Approximation of the Error Probability

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Optimale Entscheidung bei binärer Übertragung (1)


Wir gehen hier von einem Übertragungssystem aus, das wie folgt charakterisiert werden kann: r = s + n:

  • Der das Übertragungssystem vollständig beschreibende Vektorraum wird von N = 2 zueinander orthogonalen Basisfunktionen φ1(t) und φ2(t) aufgespannt.
  • Demzufolge ist auch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des additiven und weißen Gaußschen Rauschens zweidimensional anzusetzen, gekennzeichnet durch den Vektor n = (n1, n2).
  • Es gibt nur zwei mögliche Sendesignale (M = 2), die durch die beiden Vektoren s0 = (s01, s02) und s1 = (s11, s12) beschrieben werden:
\[s_0(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} s_{01} \cdot \varphi_1(t) + s_{02} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm},\]
\[s_1(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} s_{11} \cdot \varphi_1(t) + s_{12} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.\]
  • Die beiden Nachrichten m0s0 und m1s1 sind nicht notwendigermaßen gleichwahrscheinlich.
  • Aufgabe des Entscheiders ist es nun, für den gegebenen Empfangsvektor r einen Schätzwert nach der MAP–Entscheidungsregel anzugeben. Diese lautet im vorliegenden Fall:
\[\hat{m} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\boldsymbol{ \rho } |m_i ) ] \hspace{0.15cm} \in \hspace{0.15cm}\{ m_i\}\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} \boldsymbol{ r } = \boldsymbol{ \rho } = (\rho_1, \rho_2) \hspace{0.05cm}.\]

Im hier betrachteten Sonderfall N = 2 und M = 2 partitioniert der Entscheider den zweidimensionalen Raum in die zwei disjunkten Gebiete I0 und I1, wie in der nachfolgenden Grafik verdeutlicht. Liegt der Empfangswert in I0, so wird als Schätzwert m0 ausgegeben, andernfalls m1.

Entscheidungsregionen für gleiche (links) bzw. ungleiche (rechts) Auftrittswahrscheinlichkeiten

Die Herleitung und Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Optimale Entscheidung bei binärer Übertragung (2)


Beim AWGN–Kanal und M = 2 lautet somit die Entscheidungsregel: Man entscheide sich immer dann für die Nachricht m0, falls folgende Bedingung erfüllt ist:

\[{\rm Pr}( m_0) \cdot {\rm exp} \left [ - \frac{1}{2 \sigma_n^2} \cdot || \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_0 ||^2 \right ] > {\rm Pr}( m_1) \cdot {\rm exp} \left [ - \frac{1}{2 \sigma_n^2} \cdot || \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_1 ||^2 \right ] \hspace{0.05cm}.\]

Die Grenzlinie zwischen den beiden Entscheidungsregionen I0 und I1 erhält man, wenn man in obiger Gleichung das Größerzeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt und die Gleichung etwas umformt:

\[|| \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_0 ||^2 - 2 \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm}[{\rm Pr}( m_0)] = || \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_1 ||^2 - 2 \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm}[{\rm Pr}( m_1)] \]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \boldsymbol{ s }_1 ||^2 - || \boldsymbol{ s }_0 ||^2 + 2 \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.\]

Aus dieser Gleichung erkennt man:

  • Die Grenzkurve zwischen den Regionen I0 und I1 ist eine Gerade, da die Bestimmungsgleichung linear im Empfangsvektor ρ = (ρ1, ρ2) ist.
  • Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen verläuft die Grenze genau in der Mitte zwischen s0 und s1 und um 90° verdreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den Sendepunkten (linke Grafik):
\[|| \boldsymbol{ s }_1 ||^2 - || \boldsymbol{ s }_0 ||^2 = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.\]
  • Für Pr(m0) > Pr(m1) ist die Entscheidungsgrenze in Richtung des unwahrscheinlicheren Symbols (s1) verschoben, und zwar um so mehr, je größer die AWGN–Streuung σn ist.

Entscheidungsregionen für gleiche (links) bzw. ungleiche (rechts) Auftrittswahrscheinlichkeiten

Die grün–durchgezogene Entscheidungsgrenze im rechten Bild sowie die Entscheidungsregionen I0 (rot) und I1 (blau) gelten für die Streuung σn = 1 und die gestrichelten Grenzlinien für σn = 0 bzw. σn = 2.

Gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Fehlerwahrscheinlichkeit (1)


Wir gehen weiterhin von einem Binärsystem aus (M = 2), betrachten aber nun den einfachen Fall, dass dieses durch eine einzige Basisfunktion beschrieben werden kann (N = 1). Die Fehlerwahrscheinlichkeit hierfür wurde bereits in Kapitel 1.2 berechnet.

Mit der für Kapitel 4 gewählten Nomenklatur und Darstellungsform ergibt sich folgende Konstellation:

  • Der Empfangswert r = s + n – nunmehr ein Skalar – setzt sich aus dem Sendesignal s ∈ {s0, s1} und dem Rauschterm n zusammen. Die Abszisse ρ bezeichnet eine Realisierung von r.
  • Die Abszisse ist auf die Bezugsgröße E1/2 normiert, wobei die Normierungsenergie E keine herausgehobene physikalische Bedeutung hat.
  • Der Rauschterm n ist gaußverteilt mit dem Mittelwert 0 und der Varianz σn2. Die Wurzel aus der Varianz (σn) wird als Effektivwert oder Streuung bezeichnet.
  • Die Entscheidergrenze G unterteilt den gesamten Wertebereich von r in die beiden Teilbereiche I0 (in dem unter anderem s0 liegt) und I1 (mit dem Signalwert s1).
  • Ist ρ > G, so liefert der Entscheider den Schätzwert m0, andernfalls m1. Hierbei ist vorausgesetzt, dass die Nachricht mi mit dem Sendesignal si eineindeutig zusammenhängt: mi  ⇔  si.
Bedingte Dichtefunktionen bei gleichwahrscheinlichen Symbolen

Die Grafik zeigt die bedingten (eindimensionalen) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen pr|m0 und pr|m1 für den hier betrachteten AWGN–Kanal, wobei gleiche Symbolwahrscheinlichkeiten vorausgesetzt sind: Pr(m0) = Pr(m1) = 0.5. Dementsprechend ist die (optimale) Entscheidergrenze G = 0.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

  • Ist m = m0 und damit s = s0 = 2 · E 1/2, so kommt es nur dann zu einer Fehlentscheidung, wenn η, die Realisierung der Rauschgröße n, kleiner ist als –2 · E 1/2.
  • In diesem Fall ist ρ < 0, wobei ρ eine Realisierung des Empfangswertes r bezeichnet.

Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Fehlerwahrscheinlichkeit (2)


Bedingte Dichtefunktionen bei gleichwahrscheinlichen Symbolen

Kommen wir nun zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit:

  • Bei AWGN–Rauschen mit dem Effektivwert (Streuung) σn erhält man in diesem Fall, wie bereits in Kapitel 1.2 mit anderer Nomenklatur berechnet wurde:
\[{\rm Pr}({ \cal E} | m_0) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{G = 0} p_{r \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_0 } ({ \rho } |m_0 ) \,{\rm d} \rho = \int_{-\infty}^{- s_0 } p_{{ n} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_0 } ({ \eta } |m_0 ) \,{\rm d} \eta = \]
\[\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.1cm}\int_{-\infty}^{- s_0 } p_{{ n} } ({ \eta } ) \,{\rm d} \eta = \int_{ s_0 }^{\infty} p_{{ n} } ({ \eta } ) \,{\rm d} \eta = {\rm Q} \left ( {s_0 }/{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.\]
  • Bei der Herleitung der Gleichung wurde berücksichtigt, dass das AWGN–Rauschen η unabhängig vom Signal (m0 oder m1) ist und eine symmetrische WDF besitzt. Verwendet wurde zudem das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral
\[{\rm Q}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u \hspace{0.05cm}.\]
  • Entsprechend gilt für m = m1   ⇔   s = s1 = –2 · E 1/2:
\[{\rm Pr}({ \cal E} | m_1) = \int_{0}^{\infty} p_{{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_1 } ({ \rho } |m_1 ) \,{\rm d} \rho = \int_{- s_1 }^{\infty} p_{{ n} } (\boldsymbol{ \eta } ) \,{\rm d} \eta = {\rm Q} \left ( {- s_1 }/{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.\]
  • Mit dem Abstand d = s1s0 der zwei Signalraumpunkte lassen sich die beiden Ergebnisse zusammenfassen, wobei noch Pr(m0) + Pr(m1) = 1 zu berücksichtigen ist:
\[{\rm Pr}({ \cal E} | m_0) = {\rm Pr}({ \cal E} | m_1) = {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right )\]
\[\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}({ \cal E} ) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Pr}({ \cal E} | m_0) + {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Pr}({ \cal E} | m_1)=\]
\[ \hspace{0.2cm}\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \left [ {\rm Pr}(m_0) + {\rm Pr}(m_1) \right ] \cdot {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right ) = {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right ) \hspace{0.05cm}.\]

Diese Gleichung gilt unter der Voraussetzung G = 0 ganz allgemein, also auch für Pr(m0) ≠ Pr(m1). Bei nicht gleichwahrscheinlichen Symbolen lässt sich allerdings die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit durch eine andere Entscheidergrenze verkleinern.

Hinweis: Die hier genannte Gleichung gilt auch dann, wenn die Signalraumpunkte keine Skalare sind, sondern durch die Vektoren s0 und s1 beschrieben werden. Der Abstand d ergibt sich dann als die Norm des Differenzvektors:

\[d = || \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_1 - \boldsymbol{ s}_0 \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}.\]

Gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Fehlerwahrscheinlichkeit (3)


Betrachten wir nun nochmals die Signalraumkonstellation von der ersten Seite dieses Kapitels mit den Werten s0/E 1/2 = (3.6, 0.8) und s1/E 1/2 = (0.4, 3.2). Hier beträgt der Abstand der Signalraumpunkte

\[d = || s_1 - s_0 || = \sqrt{E \cdot (0.4 - 3.6)^2 + E \cdot (3.2 - 0.8)^2} = 4 \cdot \sqrt {E} \hspace{0.05cm},\]

also der genau gleiche Wert wie für s0/E1/2 = (2, 0) und s1/E1/2 = (–2, 0). Die AWGN–Rauschvarianz beträgt jeweils σn2 = N0/2.

Zwei Signalraumkonstellationen

Die Abbildungen zeigen diese beiden Konstellationen und lassen folgende Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede erkennen:

  • Wie bereits gesagt, sind sowohl der Abstand der Signalpunkte von der Entscheidungsgeraden (d/2 = 2 · E1/2) als auch der AWGN–Kennwert σn in beiden Fällen gleich.
  • Daraus folgt: Die beiden Anordnungen führen zur gleichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn man den Parameter E (eine Art Normierungsenergie) konstant lässt:
\[{\rm Pr} ({\rm Symbolfehler}) = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right )\hspace{0.05cm}.\]
  • Bei gegebener mittlerer Energie pro Symbol (Es) ist jedoch die linke Konstellation (Es = 4 · E) der rechten (Es = 24 · E) deutlich überlegen: Die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit weniger Energie.

Auf diesen Sachverhalt wird in der Aufgabe Z4.6 noch im Detail eingegangen. Die Kreise in obiger Grafik veranschaulichen die zirkuläre Symmetrie von 2D–AWGN–Rauschen.

Nicht gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Schwellenoptimierung (1)


Gilt Pr(m0) ≠ Pr(m1), so kann man durch eine Verschiebung der Entscheidungsgrenze G eine etwas kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erreichen. Die nachfolgenden Ergebnisse werden ausführlich in der Musterlösung zur Aufgabe A4.7 hergeleitet:

  • Bei ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten liegt die optimale Entscheidungsgrenze Gopt zwischen den Regionen I0 und I1 näher beim unwahrscheinlicheren Symbol.
  • Die normierte optimale Verschiebung gegenüber der Grenze G = 0 bei gleichwahrscheinlichen Symbolen beträgt
\[\gamma_{\rm opt} = \frac{G_{\rm opt}}{s_0 } = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)} \hspace{0.05cm}.\]
  • Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist dann gleich
\[{\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left[ {d}/(2{\sigma_n}) \cdot (1 - \gamma_{\rm opt}) \right ] + {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left [ {d}/(2{\sigma_n}) \cdot (1 + \gamma_{\rm opt}) \right ]\hspace{0.05cm}.\]
: Für das Folgende gelte

\[\boldsymbol{ s }_0 = (2 \cdot \sqrt{E}, \hspace{0.1cm} 0), \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (- 2 \cdot \sqrt{E}, \hspace{0.1cm} 0), \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} d = 2 \cdot \sqrt{E}, \hspace{0.2cm} \sigma_n = \sqrt{E} \hspace{0.05cm}.\]

Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen ergibt sich die optimale Entscheidergrenze zu Gopt = 0. Damit erhält man für die Fehlerwahrscheinlichkeit:

\[{\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right ) = {\rm Q} (2) \approx 2.26\% \hspace{0.05cm}.\]

Dichtefunktionen für gleiche/ungleiche Symbolwahrscheinlichkeiten

Die Beschreibung der unteren Grafik folgt auf der nächsten Seite.


Nicht gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Schwellenoptimierung (2)


: Wir betrachten nun ungleiche Symbolwahrscheinlichkeiten, wie für das untere Bild vorausgesetzt:

\[{\rm Pr}( m_0) = 3/4\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Pr}( m_1) = 1/4\hspace{0.05cm}.\]

Dichtefunktionen für gleiche/ungleiche Symbolwahrscheinlichkeiten

Die weiteren Systemgrößen seien gegenüber der oberen Grafik unverändert:

\[\boldsymbol{ s }_0 = (2 \cdot \sqrt{E}, \hspace{0.1cm} 0), \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (- 2 \cdot \sqrt{E}, \hspace{0.1cm} 0), \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} d = 2 \cdot \sqrt{E}, \hspace{0.2cm} \sigma_n = \sqrt{E} \hspace{0.05cm}.\]

In diesem Fall beträgt der optimale (normierte) Verschiebungsfaktor

\[\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)} = 2 \cdot \frac{ E}{16 \cdot E} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{1/4}{3/4 } \approx - 0.14 \hspace{0.05cm},\]

was einer Verschiebung um 14% hin zum unwahrscheinlicheren Symbol s1 (also nach links) bedeutet. Dadurch wird die Fehlerwahrscheinlichkeit geringfügig kleiner als bei gleichwahrscheinlichen Symbolen:

\[{\rm Pr}({ \cal E} ) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 0.75 \cdot {\rm Q} \left ( 2 \cdot 1.14 \right ) + 0.25 \cdot {\rm Q} \left ( 2 \cdot 0.86 \right ) = \]

\[ \hspace{-0.2cm} = \hspace{-0.1cm}0.75 \cdot 0.0113 + 0.25 \cdot 0.0427 \approx 1.92\% \hspace{0.05cm}.\]

Man erkennt aus diesen Zahlenwerten: Durch die Schwellenverschiebung wird nun zwar das Symbol s1 stärker verfälscht, das wahrscheinlichere Symbol s0 jedoch überproportional weniger.

Das Ergebnis sollte nicht zu Fehlinterpretationen führen. Im unsymmetrischen Fall  ⇒  Pr(m0) ≠ Pr(m1) ergibt sich zwar eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als für Pr(m0) = Pr(m1) = 0.5, aber mit jedem Symbol kann auch nur weniger Information übertragen werden, bei den gewählten Zahlenwerten 0.81 bit/Symbol statt 1 bit/Symbol. Aus informationstheoretischer Sicht ist Pr(m0) = Pr(m1) optimal.

Anmerkung: Bei Pr(m0) ≠ Pr(m1) müssen nun die absoluten Wahrscheinlichkeitsdichefunktionen Pr(mi) · pr|mi(ρ | mi) betrachtet werden. Der formale Parameter ρ gibt dabei wieder eine Realisierung der AWGN–Zufallsgröße r = s + n an. Im Folgenden wird dieser Sachverhalt berücksichtigt.


Entscheidungsregionen im nichtbinären Fall (M > 2)


Allgemein partitionieren die Entscheidungsregionen Ii den N–dimensionalen reellen Raum in M zueinander disjunkte Gebiete. Ii ist definiert als die Menge aller Punkte, die zum Schätzwert mi führen:

\[\boldsymbol{ \rho } \in I_i \hspace{0.2cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.2cm} \hat{m} = m_i, \hspace{0.15cm}{\rm wobei}\]

\[I_i = \left \{ \boldsymbol{ \rho } \in { \cal R}^N \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\boldsymbol{ \rho } |m_i ) > {\rm Pr}( m_k) \cdot p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\boldsymbol{ \rho } |m_k )\hspace{0.15cm} \forall k \ne i \right \} \hspace{0.05cm}.\]

Die Form der Entscheidungsregionen Ii (i = 0, ... , M –1) im N–dimensionalen Raum hängen von den bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen pr|m ab, also vom betrachteten Kanal. In vielen Fällen – so auch beim AWGN–Kanal – sind die Entscheidungsgrenzen zwischen je zwei Signalpunkten Gerade, was die weiteren Betrachtungen deutlich vereinfacht.

: Die Grafik zeigt die Entscheidungsregionen I0, I1 und I2 für ein Übertragungssystem mit den Parametern N = 2 und M = 3. Die normierten Sendevektoren sind dabei

Entscheidungsregionen für AWGN, N = 2, M = 3

\[\boldsymbol{ s }_0 = (2,\hspace{0.05cm} 2), \hspace{0.2cm} \hspace{0.01cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1,\hspace{0.05cm} 3), \hspace{0.01cm} \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (1,\hspace{0.05cm} -1) \hspace{0.05cm}.\]

Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden:

  • Bei gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten,
\[{\rm Pr}( m_0) = {\rm Pr}( m_1) ={\rm Pr}( m_2) = 1/3 \hspace{0.05cm},\]
verlaufen die Grenzen zwischen jeweils zwei Regionen stets geradlinig, mittig und rechtwinklig zu den Verbindungsgeraden.
  • Bei ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten sind die Entscheidungsgrenzen dagegen jeweils in Richtung des unwahrscheinlicheren Symbols (parallel) zu verschieben, und zwar umso weiter, je größer die AWGN–Streuung σn ist.


Nachdem die Entscheidungsregionen Ii festliegen, kann man die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems berechnen. Auf den nächsten Seiten benutzen wir folgende Bezeichnungen, wobei wir aufgrund der Einschränkungen durch den verwendeten HTML–Zeichensatz im Fließtext manchmal andere Namen als in Gleichungen verwenden müssen:

  • Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
\[{\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Pr(Symbolfehler)} \hspace{0.05cm},\]
  • Wahrscheinlichkeit für korrekte Entscheidung:
\[{\rm Pr}({ \cal C} ) = 1 - {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Pr(korrekte \hspace{0.15cm} Entscheidung)} \hspace{0.05cm},\]
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung unter der Bedingung m = mi:
\[{\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = 1 - {\rm Pr}({ \cal E} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i) \hspace{0.05cm}.\]

Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung im nichtbinären Fall (1)


Mit den Definitionen der letzten Seite gilt für die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung:

\[{\rm Pr}({ \cal C} ) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum\limits_{i = 0}^{M-1} {\rm Pr}(m_i) \cdot {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = \sum\limits_{i = 0}^{M-1} {\rm Pr}(m_i) \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = \]

\[ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i = 0}^{M-1} {\rm Pr}(m_i) \cdot \int_{I_i} p_{{ \boldsymbol{ r }} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\boldsymbol {\rho } \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \,{\rm d} \boldsymbol {\rho } \hspace{0.05cm}.\]

Für den AWGN–Kanal gilt dabei entsprechend Kapitel 4.2:

\[{\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = 1 - {\rm Pr}({ \cal E} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi} \cdot \sigma_n)^N} \cdot \int_{I_i} {\rm exp} \left [ - \frac{1}{2 \sigma_n^2} \cdot || \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_i ||^2 \right ] \,{\rm d} \boldsymbol {\rho }\hspace{0.05cm}.\]

Dieses Integral muss im allgemeinen Fall numerisch berechnet werden. Nur bei einigen wenigen, einfach beschreibbaren Entscheidungsregionen {Ii} ist eine analytische Lösung möglich.

: Beim AWGN–Kanal liegt eine 2D–Gaußglocke um den Sendepunkt si, in der linken Grafik erkennbar an den konzentrischen Höhenlinien. Etwas willkürlich ist zudem die Entscheidungsgerade G eingezeichnet. Rechts dargestellt ist in einem anderen Koordinatensystem (verschoben und gedreht) allein die WDF der Rauschkomponente.

Zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN

Die Grafik lässt sich wie folgt interpretieren:

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangsvektor nicht in das Gebiet Ii fällt, sondern in das rot hinterlegte Gebiet Ik, ist Q(A/σn). A ist der Abstand zwischen si und G und σn der Effektivwert (Wurzel aus der Varianz) des AWGN–Rauschens. Q(x) ist die Gaußsche Fehlerfunktion.
  • Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis rIi gleich dem Komplementärwert
\[{\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_i\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = 1 - {\rm Q} (A/\sigma_n)\hspace{0.05cm}.\]


Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung im nichtbinären Fall (2)


Wir betrachten nun die auf der letzten Seite angegebenen Gleichungen

\[{\rm Pr}({ \cal C} ) = \sum\limits_{i = 0}^{M-1} {\rm Pr}(m_i) \cdot {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{0.3cm}{\rm mit} \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = \int_{I_i} p_{{ \boldsymbol{ r }} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\boldsymbol {\rho } \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \,{\rm d} \boldsymbol {\rho } \hspace{0.05cm}\]

etwas genauer, wobei wir wieder von zwei Basisfunktionen (N = 2) und den drei Signalraumpunkten s0, s1 und s2 (also M = 3) ausgehen. Die Entscheidungsregionen I0, I1 und I2 sind bestmöglich gewählt. Das AWGN–Rauschen ist in der Skizze durch jeweils drei kreisförmige Höhenlinien angedeutet.

Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung beim AWGN-Kanal und M = 3


Man erkennt aus dieser Darstellung:

  • Unter der Voraussetzung, dass m = mi ⇔  s = si gesendet wurde, wird nur dann eine richtige Entscheidung getroffen, wenn der Empfangswert r in der Region Ii liegt.
  • Die Wahrscheinlichkeit Pr(rIi | m2) für eine ist für i = 2 (weitaus) am größten  ⇒  richtige Entscheidung. Pr(rI0 | m2) ist deutlich kleiner. Nahezu vernachlässigbar ist Pr(rI1 | m2) .
  • Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten für m = m0 bzw. m = m1 lauten:
\[{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) + {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_2\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ),\]
\[ {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 ) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 ) + {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_2\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 ) \hspace{0.05cm}.\]
  • Die größte Verfälschungswahrscheinlichkeit ergibt sich für m = m0. Wegen
\[{\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) \approx {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 ) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_2\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) >> {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_2\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 ) \hspace{0.05cm}\]
gelten folgende Relationen:
\[{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) > {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 ) >{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_2 )\hspace{0.05cm}. \]

Diese Ergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:

  • Zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit muss auch bei gleichwahrscheinlichen Symbolen allgemein über alle M Terme gemittelt werden. Ausnahme: Symmetrische Anordnung.
  • Im Fall gleichwahrscheinlicher Symbole kann Pr(mi) = 1/M vor die Summation gezogen werden, was allerdings den Rechengang nicht sonderlich vereinfacht.

Union Bound - Obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit (1)


Bei beliebigen Werten von M gilt für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Nachricht mi (bzw. das Signal si) gesendet wurde:

\[{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = {\rm Pr} \left [ \bigcup_{k \ne i} { \cal E}_{ik}\right ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{ \cal E}_{ik}: \boldsymbol{ r }{\rm \hspace{0.15cm}liegt \hspace{0.15cm}n\ddot{a}her \hspace{0.15cm}bei \hspace{0.15cm}}\boldsymbol{ s }_k {\rm \hspace{0.15cm}als \hspace{0.15cm}beim \hspace{0.15cm}Sollwert \hspace{0.15cm}}\boldsymbol{ s }_i \hspace{0.05cm}. \]

Für diesen Ausdruck lässt sich mit einer Booleschen Ungleichung, der so genannten Union Bound, eine obere Schranke angeben:

\[{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \le \sum\limits_{k = 0, \hspace{0.1cm}k \ne i}^{M-1} {\rm Pr}({ \cal E}_{ik}) = \sum\limits_{k = 0, \hspace{0.1cm}k \ne i}^{M-1}{\rm Q} \left [ d_{ik}/(2{\sigma_n}) \right ]\hspace{0.05cm}. \]

Hierzu ist anzumerken:

  • Es ist dik = ||sisk|| der Abstand der Signalraumpunkte si und sk, und σn gibt den Effektivwert des AWGN–Rauschens an.
  • Die Union Bound ist nur bei gleichwahrscheinlichen Symbolen (Pr(mi) = 1/M) anwendbar. Auch dann muss zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit über alle mi gemittelt werden.

Auf der nächsten Seite folgt ein Beispiel zur Anwendung der Union Bound. Auf der übernächsten Seite wird die hier angegebene Union Bound weiter vereinfacht.

Union Bound - Obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit (2)


: Die Grafik verdeutlicht die Union Bound am Beispiel M = 3 mit gleichwahrscheinlichen Symbolen: Pr(m0) = Pr(m1) = Pr(m2) = 1/3.

Zur Verdeutlichung der „Union Bound”

Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:

  • Für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit gilt:
\[{\rm Pr}({ \cal E} ) = 1 - {\rm Pr}({ \cal C} ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Pr}({ \cal C} ) = {1}/{3} \cdot \left [ {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) + {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 ) + {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_2 ) \right ]\hspace{0.05cm}.\]
  • Der erste Term im Klammerausdruck unter der Voraussetzung m = m0  ⇔  s = s0 ist in der linken Grafik visualisiert. Dieser Term Pr(rI0 | m0) beschreibt die rot ausgefüllte Region I0.
  • Die Komplementärregion „rI0 | m0” ist in der linken Grafik entweder blau oder grün oder blau–grün schraffiert markiert. Es gilt:
\[{\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 1 - {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_1 \hspace{0.05cm}\cup \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ r } \in I_2 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) \le \]
\[ \hspace{0.6cm} \le \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) + {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_2 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) ={\rm Q} \left [ d_{01}/(2{\sigma_n}) \right ]+ {\rm Q} \left [ d_{02}/(2{\sigma_n}) \right ] \hspace{0.05cm}.\]
  • Das „≤”–Zeichen berücksichtigt hier, dass die blau–grün schraffierte Fläche sowohl zum Gebiet „rI1” als auch zum Gebiet „rI2” gehört, so dass die Summe einen zu großen Wert liefert. Das heißt: Die Union Bound liefert stets eine obere Schranke.
  • Die mittlere Grafik verdeutlicht die Berechnung der Union Bound unter der Voraussetzung, dass m1s1 gesendet wurde. Für das rechte Bild ist m = m2s = s2 zugrundegelegt.


Union Bound - Obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit (3)


Die Abschätzung nach der „Union Bound” lässt sich verbessern, indem man nur solche Signalraumpunkte berücksichtigt, die direkte Nachbarn des aktuellen Sendevektors si sind:

\[{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = \sum\limits_{k = 0, \hspace{0.1cm} k \ne i}^{M-1}{\rm Q}\left [ d_{ik}/(2{\sigma_n}) \right ] \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = \sum\limits_{k = 0, \hspace{0.1cm} k \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}N(i)}^{M-1}\hspace{-0.4cm}{\rm Q} \left [ d_{ik}/(2{\sigma_n}) \right ] \hspace{0.05cm}. \]

Dazu definieren wir die Nachbarn von si als

\[N(i) = \left \{ k \in \left \{ i = 0, 1, 2, ... \hspace{0.05cm}, M-1 \right \}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} I_i {\rm \hspace{0.15cm}grenzt \hspace{0.15cm}direkt \hspace{0.15cm}an \hspace{0.15cm}}I_k \right \} \hspace{0.05cm}. \]

rehmenlos

Die Grafik verdeutlicht diese Definiton am Beispiel M = 5. Die Regionen I0 und I3 haben jeweils nur zwei direkte Nachbarn, während I4 an alle anderen Entscheidungsregionen angrenzt.

Durch die Einführung der Nachbarmengen N(i) wird die Qualität der Union Bound–Approximation verbessert, das heißt, die Schranke liegt dann näher an der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wird also nach unten verschoben.




Eine weitere und häufig verwendete Schranke benutzt nur den minimalen Abstand dmin zwischen zwei Signalpunkten. Im obigen Beispiel tritt dieser zwischen s1 und s2 auf.

Dann gilt für gleichwahrscheinliche Symbole  ⇒  Pr(mi) = 1/M die folgende Abschätzung:

\[{\rm Pr}({ \cal E} ) \hspace{-0.1cm} \le \hspace{-0.1cm} \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} \left [ {\rm Pr}(m_i) \cdot \sum\limits_{k \ne i }{\rm Q} [d_{ik}/(2{\sigma_n})] \right ] \le \frac{1}{M} \cdot \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} \left [ \sum\limits_{k \ne i } {\rm Q} [d_{\rm min}/(2{\sigma_n})] \right ] =\]

\[ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum\limits_{k \ne i }{\rm Q} [d_{\rm min}/(2{\sigma_n})] = (M-1) \cdot {\rm Q} [d_{\rm min}/(2{\sigma_n})] \hspace{0.05cm}. \]

Hierzu ist anzumerken:

  • Diese Schranke ist auch für große M–Werte sehr einfach zu berechnen. Bei vielen Anwendungen ergibt sich jedoch damit ein viel zu großer Wert für die Fehlerwahrscheinlichkeit.
  • Die Schranke ist nur dann gleich der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn alle Regionen an alle anderen direkt angrenzen und die Distanzen aller M Signalpunkte gleich dmin sind.
  • Im Sonderfall M = 2 sind diese beiden Voraussetzungen häufig erfüllt, so dass dann die hier angegebene Schranke exakt mit der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit übereinstimmt.