Difference between revisions of "Mobile Communications/General Description of Time Variant Systems"

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{{Header
 
{{Header
|Untermenü=Frequenzselektive Übertragungskanäle
+
|Untermenü=Frequency-Selective Transmission Channels |Vorherige Seite=Non-Frequency Selective Fading With Direct Component
|Vorherige Seite=Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente
+
|Nächste Seite=Multipath Reception in Mobile Communications}}
|Nächste Seite=Mehrwegeempfang beim Mobilfunk
 
}}
 
  
== # ÜBERBLICK ZUM ZWEITEN HAUPTKAPITEL # ==
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== # SYNOPSIS OF THE SECOND MAIN CHAPTER # ==
 
<br>
 
<br>
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After the time variance, the term&nbsp; '''Frequency Selectivity''' &nbsp; is now introduced and illustrated with examples, a channel property which is also of great importance for mobile communications.&nbsp; As in the entire book, the description is given in the equivalent low-pass range.
  
Nach der Zeitvarianz wird nun der Begriff der ''Frequenzselektivität'' eingeführt und an Beispielen verdeutlicht, eine Kanaleigenschaft, die für die mobile Kommunikation ebenfalls von großer Bedeutung ist. Wie im gesamten Buch erfolgt die Beschreibung im äquivalenten Tiefpassbereich.
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It is covered in detail:
  
Im Einzelnen werden behandelt:
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*the difference between time invariant and time variant systems,
 +
*the time variant impulse response as an important descriptive function of time variant systems,
 +
*multi-way reception as the cause of frequency-selective behaviour,
 +
*a detailed derivation and interpretation of the GWSSUS channel model,
 +
*the characteristics of the GWSSUS model: &nbsp; coherence bandwidth, correlation duration, etc.
  
*der Unterschied zwischen zeitinvarianten und zeitvarianten Systemen,
 
*die zeitvariante Impulsantwort als wichtige Beschreibungsfunktion zeitvarianter Systeme,
 
*der Mehrwegeempfang als Ursache für frequenzselektives Verhalten,
 
*eine ausführliche Herleitung und Interpretation des GWSSUS–Kanalmodells,
 
*die Kenngrößen des GWSSUS–Modells: &nbsp; Kohärenzbandbreite, Korrelationsdauer, usw.
 
  
  
Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben und Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch „Mobilfunkkanal” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
+
== Transfer function and impulse response ==
*dem [http://en.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/MFK.zip Windows&ndash;Programm MFK] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
+
<br>
*der zugehörigen [http://en.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Mobilfunkkanal.pdf Praktikumsanleitung] &nbsp; ⇒ &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version (58 Seiten).
+
The description parameters of a communication system have already been described in two chapters of the book "Linear Time Variant Systems":
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* [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Frequency_Domain|System Description in Frequency Domain]],
 +
* [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Time_Domain|System Description in Time Domain]].&nbsp;  
  
 +
[[File:EN_Mob_T_2_1_S1_neu.png|right|frame|Considered LTI system|class=fit]]
  
  
== Übertragungsfunktion und Impulsantwort ==
+
The most important results are briefly explained again here.&nbsp; We assume a&nbsp; linear and time invariant system &nbsp; &#8658; &nbsp; $\text{LTI system}$&nbsp; with the signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; at the input and the output signal&nbsp; $r(t)$. &nbsp; For the sake of simplicity, let&nbsp; $s(t)$&nbsp; and&nbsp; $r(t)$&nbsp; be real.&nbsp; Then the following applies:
<br>
+
*The system can be completely characterized by the&nbsp; [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Frequency_Domain#Transfer_function_.E2.80.93_Frequency_response|transfer function]]&nbsp; $H(f)$&nbsp; which is also referred to as the&nbsp; "frequency response".&nbsp; By definition&nbsp;:$$H(f) = R(f)/S(f).$$
Die Beschreibungsgrößen eines Nachrichtenübertragungssystems wurden bereits in den Kapiteln [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|Systembeschreibung im Frequenzbereich]] bzw. [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]] des Buches &bdquo;Lineare zeitvariante Systeme&rdquo; eingeführt und eingehend diskutiert. Die wichtigsten Ergebnisse sollen hier nochmals kurz zusammengefasst werden.<br>
 
 
 
[[File:Mob_T_2_1_S1_neu.png|right|frame|Betrachtetes LZI–System|class=fit]]
 
Vorausgesetzt wird zunächst ein ''lineares und zeitinvariantes System'' &nbsp; &#8658; &nbsp; '''LZI&ndash;System''' mit dem Signal $s(t)$ am Eingang und dem Ausgangssignal $r(t)$. Der Einfachheit halber seien $s(t)$ und $r(t)$ reell. Dann gilt:
 
*Das System lässt sich vollständig durch die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Übertragungsfunktion]] $H(f)$ charakterisieren. Man bezeichnet $H(f)$ auch als den <i>Frequenzgang</i>. Definitionsgemäß gilt $H(f) = R(f)/S(f)$.<br>
 
  
*Ebenso ist das System durch die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]] $h(t)$ als die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformierte]] von $H(f)$ vollständig gekennzeichnet. Das Ausgangssignal ergibt sich aus der Faltung:
+
*Similarly, the system is defined by the&nbsp; [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|impulse response]]&nbsp; $h(t)$&nbsp;, which is the&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse#Das_zweite_Fourierintegral|inverse Fourier transform]]&nbsp; of&nbsp; $H(f)$.&nbsp; &nbsp; The output signal results from the convolution:
  
::<math>r(t) = s(t) \star h(t) \hspace{0.4cm} {\rm mit} \hspace{0.4cm} h(t)
+
::<math>r(t) = s(t) \star h(t) \hspace{0.4cm} {\rm with} \hspace{0.4cm} h(t)
 
  \hspace{0.2cm}  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.2cm} H(f)   
 
  \hspace{0.2cm}  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.2cm} H(f)   
 
  \hspace{0.05cm}.</math>
 
  \hspace{0.05cm}.</math>
  
Um die durch $H(f)$ bzw. $h(t)$ entstehenden linearen Verzerrungen zu erkennen, eignen sich die folgenden Eingangssignale:
+
{{BlaueBox|TEXT=
*ein [[Signaldarstellung/Einige_Sonderf%C3%A4lle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]]: &nbsp;&nbsp; $s(t) = \delta(t)$ &nbsp; &#8658;&nbsp; &nbsp; $r(t) = h(t)$  &nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp; <i>Impulsantwort</i>,<br>
+
$\text{Definitions:}$&nbsp; &nbsp; The following input signals are suitable for detecting the linear distortions caused by&nbsp; $H(f)$&nbsp; or &nbsp; $h(t)$:&nbsp;
*eine [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Sprungantwort|Sprungfunktion]]: &nbsp;&nbsp; $s(t) = \gamma(t)$ &nbsp; &#8658;&nbsp; &nbsp; $r(t) = \gamma(t) \star h(t)$ &nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp; <i>Sprungantwort</i>,<br>
+
*a&nbsp; [[Signal_Representation/Special_Cases_of_Impulse_Signals#Dirac_Delta_Impulse|Dirac delta]]&nbsp; or&nbsp; "impulse":
*ein [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]]: &nbsp;&nbsp; $s(t) = p_\delta(t)$ &nbsp; &#8658;&nbsp; &nbsp; $r(t) = p_\delta(t) \star h(t)$ &nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp; <i>Pulsantwort</i>.<br>
+
:$$s(t) = \delta(t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  &nbsp; r(t) = \delta(t) \star h(t)= h(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{impulse response,}$$   
 +
*a&nbsp; [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/System_Description_in_Time_Domain#Step_response|step function]]&nbsp; or&nbsp; "Heaviside step function":
 +
:$$s(t) = \gamma(t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.35cm}  &nbsp; r(t) = \gamma(t) \star h(t)\hspace{1.5cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{step response,}$$
 +
*a&nbsp; [[Signal_Representation/Time_Discrete_Signal_Representation#Dirac_Comb_in_Time_and_Frequency_Domain|Dirac comb]]&nbsp; or&nbsp; "Dirac delta train":
 +
:$$s(t) = p_\delta(t) \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  &nbsp; r(t) = p_\delta(t) \star h(t)\hspace{1.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{impulse response train.}$$}}
 +
 +
 
  
 +
On the other hand, a DC signal&nbsp; $s(t) = A$&nbsp; is not suitable to make the frequency dependence of the LTI system visible: &nbsp; <br>&nbsp; &rArr; &nbsp; With a low-pass system the output signal would then be always constant, independent of&nbsp; $H(f)$:&nbsp; &nbsp; &nbsp; $r(t) = A \cdot H(f= 0)$.<br>
  
Dagegen ist ein Gleichsignal $s(t) = A$ nicht geeignet, die Frequenzabhängigkeit des LZI&ndash;Systems sichtbar werden zu lassen. Bei einem Tiefpass&ndash;System wäre dann das Ausgangssignal unabhängig von $H(f)$ stets konstant: &nbsp; $r(t) = A \cdot H(f= 0)$.<br>
+
On the next page we consider a Dirac delta train&nbsp; $p_\delta(t)$&nbsp; as an input signal&nbsp; $s(t)$: &nbsp; <br>&nbsp; &rArr; &nbsp; Hereby the similarities and differences between time-invariant and time-variant systems can be shown clearly.<br>
  
Auf der nächsten Seite betrachten wir als Eingangssignal $s(t)$ einen Diracpuls $p_\delta(t)$. Hiermit lassen sich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen zeitinvarianten und zeitvarianten Systemen sehr anschaulich darstellen.<br>
+
<i>Note:</i>&nbsp; The properties of&nbsp; $H(f)$&nbsp; and&nbsp; $h(t)$&nbsp; are covered in detail in the&nbsp; $\text{LNTwww learning video}$&nbsp; (in German language):<br> &nbsp; &nbsp;
 +
[https://www.lntwww.de/Eigenschaften_des_%C3%9Cbertragungskanals_(Lernvideo) Eigenschaften des Übertragungskanals] &nbsp; &rArr; &nbsp; "Some remarks on the transfer function".<br>
  
<i>Hinweis:</i> Die Eigenschaften von $H(f)$ und $h(t)$ werden im Lernvideo [[Einige_Anmerkungen_zur_Übertragungsfunktion_(Lernvideo)|Einige Anmerkungen zur Übertragungsfunktion]] ausführlich behandelt.<br>
 
  
  
== Zeitinvariante vs. zeitvariante Kanäle ==
+
== Time&ndash;invariant vs. time&ndash;variant channels ==
 
<br>
 
<br>
Die Grafik soll den Unterschied zwischen einem zeitinvarianten Kanal (&bdquo;'''LZI'''&rdquo;) und einem zeitvarianten Kanal (&bdquo;'''LZV'''&rdquo;) verdeutlichen.<br>
+
The graphic is intended to illustrate the difference between a linear time&ndash;invariant channel&nbsp; $\rm (LTI)$&nbsp; and a linear time&ndash;variant channel &nbsp; $\rm (LTV)$&nbsp;.<br>
  
[[File:P ID2142 Mob T 2 1 S2 v1.png|center|frame|Zeitinvarianter und zeitvarianter Kanal|class=fit]]
+
[[File:EN_Mob_T_2_1_S2.png|right|frame|Time&ndash;invariant and time&ndash;variant channel|class=fit]]
  
Man erkennt aus dieser Darstellung:
+
One can see from this illustration:
*Das Sendesignal $s(t)$ ist hier ein Diracpuls $p_\delta(t)$, also eine unendliche Folge von Diracimpulsen in äquidistanten Abständen $T$, alle mit dem Gewicht $1$ (siehe obere Grafik):
+
*The transmitted signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; is a Dirac delta train&nbsp; $p_\delta(t)$, i.e. an infinite sequence of Dirac deltas in equidistant intervals&nbsp; $T$,&nbsp; all with the weight&nbsp; $1$&nbsp; (see upper graph):
  
 
::<math>s(t) = p_{\rm \delta} (t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} {\rm \delta} (t - n \cdot T)
 
::<math>s(t) = p_{\rm \delta} (t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} {\rm \delta} (t - n \cdot T)
 
  \hspace{0.05cm}.</math>
 
  \hspace{0.05cm}.</math>
  
*Grün markiert ist der Diracimpuls bei $t = 0$. Mit $s(t) = {\rm \delta}(t)$ ist das Signal am Kanalausgang gleich $r(t) = h(t)$ entsprechend der grünen Hinterlegung. Vorausgesetzt wird zunächst, dass die Ausdehnung der Impulsantwort $h(t)$ deutlich kleiner ist als $T$.<br>
+
*The Dirac delta at&nbsp; $t = 0$&nbsp; is marked in green. The signal at the channel output is equal to&nbsp; $r(t) = h(t)$&nbsp;, with&nbsp; $s(t) = {\rm \delta}(t)$&nbsp;, also indicated in green. &nbsp; As a condition, it is assumed that the extension of the impulse response&nbsp; $h(t)$&nbsp; is smaller than $T$.<br>.
  
*Für das gesamte Empfangssignal nach dem LZI&ndash;Kanal entsprechend der mittleren Grafik kann dann geschrieben werden:
+
*The entire received signal after the LTI channel, according to the middle graph, can then be written as:
  
 
::<math>r(t) = p_{\rm \delta} (t) \star h(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} h (t - n \cdot T)
 
::<math>r(t) = p_{\rm \delta} (t) \star h(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} h (t - n \cdot T)
 
  \hspace{0.05cm}.</math>
 
  \hspace{0.05cm}.</math>
  
*Bei einem zeitvarianten Kanal &nbsp; &#8658; &nbsp; untere Grafik ist diese Gleichung nicht anwendbar. In jedem Zeitintervall ergibt sich nun nämlich eine andere Signalform.  
+
*For a time-variant channel (lower graph) this equation is not applicable.&nbsp; In each time interval, a (slightly) different signal shape is obtained.  
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Fazit:}$&nbsp; Bei einem zeitvarianten Kanal kann man keine einparametrige Impulsantwort $h(t)$ und dementsprechend auch keine Übertragungsfunktion $H(f)$ angeben.}}<br>
+
$\text{Conclusion:}$&nbsp; With a &nbsp; '''time-variant channel''' &nbsp; you cannot specify neither a one-parameter impulse response&nbsp; $h(t)$&nbsp; nor a transfer function&nbsp; $H(f)$&nbsp;.}}<br>
  
<i>Hinweis:</i> &nbsp; Das Lernvideo [[Eigenschaften_des_Übertragungskanals_(Lernvideo)|Eigenschaften des Übertragungskanals]] beschreibt die Unterschiede zwischen LZV&ndash; und LZI&ndash;Systemen.<br>
+
<i>Note:</i>&nbsp; The differences between LTI and LTV systems are clarified with the&nbsp; $\text{LNTwww learning video}$&nbsp; (in German language):<br> &nbsp; &nbsp;
 +
[https://www.lntwww.de/Eigenschaften_des_%C3%9Cbertragungskanals_(Lernvideo) Eigenschaften des Übertragungskanals] &nbsp; &rArr; &nbsp; "Some remarks on the transfer function".<br>
  
== Zweidimensionale Impulsantwort ==
+
 
 +
== Two-dimensional impulse response==
 
<br>
 
<br>
Zur Kennzeichnung einer zeitvarianten Impulsantwort  verwendet man einen zweiten Parameter und bildet die Impulsantwort vorzugsweise in einem dreidimensionalen Koordinatensystem ab.<br>
+
[[File:EN_Mob_T_2_1_S3.png|right|frame|Two-dimensional impulse response|class=fit]]
 +
 
 +
To identify a time-variant impulse response, a second parameter is used and the impulse response is preferably mapped in a three-dimensional coordinate system.<br>
  
[[File:P ID2143 Mob T 2 1 S3 v1.png|right|frame|Zweidimensionale Impulsantwort|class=fit]]
+
The condition for this is that the channel is still linear.&nbsp; One speaks then of a&nbsp; $\text{LTV system}$&nbsp;&nbsp; ("linear time-variant").  
Voraussetzung hierfür ist, dass der Kanal weiterhin linear ist; man spricht dann von einem '''LZV&ndash;System''' (linear zeitvariant).  
 
  
Es gelten folgende Zusammenhänge:
+
The following relations apply:
  
::<math>\text{LZI:}\hspace{0.5cm}  r(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)  \cdot s(t-\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d}\tau  \hspace{0.05cm},</math>
+
::<math>\text{LTI:}\hspace{0.5cm}  r(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)  \cdot s(t-\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d}\tau  \hspace{0.05cm},</math>
::<math>\text{LZV:}\hspace{0.5cm}  r(t) \hspace{-0.1cm}  =  \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau, \hspace{0.1cm}t)  \cdot s(t-\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d}\tau  \hspace{0.05cm}.</math>
+
::<math>\text{LTV:}\hspace{0.5cm}  r(t) \hspace{-0.1cm}  =  \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau, \hspace{0.1cm}t)  \cdot s(t-\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d}\tau  \hspace{0.05cm}.</math>
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
Zur letzten Gleichung und obiger Grafik ist anzumerken:
+
Regarding the last equation and the above graph, it should be noted
*Der Parameter $\tau$ gibt die '''Verzögerungszeit''' zur Kennzeichnung der Zeitdispersion  an. Durch Ausschreiben der Faltungsoperation ist es gelungen, dass $\tau$ auch der Parameter der LZI&ndash;Impulsantwort ist. Auf den letzten Seiten wurde noch von $h(t)$ gesprochen.<br>
+
*The parameter&nbsp; $\tau$&nbsp; specifies the &nbsp; '''delay time''' &nbsp; to denote the time dispersion.&nbsp; By writing out the convolution operation, it was possible to make&nbsp; $\tau$&nbsp; also the parameter of the LTI impulse response.&nbsp; On the last pages we spoke about&nbsp; $h(t)$&nbsp;.<br>
  
*Der zweite Parameter der Impulsantwort bzw. die zweite Achse kennzeichnet die '''absolute Zeit''' $t$, die unter anderem zur Beschreibung der Zeitvarianz herangezogen wird. Zu unterschiedlichen Zeiten $t$ hat die Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$ eine andere Form.<br>
+
*The second parameter of the impulse response or the second axis marks the &nbsp; '''absolute time'''&nbsp; $t$, which is used, among other things, to describe the time variance.&nbsp; At different times&nbsp; $t$&nbsp; the impulse response&nbsp; $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$&nbsp; has a different form.<br>
  
*Eine Besonderheit der 2D&ndash;Darstellung ist, dass die $t$&ndash;Achse zeitdiskret  (bei Vielfachen von $T$) aufgetragen wird, während die $\tau$&ndash;Achse wie im gezeigten Beispiel zeitkontinuierlich sein kann. Im Mobilfunk wird $h(\tau, \hspace{0.05cm}t_0)$ aber meist zeitdiskret angenommen (&bdquo;Echos&rdquo;).
+
*A peculiarity of the 2D representation is that the&nbsp; $t$&ndash;axis is always plotted time-discretely&nbsp; $($at multiples of&nbsp; $T)$&nbsp; while the&nbsp; $\tau$&ndash;axis can be continuous in time as in the example shown. &nbsp; However, in mobile communications, a time-discrete &nbsp; $h(\tau, \hspace{0.05cm}t_0)$&nbsp; with respect to&nbsp; $\tau$&nbsp; is assumed $($"echoes"$)$.
  
*Die LZV&ndash;Gleichung ist nur anwendbar, wenn die zeitliche Veränderung des Kanals (im Bild durch den Parameter $T$ gekennzeichnet) langsam erfolgt im Vergleich zur maximalen Verzögerung $\tau_{\rm max}$. Im Mobilfunk ist diese Bedingung &nbsp; &#8658; &nbsp; $\tau_{\rm max} < T$ &nbsp; fast immer erfüllt.
+
*The LTV equation is only applicable if the change of the channel&nbsp; $($marked in the figure by the parameter&nbsp; $T)$&nbsp; proceeds slowly in comparison to the maximum delay &nbsp; $\tau_{\rm max}$.&nbsp; In mobile communications this condition &nbsp; &#8658; &nbsp; $\tau_{\rm max} < T$ &nbsp; is almost always fulfilled.
  
*Je nachdem, ob man das erste Fourierintegral auf den Parameter $\tau$ oder $t$ anwendet, kommt man zu unterschiedlichen Spektralfunktionen. In der [[Aufgabe_2.1Z:_2D-Frequenz-_und_2D-Zeitdarstellung|Aufgabe 2.1Z]] wird beispielsweise die zeitvariante '''2D&ndash;Übertragungsfunktion''' betrachtet:
+
*Selecting whether to apply the first Fourier integral to the parameter&nbsp; $\tau$&nbsp; or&nbsp; $t$&nbsp; leads to different spectral functions.&nbsp; In the&nbsp; [[Aufgaben:Exercise 2.1Z: 2D-Frequency and 2D-Time Representations|Exercise 2.1Z]]&nbsp; for example, the time variant two-dimensional&nbsp; '''2D transfer function'''&nbsp; is considered:
  
 
::<math>H(f,\hspace{0.05cm} t)
 
::<math>H(f,\hspace{0.05cm} t)
Line 108: Line 114:
  
  
==Aufgaben zum Kapitel==
+
==Exercises about the chapter==
[[Aufgaben:Aufgabe_2.1:_Zweidimensionale_Impulsantwort|Aufgabe 2.1: Zweidimensionale Impulsantwort]]
+
[[Aufgaben:Exercise 2.1: Two-Dimensional Impulse Response]]
  
[[Aufgabe_2.1Z:_2D-Frequenz-_und_2D-Zeitdarstellung|Aufgabe 2.1Z: 2D-Frequenz- und 2D-Zeitdarstellung]]
+
[[Aufgaben:Exercise 2.1Z: 2D-Frequency and 2D-Time Representations]]
  
  
  
 
{{Display}}
 
{{Display}}

Revision as of 15:24, 28 May 2021

# SYNOPSIS OF THE SECOND MAIN CHAPTER #


After the time variance, the term  Frequency Selectivity   is now introduced and illustrated with examples, a channel property which is also of great importance for mobile communications.  As in the entire book, the description is given in the equivalent low-pass range.

It is covered in detail:

  • the difference between time invariant and time variant systems,
  • the time variant impulse response as an important descriptive function of time variant systems,
  • multi-way reception as the cause of frequency-selective behaviour,
  • a detailed derivation and interpretation of the GWSSUS channel model,
  • the characteristics of the GWSSUS model:   coherence bandwidth, correlation duration, etc.


Transfer function and impulse response


The description parameters of a communication system have already been described in two chapters of the book "Linear Time Variant Systems":

Considered LTI system


The most important results are briefly explained again here.  We assume a  linear and time invariant system   ⇒   $\text{LTI system}$  with the signal  $s(t)$  at the input and the output signal  $r(t)$.   For the sake of simplicity, let  $s(t)$  and  $r(t)$  be real.  Then the following applies:

  • The system can be completely characterized by the  transfer function  $H(f)$  which is also referred to as the  "frequency response".  By definition :$$H(f) = R(f)/S(f).$$
\[r(t) = s(t) \star h(t) \hspace{0.4cm} {\rm with} \hspace{0.4cm} h(t) \hspace{0.2cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.2cm} H(f) \hspace{0.05cm}.\]

$\text{Definitions:}$    The following input signals are suitable for detecting the linear distortions caused by  $H(f)$  or   $h(t)$: 

$$s(t) = \delta(t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}   r(t) = \delta(t) \star h(t)= h(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{impulse response,}$$
$$s(t) = \gamma(t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.35cm}   r(t) = \gamma(t) \star h(t)\hspace{1.5cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{step response,}$$
$$s(t) = p_\delta(t) \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}   r(t) = p_\delta(t) \star h(t)\hspace{1.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{impulse response train.}$$


On the other hand, a DC signal  $s(t) = A$  is not suitable to make the frequency dependence of the LTI system visible:  
  ⇒   With a low-pass system the output signal would then be always constant, independent of  $H(f)$:      $r(t) = A \cdot H(f= 0)$.

On the next page we consider a Dirac delta train  $p_\delta(t)$  as an input signal  $s(t)$:  
  ⇒   Hereby the similarities and differences between time-invariant and time-variant systems can be shown clearly.

Note:  The properties of  $H(f)$  and  $h(t)$  are covered in detail in the  $\text{LNTwww learning video}$  (in German language):
    Eigenschaften des Übertragungskanals   ⇒   "Some remarks on the transfer function".


Time–invariant vs. time–variant channels


The graphic is intended to illustrate the difference between a linear time–invariant channel  $\rm (LTI)$  and a linear time–variant channel   $\rm (LTV)$ .

Time–invariant and time–variant channel

One can see from this illustration:

  • The transmitted signal  $s(t)$  is a Dirac delta train  $p_\delta(t)$, i.e. an infinite sequence of Dirac deltas in equidistant intervals  $T$,  all with the weight  $1$  (see upper graph):
\[s(t) = p_{\rm \delta} (t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} {\rm \delta} (t - n \cdot T) \hspace{0.05cm}.\]
  • The Dirac delta at  $t = 0$  is marked in green. The signal at the channel output is equal to  $r(t) = h(t)$ , with  $s(t) = {\rm \delta}(t)$ , also indicated in green.   As a condition, it is assumed that the extension of the impulse response  $h(t)$  is smaller than $T$.
    .
  • The entire received signal after the LTI channel, according to the middle graph, can then be written as:
\[r(t) = p_{\rm \delta} (t) \star h(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} h (t - n \cdot T) \hspace{0.05cm}.\]
  • For a time-variant channel (lower graph) this equation is not applicable.  In each time interval, a (slightly) different signal shape is obtained.


$\text{Conclusion:}$  With a   time-variant channel   you cannot specify neither a one-parameter impulse response  $h(t)$  nor a transfer function  $H(f)$ .


Note:  The differences between LTI and LTV systems are clarified with the  $\text{LNTwww learning video}$  (in German language):
    Eigenschaften des Übertragungskanals   ⇒   "Some remarks on the transfer function".


Two-dimensional impulse response


Two-dimensional impulse response

To identify a time-variant impulse response, a second parameter is used and the impulse response is preferably mapped in a three-dimensional coordinate system.

The condition for this is that the channel is still linear.  One speaks then of a  $\text{LTV system}$   ("linear time-variant").

The following relations apply:

\[\text{LTI:}\hspace{0.5cm} r(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) \cdot s(t-\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm},\]
\[\text{LTV:}\hspace{0.5cm} r(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau, \hspace{0.1cm}t) \cdot s(t-\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.\]


Regarding the last equation and the above graph, it should be noted

  • The parameter  $\tau$  specifies the   delay time   to denote the time dispersion.  By writing out the convolution operation, it was possible to make  $\tau$  also the parameter of the LTI impulse response.  On the last pages we spoke about  $h(t)$ .
  • The second parameter of the impulse response or the second axis marks the   absolute time  $t$, which is used, among other things, to describe the time variance.  At different times  $t$  the impulse response  $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$  has a different form.
  • A peculiarity of the 2D representation is that the  $t$–axis is always plotted time-discretely  $($at multiples of  $T)$  while the  $\tau$–axis can be continuous in time as in the example shown.   However, in mobile communications, a time-discrete   $h(\tau, \hspace{0.05cm}t_0)$  with respect to  $\tau$  is assumed $($"echoes"$)$.
  • The LTV equation is only applicable if the change of the channel  $($marked in the figure by the parameter  $T)$  proceeds slowly in comparison to the maximum delay   $\tau_{\rm max}$.  In mobile communications this condition   ⇒   $\tau_{\rm max} < T$   is almost always fulfilled.
  • Selecting whether to apply the first Fourier integral to the parameter  $\tau$  or  $t$  leads to different spectral functions.  In the  Exercise 2.1Z  for example, the time variant two-dimensional  2D transfer function  is considered:
\[H(f,\hspace{0.05cm} t) \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.05cm}t) \hspace{0.05cm}.\]


Exercises about the chapter

Exercise 2.1: Two-Dimensional Impulse Response

Exercise 2.1Z: 2D-Frequency and 2D-Time Representations