \begin{array}{c | cccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \hspace{-0.1cm} ,\hspace{0.25cm}\text{Multiplikation: } \left[ \begin{array}{c | cccccc} \cdot& 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2 & 0 & 2\\ 3 & 0 & 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{kein }{\rm GF}(4) . $$

$\text{Verallgemeinerung (vorerst) ohne Beweis:}$

Ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ kann in der hier beschriebenen Weise als Ring von Integergrößen modulo $q$ nur dann gebildet werden, wenn $q$ eine Primzahl ist: $q = 2$, $q = 3$, $q = 5$, $q = 7$, $q = 11$, ...

Kann man aber die Ordnung $q$ in der Form $q = P^m$ mit einer Primzahl $P$ und ganzzahligem $m$ ausdrücken, so lässt sich das Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ über einen Erweiterungskörper finden.

Gruppe, Ring, Körper – algebraische Grundbegriffe

Auf den beiden ersten Seiten sind bereits einige algebraische Grundbegriffe gefallen, ohne dass deren Bedeutungen genauer erläutert wurden. Dies soll nun in aller Kürze aus Sicht eines Nachrichtentechnikers nachgeholt werden, wobei wir uns vorwiegend auf die Darstellung in [Fri96]^[1] und [KM+08]^[2] beziehen. Zusammenfassend lässt sich sagen:

$\text{Definition:}$ Ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ ist ein Körper (englisch: Field) mit einer begrenzten Anzahl $(q)$ an Elementen ⇒ endlicher Körper. Jeder Körper ist wieder ein Sonderfall eines Rings (gleichlautende englische Bezeichnung), der sich selbst wieder als Spezialfall einer Abelschen Gruppe (englisch: Abelian Group) darstellen lässt.

Algebraische Zusammenhänge zwischen Gruppe, Ring und Körper

Die folgende Grafik verdeutlicht schrittweise, wie sich aus einer Menge durch Definition von Additition, Multiplikation und Division innerhalb dieser Menge $\mathcal{M}$ folgende untergeordnete Mengen ergeben:

Abelsche Gruppe $\mathcal{G}$ (englisch: Field) ,
Ring $\mathcal{R}$,
Körper $\mathcal{K}$ (englisch: Field $\mathcal{F}$),
endlicher Körper $\mathcal{F}_q$ oder Galoisfeld ${\rm GF}(q)$.

Auf den beiden nächsten Seiten werden die hier genannten algebraischen Begriffe noch etwas genauer behandelt. Zum Verstehen der Reed–Solomon–Codes sind diese Kenntnisse allerdings nicht unbedingt erforderlich. Sie könnten also auch direkt zum Kapitel Erweiterungskörper springen.

Definition und Beispiele einer algebraischen Gruppe

Für die allgemeinen Definitionen von Gruppe (und später Ring) gehen wir von einer Menge mit unendlich vielen Elementen aus:

\[\mathcal{M} = \{\hspace{0.1cm}z_1,\hspace{0.1cm} z_2,\hspace{0.1cm} z_3 ,\hspace{0.1cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. \]

$\text{Definition:}$ Eine algebraische Gruppe $(\mathcal{G}, +)$ ist eine (beliebige) Teilmenge $\mathcal{G} ⊂ \mathcal{M})$ zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten additiven Verknüpfung („$+$”), allerdings nur dann, wenn die folgenden Eigenschaften zwingend erfüllt sind:

Für alle $z_i, z_j ∈ \mathcal{G}$ gilt $(z_i + z_j) ∈ \mathcal{G}$ ⇒ Closure–Kriterium für „$+$”.
Es gibt stets ein hinsichtlich der Addition neutrales Element $N_{\rm A} ∈ \mathcal{G}$, so dass für alle $z_i ∈ \mathcal{G}$ gilt: $z_i +N_{\rm A} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist $N_{\rm A} \equiv 0$.

Für alle $z_i ∈ \mathcal{G}$ gibt es zudem ein hinsichtlich der Addition inverses Element ${\rm Inv_A}(z_i) ∈ \mathcal{G}$ mit der Eigenschaft $z_i + {\rm Inv_A}(z_i)= N_{\rm A} $. Bei einer Zahlengruppe ist ${\rm Inv_A}(z_i) =- z_i$.

Für alle $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{G}$ gilt: $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k)$ ⇒ Assoziativgesetz für „$+$”.

Wird zusätzlich für alle $z_i, z_j ∈ \mathcal{G}$ das Kommutativgesetz $z_i + z_j= z_j + z_i$ erfüllt, so spricht man von einer kommutativen Gruppe oder einer Abelschen Gruppe, benannt nach dem norwegischen Mathematiker Niels Hendrik Abel.

$\text{Beispiele für algebraische Gruppen:}$

(1) Die Menge der rationalen Zahlen ist definiert als die Menge aller Quotienten $I/J$ mit ganzen Zahlen $I$ und $J ≠ 0$. Diese Menge ist eine Gruppe $(\mathcal{G}, +)$ hinsichtlich der Addition, da

für alle $a ∈ \mathcal{G}$ und $b ∈ \mathcal{G}$ auch die Summe $a+b$ wieder zu $\mathcal{G}$ gehört,
das Assozitativgesetz gilt,
mit $ N_{\rm A} = 0$ das neutrale Element der Addition in $\mathcal{G}$ enthalten ist, und
es für jedes $a$ die additive Inverse ${\rm Inv_A}(a) = -a$ existiert.

Da zudem das Kommutativgesetz erfüllt ist, handelt es sich um eine abelsche Gruppe.

(2) Die Menge der natürlichen Zahlen, $\{0, 1, 2, \text{...}\}$, ist hinsichtlich Addition keine algebraische Gruppe, da es für kein einziges Element $z_i$ die additive Inverse ${\rm Inv_A}(z_i) = -z_i$ gibt.

(3) Die begrenzte natürliche Zahlenmenge, $\{0, 1, 2, \text{...}\hspace{0.05cm}, q_{i-1}\}$, erfüllt dagegen dann die Bedingungen an eine Gruppe $(\mathcal{G}, +)$, wenn man die Addition modulo $q$ definiert.

(4) Dagegen ist $\{1, 2, 3, \text{...}\hspace{0.05cm},q\}$ keine Gruppe, da das neutrale Element der Addition $(N_{\rm A} = 0)$ fehlt.

Definition und Beispiele eines algebraischen Rings

Entsprechend der Übersichtsgrafik kommt man von der Gruppe $(\mathcal{G}, +)$ durch Definition einer zweiten Rechenoperation – der Multiplikation („$\cdot$”) – zum Ring $(\mathcal{R}, +, \cdot)$. Man benötigt hierfür also neben einer Additionstabelle auch eine Multiplikationstabelle.

$\text{Definition:}$ Eine algebraischer Ring $(\mathcal{R}, +, \cdot)$ ist eine Teilmenge $\mathcal{R} ⊂ \mathcal{G} ⊂ \mathcal{M})$ zusammen mit zwei in dieser Menge definierten Rechenoperationen, der Addition („$+$”) und der Multiplikation („$·$”). Dabei müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt werden:

Hinsichtlich der Addition ist der Ring$(\mathcal{R}, +, \cdot)$ eine Abelsche Gruppe $(\mathcal{G}, +)$.
Zusätzlich gilt für alle $z_i, z_j ∈ \mathcal{R}$ auch $(z_i \cdot z_j) ∈ \mathcal{R}$ ⇒ Closure–Kriterium für „$\cdot$”.
Es gibt stets auch ein hinsichtlich der Multiplikation neutrales Element $N_{\rm M} ∈ \mathcal{R}$, so dass für alle $z_i ∈ \mathcal{R}$ gilt: $z_i \cdot N_{\rm N} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist $N_{\rm M} \equiv 1$.

Für alle $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{R}$ gilt: $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k)$ ⇒ Assoziativgesetz für „$\cdot $”.

Für alle $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{R}$ gilt: $z_i \cdot (z_j + z_k) = z_i \cdot z_j + z_i \cdot z_k$ ⇒ Distributivgesetz für „$\cdot $”.

Weiter sollen die folgenden Vereinbarungen gelten:

Ein Ring $(\mathcal{R}, +, \cdot)$ ist nicht notwendigerweise kommutativ. Gilt tatsächlich auch für alle Elemente $z_i, z_j ∈ \mathcal{R}$ das Kommutativgesetz $z_i \cdot z_j= z_j \cdot z_i$ hinsichtlich der Multiplikation, so spricht man in der Fachliteratur von einem kommutativen Ring.
Existiert für jedes Element $z_i ∈ \mathcal{R}$ mit Ausnahme von $N_{\rm A}$ (neutrales Element der Addition, Nullelement) ein hinsichtlich der Multiplikation inverses Element ${\rm Inv_M}(z_i)$, so dass $z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = 1$ gilt, so liegt ein Divisionsring (englisch: Division Ring) vor.
Der Ring ist nullteilerfrei (englisch: free of zero devisors), wenn aus $z_i \cdot z_j = 0$ zwingend $z_i = 0$ oder $z_j = 0$ folgt. In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes ein vom Nullelement verschiedenes Element $z_i$, falls es ein Element $z_j \ne 0$ gibt, so dass das Produkt $z_i \cdot z_j = 0$ ist.
Ein kommutativer nullteilerfreier Ring wird als Integritätsring oder Integritätsbereich (englisch: Integral Domain) bezeichnet.

$\text{Fazit:}$ Vergleicht man die Definitionen von Gruppe, Ring (siehe oben), Körper und Galoisfeld, so erkennt man, dass ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$

ein endlicher Körper (englisch: Field) mit $q$ Elementen ist,

gleichzeitig als Commutative Division Ring aufgefasst werden kann, und auch

einen Integritätsbereich (englisch: Integral Domain) beschreibt.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.1: Gruppe, Ring, Körper

Zusatzaufgabe 2.1Z: Welche Tabellen beschreiben Gruppen

Aufgabe 2.2: Eigenschaften von Galoisfeldern

Zusatzaufgabe 2.2Z: Galoisfeld GF(5)

Quellenverzeichnis

↑ Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.
↑ Kötter, R.; Mayer, T.; Tüchler, M.; Schreckenbach, F.; Brauchle, J.: Channel Coding. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.

[Fri96-1] Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.

[KM.2B08-2] Kötter, R.; Mayer, T.; Tüchler, M.; Schreckenbach, F.; Brauchle, J.: Channel Coding. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.

[1]

[2]