Difference between revisions of "Modulation Methods/Error Probability of Direct-Sequence Spread Spectrum Modulation"

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|Untermenü=Vielfachzugriffsverfahren
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==Das CDMA–System IS–95==
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==The IS-95 CDMA system==
 
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Die Eigenschaften der PN–Modulation werden nun am Beispiel des amerikanischen Mobilfunkstandards &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/CdmaOne IS–95]&nbsp; angegeben, der sich aus den Arbeiten der Fa. &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Qualcomm Qualcomm Inc.]&nbsp; und insbesondere von &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_J._Viterbi Andrew J. Viterbi]&nbsp; ergeben hat.&nbsp; In etwas vereinfachter Darstellung ohne Faltungscodierer, Interleaver und De–Interleaver sowie dem Viterbi–Decoder beim Empfänger – ergibt sich das folgende Blockschaltbild.  
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The properties of PN modulation are now given using the example of the American mobile radio standard &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/CdmaOne IS–95],&nbsp; which has resulted from the work of &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Qualcomm Qualcomm Inc.]&nbsp; and in particular &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Andrew_Viterbi Andrew J. Viterbi].&nbsp;&nbsp; In a somewhat simplified representation without convolutional encoder, interleaver and de-interleaver as well as the Viterbi decoder at the receiver - the following block diagram results.
  
[[File:EN_Mod_T_5_4_S1.png |center|frame| Betrachtetes Blockschaltbild für dieses Kapitel]]
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[[File:EN_Mod_T_5_4_S1.png |center|frame| Considered block diagram for this chapter]]
  
Es gelten folgende Aussagen:  
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The following statements are valid:
*Das Spreizsignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; bewirkt eine &nbsp;''Bandspreizung''&nbsp; um den Spreizfaktor &nbsp;$J$, wobei auf den nächsten Seiten sowohl &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen|Walsh–Funktionen]]&nbsp; als auch &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA#Pseudo.E2.80.93Noise.E2.80.93Folgen_maximaler_L.C3.A4nge|M–Sequenzen]]&nbsp; betrachtet werden.&nbsp; Die &nbsp;''Bandstauchung''&nbsp; beim Empfänger benutzt phasensynchron die gleiche Spreizfolge.  
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*The spreading signal &nbsp;$c(t)$&nbsp; causes &nbsp;''band spreading''&nbsp; by the spreading factor &nbsp;$J$, with both &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Walsh_functions|Walsh functions]]&nbsp; als auch &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Pseudo-noise_sequences_of_maximum_length|M–Sequences]]&nbsp; being considered on the following pages.&nbsp; &nbsp;''Band compression''&nbsp; at the receiver uses the same spreading sequence in a phase-synchronous manner.
*Das zusätzliche &nbsp;$±1$–Signal &nbsp;$w(t)$&nbsp; ermöglicht eine zusätzliche &nbsp;''Verwürfelung'', bewirkt jedoch keine weitere Bandspreizung.&nbsp; Die Rechteckdauer von &nbsp;$w(t)$&nbsp; ist genau so groß &nbsp;$(T_c)$&nbsp; wie die Rechteckdauer von &nbsp;$c(t)$.&nbsp; Man nennt &nbsp;$T_c$&nbsp; die ''Chipdauer''.  
+
*The additional &nbsp;$±1$ signal &nbsp;$w(t)$&nbsp; provides additional &nbsp;''scrambling'', but does not cause further band spreading.&nbsp; The rectangular duration of &nbsp;$w(t)$&nbsp; is exactly as large &nbsp;$(T_c)$&nbsp; as the rectangular duration of &nbsp;$c(t)$.&nbsp; &nbsp;$T_c$&nbsp; is called the ''chip duration''.  
*Ohne Bandspreizung und Verwürfelung&nbsp; $($bzw. mit &nbsp;$J = 1)$&nbsp; entspricht die Übertragungskette der &nbsp;[[Modulation_Methods/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK–Modulation]].&nbsp; Das Matched–Filter ist durch die Variante &nbsp;[[Digital_Signal_Transmission/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Optimaler_Bin.C3.A4rempf.C3.A4nger_.E2.80.93_Realisierungsform_.E2.80.9EIntegrate_.26_Dump.E2.80.9D|Integrate & Dump]]&nbsp; realisiert, so dass es sich um ein optimales System handelt.  
+
*Without band spreading and scrambling&nbsp; $($or with &nbsp;$J = 1)$,&nbsp; the transmission chain corresponds to &nbsp;[[Modulation_Methods/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK modulation]].&nbsp; The matched filter is implemented by the &nbsp;[[Digital_Signal_Transmission/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Optimaler_Bin.C3.A4rempf.C3.A4nger_.E2.80.93_Realisierungsform_.E2.80.9EIntegrate_.26_Dump.E2.80.9D|Integrate & Dump]]&nbsp; variant, so it is an optimal system.
*Mit &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; ergibt sich das &nbsp;[[Modulation_Methods/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN–Kanalmodell]]&nbsp; mit dem gaußverteilten Rauschsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; und der AWGN–Kenngröße &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$.&nbsp; Die zusätzliche Störkomponente &nbsp;$i(t)$&nbsp; fasst die &nbsp;''Interferenzen''&nbsp; der anderen Teilnehmer zusammen.  
+
*With &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$,&nbsp; the &nbsp;[[Modulation_Methods/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN channel model]]&nbsp; is obtained with the Gaussian distributed noise signal &nbsp;$n(t)$&nbsp; and the AWGN parameter &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$.&nbsp; The additional interference component&nbsp;$i(t)$&nbsp; summarizes the &nbsp;''interference''&nbsp; from the other participants.
*Bei einem &nbsp;[[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#Eigenschaften_des_UMTS-Funkkanals|Mehrwegekanal]] &nbsp; (ein Hauptpfad und ein oder mehrere Nebenpfade)&nbsp; können die entstehenden Impulsinterferenzen durch den Einsatz eines &nbsp;[[Modulation_Methods/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_Rake.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Rake–Empfängers]]&nbsp; vermindert werden.
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*In the case of a &nbsp;[[Examples_of_Communication_Systems/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#Eigenschaften_des_UMTS-Funkkanals|multipath channel]] &nbsp; (one main path and one or more secondary paths),&nbsp; the resulting impulse interference can be reduced by using a&nbsp;[[Modulation_Methods/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_Rake.E2.80.93Empf.C3.A4nger|rake receiver]].&nbsp;  
  
  
Alle nachfolgenden Ergebnisse wurden mit dem Simulationsprogramm „CDMA” ermittelt.&nbsp; Dieses wurde an der TU München im Praktikum „Simulation digitaler Übertragungssysteme” [Söd01]<ref>Söder, G.: ''Simulation digitaler Übertragungssysteme''. Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2001.</ref> eingesetzt. Dieser Versuch basiert auf
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All of the following results were determined using the "CDMA" simulation program.&nbsp; This was used at the TU Munich in the practical course "Simulation of digital transmission systems" [Söd01]<ref>Söder, G.: ''Simulation digitaler Übertragungssysteme''. Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2001.</ref>. This experiment is based on
*der Lehrsoftware &nbsp;[http://en.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/CDMA.zip CDMA] &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und  
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*the teaching software &nbsp;[http://en.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/CDMA.zip CDMA] &nbsp; &rArr; &nbsp; link refers to the ZIP version of the program and  
*der zugehörigen &nbsp;[http://en.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Code_Division_Multiple_Access.pdf Praktikumsanleitung]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version.
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*the corresponding &nbsp;[http://en.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Code_Division_Multiple_Access.pdf lab manual]  &nbsp; &rArr; &nbsp; link refers to the PDF version.
  
  
==Systemkonfigurationen für minimale Fehlerwahrscheinlichkeit==
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==System configurations for minimum error probability==
 
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[[File:EN_Mod_T_5_4_S2.png|right|frame| Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven beim AWGN–Kanal]]
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[[File:EN_Mod_T_5_4_S2.png|right|frame| Bit error probability curves for the AWGN channel]]
Die Grafik zeigt als durchgezogene blaue Kurve die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei BPSK in Abhängigkeit des logarithmierten AWGN–Parameters &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (Signalenergie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte).&nbsp; Es gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion &nbsp;${\rm Q}(x)$:
+
The diagram shows the bit error probability at BPSK as a function of the logarithmized AWGN parameter &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (signal energy per bit related to the noise power density)&nbsp; as a solid blue curve. With the complementary Gaussian error function &nbsp;${\rm Q}(x)$:
 
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2\cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2\cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
  
Beispielsweise ergibt sich für &nbsp;$10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$&nbsp; näherungsweise die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = \rm 2 · 10^{–4}$.  
+
For example, for &nbsp;$10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$&nbsp; the bit error probability &nbsp;$p_{\rm B} = \rm 2 · 10^{–4}$ is approximated.
  
Den gleichen minimalen Wert liefert eine Systemsimulation (rote Punkte) unter folgenden Bedingungen:  
+
The same minimum value is provided by a system simulation (red dots) under the following conditions:
*PN–Modulation, egal ob mit einer M–Sequenz oder mit einer Walsh–Funktion, bei beliebigem Spreizgrad &nbsp;$J$, falls nur ein Teilnehmer aktiv ist.  
+
*PN modulation, whether with an M-sequence or with a Walsh function, at any spreading factor &nbsp;$J$, if only one user is active.
*Synchroner CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen, auch wenn im gleichen Frequenzband andere Nutzer $($maximal &nbsp;$J -1)$&nbsp; aktiv sind.  
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*Synchronous CDMA operation with Walsh functions, even if other users $($maximum &nbsp;$J -1)$&nbsp; are active in the same frequency band.
*Auf den Rake–Empfänger kann verzichtet werden, da beim AWGN–Kanal keine Impulsinterferenzen auftreten.  
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*The rake receiver can be dispensed with, since no pulse interference occurs with the AWGN channel.
  
==Zwei Teilnehmer mit M–Sequenz–Spreizung==
+
==Two participants with M-sequence spreading==
 
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Wir betrachten den störenden Einfluss eines zweiten (taktsynchronen) Teilnehmers auf die Fehlerwahrscheinlichkeit von Teilnehmer 1.  
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We consider the disturbing influence of a second (clock-synchronous) participant on the error probability of participant 1.
  
[[File:EN_Mod_T_5_4_S3a.png|right|frame| Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Bandspreizung&nbsp; $(J = 15)$&nbsp; mit M–Sequenz]]
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S3a.png|right|frame| Bit error probability with band spreading&nbsp; $(J = 15)$&nbsp; with M-sequence]]
*Die Spreizung erfolgt mittels M–Sequenzen, die im Gegensatz zu den Walsh–Funktionen nicht zueinander orthogonal sind.  
+
*Spreading is done using M-sequences which, unlike Walsh functions, are not orthogonal to each other.  
*Der Spreizfaktor ist jeweils &nbsp;$J = 15$.&nbsp; Die Oktalkennungen der beiden beteiligten PN&ndash;Spreizfolgen seien &nbsp;$(23)$&nbsp; und &nbsp;$(31)$.  
+
*The spreading factor in each case is &nbsp;$J = 15$.&nbsp; Let the octal identifiers of the two PN spreading sequences involved be &nbsp;$(23)$&nbsp; and &nbsp;$(31)$.  
  
  
  
Aus diesem Diagramm kann zum Beispiel abgelesen werden:
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From this diagram, for example, can be read:
  
*Bei nur einem Teilnehmer ergibt sich die blaue durchgezogene Kurve.&nbsp; Der zweite Teilnehmer erhöht die Fehlerwahrscheinlichkeit enorm:&nbsp;  bei &nbsp;$10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$&nbsp; von &nbsp;$p_{\rm B} = 2· 10^{–4} = 0.02\%$&nbsp;  auf &nbsp;$p_{\rm B} =1.5\%$&nbsp;  $($braune Markierungen, &nbsp;$τ = 0)$.  
+
*With only one participant, it results in the blue solid curve.&nbsp; The second participant increases the error probability enormously:&nbsp;  at &nbsp;$10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$&nbsp; from &nbsp;$p_{\rm B} = 2· 10^{–4} = 0.02\%$&nbsp;  to &nbsp;$p_{\rm B} =1.5\%$&nbsp;  $($brown markings, &nbsp;$τ = 0)$.  
*Durch Phasenversatz der PN–Sequenzen gegeneinander um Vielfache der Chipdauer kann man große Verbesserungen erzielen.&nbsp; Verschiebt man beispielsweise die PN–Sequenz &nbsp;$(31)$&nbsp; des interferierenden Teilnehmers um &nbsp;$τ = 2T_c$&nbsp; nach rechts (rote Markierungen), so erhält man statt &nbsp;$p_{\rm B} =1.5\%$&nbsp; Fehler nur mehr  &nbsp;$p_{\rm B} = 0.034\%$.  
+
*By phase-shifting the PN sequences with respect to each other by multiples of the chip duration, one can achieve large improvements.&nbsp; For example, if the PN sequence &nbsp;$(31)$&nbsp; of the interfering participant is shifted by &nbsp;$τ = 2T_c$&nbsp; to the right (red markings), instead of &nbsp;$p_{\rm B} =1.5\%$&nbsp; error only &nbsp;$p_{\rm B} = 0.034\%$ is obtained.
 
<br clear=all>
 
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Die Ergebnisse werden verständlich, wenn man die periodische KKF  &nbsp;$φ_\text{23, 31}(λ \cdot T_c)$&nbsp; zwischen den Sequenzen &nbsp;$(23)$&nbsp; und &nbsp;$(31)$&nbsp; betrachtet.
+
The results can be understood by considering the periodic CCF &nbsp;$φ_\text{23, 31}(λ \cdot T_c)$&nbsp; between sequences &nbsp;$(23)$&nbsp; and &nbsp;$(31)$.&nbsp;  
[[File:P_ID1896__Mod_T_5_4_S3b_ganz_neu.png |right|frame| PKKF der PN–Sequenzen &nbsp;$(23)$&nbsp; und &nbsp;$(31)$]]  
+
[[File:P_ID1896__Mod_T_5_4_S3b_ganz_neu.png |right|frame| PCCF of the PN sequences &nbsp;$(23)$&nbsp; and &nbsp;$(31)$]]  
  
*Je kleiner der PKKF–Betrag bei &nbsp;$\tau$&nbsp; ist, desto kleiner wird &nbsp;$p_{\rm B}$.
+
*The smaller the PCCF amount at &nbsp;$\tau$,&nbsp; the smaller &nbsp;$p_{\rm B}$ becomes
*Man könnte also auch die zweite PN–Sequenz um sechs oder acht Chipdauern nach rechts oder um fünf, sechs oder sieben Chipdauern  nach links verschieben  (rote Punkte).  
+
*Thus, one could also shift the second PN sequence to the right by six or eight chip durations or to the left by five, six, or seven chip durations (red dots).  
*In all diesen Fällen ist der PKKF–Betrag &nbsp;$|φ_\text{23, 31}(2 T_c)| = 1/15$&nbsp; kleiner  im Vergleich zu
+
*In all these cases, the PCCF amount &nbsp;$|φ_\text{23, 31}(2 T_c)| = 1/15$&nbsp; is smaller compared to
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(0)| = 7/15$&nbsp; (ockerfarbene Punkte),  
+
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(0)| = 7/15$&nbsp; (ochre dots),  
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(3 T_c)| = 5/15$&nbsp; (grüne Punkte), sowie
+
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(3 T_c)| = 5/15$&nbsp; (green dots), and
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(T_c)| = 3/15$&nbsp; (violette Punkte).  
+
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(T_c)| = 3/15$&nbsp; (purple dots).
 
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==Asynchroner CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen==
+
==Asynchronous CDMA operation with Walsh functions==
 
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Auf der Seite &nbsp;[[Modulation_Methods/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Systemkonfigurationen_f.C3.BCr_minimale_Fehlerwahrscheinlichkeit|Systemkonfigurationen für minimale Fehlerwahrscheinlichkeit]]&nbsp; wurde gezeigt, dass bei Verwendung von orthogonalen Walsh–Funktionen die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; auch bei Vorhandensein anderer CDMA–Teilnehmer gegenüber der BPSK–Vergleichskurve (System ohne Bandspreizung) nicht verändert wird, so lange alle Teilnehmer synchron arbeiten.
+
On the page &nbsp;[[Modulation_Methods/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Systemkonfigurationen_f.C3.BCr_minimale_Fehlerwahrscheinlichkeit|System configurations for minimum error probability]],&nbsp; it was shown that when orthogonal Walsh functions are used, the bit error probability &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; is not changed compared with the BPSK comparison curve (system without band spreading) even in the presence of other CDMA subscribers, as long as all subscribers operate synchronously.
 
   
 
   
*Diese Voraussetzung ist im Mobilfunk im allgemeinen für den Downlink (der Sender ist eine einzige Basisstation) erfüllt,  
+
*In mobile communications, this condition is generally fulfilled for the downlink (the transmitter is a single base station),
*nicht jedoch im Uplink (Sender sind viele mobile Endgeräte).  
+
*but not in the uplink (transmitters are many mobile terminals).  
  
[[File:EN_Mod_T_5_4_S4.png|right|frame| Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei asynchronem CDMA–Betrieb mit Walsh-Spreizfunktionen]]
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S4.png|right|frame| Bit error probability for asynchronous CDMA operation with Walsh spreading functions]]
  
  
Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven für den jeweils ungünstigsten Phasenversatz der Spreizfolgen von betrachtetem Teilnehmer und störendem Teilnehmer, jeweils mit Spreizgrad &nbsp;$J = 16$. Der erste Teilnehmer benutze dabei stets die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $15$.  
+
The diagram shows the bit error probability curves for the most unfavorable phase offset of the spreading sequences of the considered participant and the interfering participant, each with spreading factor &nbsp;$J = 16$. The first participant always used Walsh function no.&nbsp; $15$.  
  
Das Ergebnis kann wie folgt zusammengefasst werden:  
+
The result can be summarized as follows:
*Benutzt der zweite Teilnehmer die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $1$, so macht sich ein Phasenversatz nicht negativ bemerkbar, da für alle &nbsp;$λ$–Werte die PKKF &nbsp;$φ_\text{1, 15}(λ · T_c) = 0$&nbsp; ist.
+
*If the second participant uses the Walsh function no.&nbsp; $1$, a phase shift does not have a negative effect, since for all &nbsp;$λ$–values the PCCF &nbsp;$φ_\text{1, 15}(λ · T_c) = 0$.&nbsp;  
*Verwendet dagegen der zweite Teilnehmer die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $14$&nbsp; $($oder jede andere mit der Kenn-Nummer größer/gleich&nbsp; $8)$, so ergibt sich durch einen Phasenversatz um eine Chipdauer eine enorme Verschlechterung.  
+
*On the other hand, if the second participant uses Walsh function no.&nbsp; $14$&nbsp; $($or any other with identification number greater than/equal to&nbsp; $8)$, a phase shift by one chip duration results in a huge degradation.
*Es gilt zwar &nbsp;$φ_\text{14, 15}(0) = 0$, aber für &nbsp;$λ = 1$&nbsp; hat diese PKKF mit &nbsp;$φ_\text{14, 15}(T_c) = 3/4$&nbsp; einen sehr großen Wert.
+
*Although &nbsp;$φ_\text{14, 15}(0) = 0$ holds, for &nbsp;$λ = 1$&nbsp; this PCCF has a very large value with &nbsp;$φ_\text{14, 15}(T_c) = 3/4$.&nbsp;  
  
  
==Bitfehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal==
+
==Bit error probability for the two-way channel==
 
<br>
 
<br>
Für den Rest dieses  Kapitels  "Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation" setzen wir voraus:
+
For the rest of this chapter "Error probability of PN modulation" we assume:
*Zur Bandspreizung werden Walsh–Funktionen verwendet.&nbsp; Der Spreizfaktor ist jeweils  &nbsp;$J = 16$.&nbsp; Insbesondere betrachten wir die Funktionen:
+
*Walsh functions are used for band spreading. &nbsp; The spreading factor in each case is &nbsp;$J = 16$.&nbsp; In particular, we consider the functions:
 
:$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(1)}\rangle  =   
 
:$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(1)}\rangle  =   
 
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
Line 136: Line 136:
 
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
 
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
  
*Aktiv ist jeweils nur ein Teilnehmer &nbsp; &rArr; &nbsp; Interferenzen durch andere Nutzer treten nicht auf.  
+
*Only one subscriber is active at a time &nbsp; &rArr; &nbsp; interference from other users does not occur.
*Der Kanal enthält neben dem AWGN–Rauschen noch eine Mehrwegekomponente: &nbsp; Der Hauptpfad wird um den Faktor &nbsp;$0.8$&nbsp; gedämpft.
+
*The channel contains a multipath component in addition to the AWGN noise: &nbsp; The main path is attenuated by a factor of &nbsp;$0.8$.&nbsp;
*Daneben gibt es ein Echo im Abstand &nbsp;$2T_c$&nbsp; mit dem Gewicht &nbsp;$0.6$.&nbsp; Die Kanalimpulsantwort lautet in diesem Fall:
+
*In addition, there is an echo at a distance of &nbsp;$2T_c$&nbsp; with a weight of &nbsp;$0.6$.&nbsp; The channel impulse response in this case is:
[[File:EN_Mod_T_5_4_S5a.png |right|frame| CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal]]
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S5a.png |right|frame| CDMA error probability with two-way channel]]
 
:$$h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) +  0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c).$$
 
:$$h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) +  0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c).$$
  
Die Grafik zeigt Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven.&nbsp; Diese zeigen folgende Sachverhalte:  
+
The diagram shows bit error probability curves.&nbsp; These show the following facts:
*Die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $2$ &nbsp;(braune Punkte)&nbsp; ist für den oben definierten Zweiwegekanalanal denkbar ungeeignet, da sich hier das bandgespreizte Signal &nbsp;$b(t)$&nbsp; aufgrund des Echos im Abstand &nbsp;$2T_c$&nbsp; nahezu auslöscht.&nbsp; Dies erkennt man auch am PAKF–Wert &nbsp;$φ_{22}(τ = 2T_c) = -1$.  
+
*The Walsh function no.&nbsp; $2$ &nbsp;(brown dots)&nbsp; is conceivably unsuitable for the two-way channel defined above, since here the band spreading signal &nbsp;$b(t)$&nbsp; almost cancels itself out due to the echo at the distance &nbsp;$2T_c$.&nbsp;&nbsp; This can also be seen from the PACF value &nbsp;$φ_{22}(τ = 2T_c) = -1$.  
*Die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $1$ &nbsp;(gelbe Punkte)&nbsp; ist bei diesem Kanal sehr gut geeignet.&nbsp; Das Echosignal überlagert sich dem Signal auf dem Hauptfeld konstruktiv und &nbsp;$b(t)$&nbsp; wird nahezu verdoppelt.&nbsp; Das gute Ergebnis ist mit dem PAKF–Wert &nbsp;$φ_{11}(τ = 2T_c) = +1$&nbsp; erklärbar.
+
*The Walsh function no.&nbsp; $1$ &nbsp;(yellow dots)&nbsp; is very well suited for this channel.&nbsp; The echo signal is constructively superimposed on the signal on the main field and &nbsp;$b(t)$&nbsp; is almost doubled.&nbsp; The good result can be explained by the PACF value &nbsp;$φ_{11}(τ = 2T_c) = +1$.&nbsp;
*Für die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $12$  &nbsp;(rote Punkte)&nbsp; gleichen sich die konstruktiven und destruktiven Überlagerungen nahezu aus, so dass die Fehlerwahrscheinlichkeit in etwa auf der BPSK–Kurve liegt.&nbsp; Auch alle anderen Walsh–Funktionen liegen zwischen den braunen und gelben Grenzkurven.  
+
*The Walsh function no.&nbsp; $12$  &nbsp;(red dots),&nbsp; the constructive and destructive superpositions almost balance out, so that the error probability is approximately on the BPSK curve.&nbsp; All other Walsh functions also lie between the brown and yellow boundary curves.
  
  
Line 151: Line 151:
  
 
{{BlaueBox||TEXT=
 
{{BlaueBox||TEXT=
$\text{Fazit:}$&nbsp;
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$\text{Conclusion:}$&nbsp;
*Der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $1$&nbsp; hat beim betrachteteten Kanal mit der Echoverzögerung &nbsp;$2 \cdot T_c$&nbsp; deutlich bessere Bedingungen als der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $2$.
+
*The participant with Walsh function no.&nbsp; $1$&nbsp; has significantly better conditions than the participant with Walsh function no.&nbsp; $2$ at the considered channel with echo delay &nbsp;$2 \cdot T_c$.&nbsp;
*Bei einem Kanal mit der Echoverzögerung &nbsp;$T_c$&nbsp; hätte dagegen der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $2$&nbsp; deutlich bessere Bedingungen als der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $1$.
+
*On the other hand, for a channel with echo delay &nbsp;$T_c$&nbsp; the subscriber with Walsh function no.&nbsp; $2$&nbsp; would have significantly better conditions than the subscriber with Walsh function no.&nbsp; $1$.
* Da aber ein Netzbetreiber für alle Teilnehmer bei beliebigem Kanal gleiche Bedingungen bereitstellen muss, ist die hier betrachtete Konfiguration für den praktischen Betrieb ungeeignet.  
+
* However, since a network operator must provide the same conditions for all subscribers with any channel, the configuration considered here is unsuitable for practical operation.  
*Nachfolgend wird gezeigt, wie man für alle Teilnehmer annähernd gleiche Bedingungen schaffen kann.}}  
+
*In the following, it is shown how to provide approximately equal conditions for all subscribers.}}  
  
  
==Einfluss einer zusätzlichen Verwürfelung der Spreizfolge==
+
==Influence of additional scrambling of the spreading sequence==
 
<br>
 
<br>
[[File:P_ID1899__Mod_T_5_4_S5b_neu.png|right|frame | CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal, <br>zusätzliche Verwürfelung]]
+
[[File:P_ID1899__Mod_T_5_4_S5b_neu.png|right|frame | CDMA error probability with two-way channel, <br>additional scrambling]]
Eine Möglichkeit, die Qualität für die einzelnen Teilnehmer auch beim Zweiwegekanal zu egalisieren, bietet die zusätzliche Verwürfelung mit &nbsp;$w(t)$&nbsp; entsprechend dem vorne gezeigten &nbsp;[[Modulation_Methods/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Das_CDMA.E2.80.93System_IS.E2.80.9395|Blockschaltbild]].&nbsp; Für die rechts dargestellte  Grafik wird vorausgesetzt:  
+
One way to equalize the quality for the individual subscribers even for the two-way channel is to add scrambling with &nbsp;$w(t)$&nbsp; according to the &nbsp;[[Modulation_Methods/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Das_CDMA.E2.80.93System_IS.E2.80.9395|block diagram]]&nbsp; shown at the front. For the diagram shown on the right it is assumed:
*Die beteiligten Benutzer verwenden zur Bandspreizung unterschiedliche Walsh–Funktionen, alle mit dem Spreizfaktor &nbsp;$J = 16$.
+
*The participating users use different Walsh functions for band spreading, all with spreading factor &nbsp;$J = 16$.
*Jeder Benutzer wird zusätzlich durch eine M–Sequenz der Periodenlänge &nbsp;$P = 63$&nbsp; $($Registergrad &nbsp;$G = 6)$&nbsp; verwürfelt.
+
*Each user is additionally scrambled by an M-sequence of period length &nbsp;$P = 63$&nbsp; $($register degree &nbsp;$G = 6)$.&nbsp;  
*Die eingezeichneten Punkte gelten für die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $12$&nbsp; als Spreizsignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; und die Verwürfelung &nbsp;$w(t)$&nbsp; durch die M–Sequenz mit Oktalkennung &nbsp;$(163)$.  
+
*The plotted points apply to Walsh function no.&nbsp; $12$&nbsp; as spreading signal &nbsp;$c(t)$&nbsp; and scrambling &nbsp;$w(t)$&nbsp; by the M-sequence with octal identifier &nbsp;$(163)$.  
  
  
Gegenüber dem reinen AWGN–Kanal ergibt sich beim betrachteten Zweiwegekanal mit den Koeffizienten &nbsp;$0.8$&nbsp; und &nbsp;$0.6$&nbsp; eine Degradation von etwa &nbsp;$2 \ \rm dB$ bis $3 \ \rm dB$ &nbsp; &rArr; &nbsp; horizontaler Abstand zwischen den eingezeichneten Punkten und der blauen Vergleichskurve.  
+
Compared with the pure AWGN channel, the two-way channel considered with coefficients &nbsp;$0.8$&nbsp; and &nbsp;$0.6$&nbsp; gives a degradation of about &nbsp;$2 \ \rm dB$ to $3 \ \rm dB$ &nbsp; &rArr; &nbsp; horizontal distance between the plotted points and the blue comparison curve.
  
''Anmerkung:'' &nbsp; Die Ergebnisse für andere Walsh–Funktionen, zum Beispiel Nr.&nbsp; $1$&nbsp; oder Nr.&nbsp; $2$&nbsp; unterscheiden sich gegenüber dieser Skizze&nbsp; $($gültig für die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $12)$&nbsp; innerhalb der Zeichengenauigkeit nur unwesentlich.  
+
''Note:'' &nbsp; The results for other Walsh functions, for example no.&nbsp; $1$&nbsp; or no.&nbsp; $2$&nbsp; differ only insignificantly from this diagram&nbsp; $($valid for Walsh function no.&nbsp; $12)$&nbsp; within the character accuracy.
 
<br clear =all>
 
<br clear =all>
 
{{BlaueBox||TEXT=
 
{{BlaueBox||TEXT=
$\text{Fazit:}$&nbsp;  
+
$\text{Conclusion:}$&nbsp;  
*Die zusätzliche Verwürfelung mit &nbsp;$w(t)$&nbsp; dient nur dazu, bei einem Kanal mit Echoverzerrungen für alle Teilnehmer gleiche Bedingungen zu schaffen.  
+
*The additional scrambling with &nbsp;$w(t)$&nbsp; serves only to create equal conditions for all participants in a channel with echo distortions.
*$w(t)$&nbsp; bewirkt also keine zusätzliche Bandspreizung.  
+
*Thus, $w(t)$&nbsp; does not cause any additional band spreading.
  
  
Alle Teilnehmer erleben somit durch ein Echo die gleiche Degradation, verglichen mit dem idealen Kanal.&nbsp; Andernfalls&nbsp; (ohne  diese Verwürfelung)&nbsp; würden sich die Kunden mit schlechten Bedingungen beim Betreiber beschweren und eventuell Regressansprüche stellen, während die anderen Kunden die für sie günstige konstruktive Echo&ndash;Überlagerung vielleicht erfreut, aber sicher stillschweigend hinnehmen würden.}}  
+
All participants thus experience the same degradation due to an echo, compared to the ideal channel.&nbsp; Otherwise&nbsp; (without this scrambling),&nbsp; the customers with poor conditions would complain to the operator and possibly claim recourse, while the other customers would accept the constructive echo overlay, which is favorable to them, perhaps delightedly but surely tacitly.}}  
  
  
==Untersuchungen zum Rake–Empfänger==
+
==Examinations of the rake receiver==
 
<br>
 
<br>
Betrachten wir abschließend die Verbesserung durch die Verwendung eines Rake–Empfängers, die durch die folgende Grafik verdeutlicht wird.&nbsp; Damit wird beispielsweise für &nbsp;$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$&nbsp; die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von &nbsp;$\rm 6 · 10^{–3}$&nbsp; auf &nbsp;$\rm 5 · 10^{-4}$&nbsp; herabgesetzt.
+
Finally, let us consider the improvement by using a rake receiver, which is illustrated by the following diagram.&nbsp; For example, this reduces the bit error probability from &nbsp;$\rm 6 · 10^{–3}$&nbsp; to &nbsp;$\rm 5 · 10^{-4}$&nbsp; for &nbsp;$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$.&nbsp;  
  
[[File:EN_Mod_T_5_4_S6a.png|right|frame  | CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeitskurven mit und ohne Rake–Empfänger]]
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S6a.png|right|frame  |CDMA error probability curves with and without rake receiver]]
  
Anzumerken ist, dass für dieses Diagramm die genau gleichen Voraussetzungen gelten wie für die&nbsp; [[Modulation_Methods/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Einfluss_einer_zus.C3.A4tzlichen_Verw.C3.BCrfelung_der_Spreizfolge|Grafik im letzten Abschnitt]]:  
+
Note that the exact same assumptions apply to this diagram as to the&nbsp; [[Modulation_Methods/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Einfluss_einer_zus.C3.A4tzlichen_Verw.C3.BCrfelung_der_Spreizfolge|diagram in the last section]]:  
*Bandspreizung mit &nbsp;$J =16$&nbsp; und Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $12$,  
+
*Band spreading with &nbsp;$J =16$&nbsp; and Walsh function no.&nbsp; $12$,  
*zusätzliche Verwürfelung durch die M–Sequenz &nbsp;$\rm (163)_{oktal}$,  
+
*additional scrambling by the M-sequence &nbsp;$\rm (163)_{octal}$,  
*Zweiwegekanal mit &nbsp;$h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t - 2T_c)$.  
+
*two-way channel with &nbsp;$h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t - 2T_c)$.  
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
Der Grund für diese Verbesserung ist die kleinere Varianz &nbsp;${σ_d}^2$&nbsp; der Detektionsnutzabtastwerte, wie aus den rechts skizzierten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen &nbsp;$f_d(d)$&nbsp; hervorgeht&nbsp; $($gültig für &nbsp;$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB)$.&nbsp; Hierbei setzt sich &nbsp;${σ_d}^2 = {σ_{\rm I}}^2 + {σ_{\rm N}}^2$&nbsp; aus zwei Anteilen zusammen:
+
The reason for this improvement is the smaller variance &nbsp;${σ_d}^2$&nbsp; of the detection utility samples, as can be seen from the probability density functions &nbsp;$f_d(d)$&nbsp; shown on the right&nbsp; $($valid for &nbsp;$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB)$.&nbsp; Here, &nbsp;${σ_d}^2 = {σ_{\rm I}}^2 + {σ_{\rm N}}^2$&nbsp; is composed of two components:
*Der Anteil &nbsp;${σ_{\rm N}}^2$&nbsp; des AWGN–Rauschens &nbsp;$n(t)$&nbsp; an der Gesamtvarianz &nbsp;${σ_d}^2$&nbsp; hängt allein von der Abszisse &nbsp;$(E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; ab und ist mit und ohne Rake gleich groß.  
+
*The fraction &nbsp;${σ_{\rm N}}^2$&nbsp; of the AWGN noise &nbsp;$n(t)$&nbsp; in the total variance &nbsp;${σ_d}^2$&nbsp; depends solely on the abscissa &nbsp;$(E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; and is the same with and without rake.
*Das kleinere &nbsp;$σ_d^2$&nbsp; mit Rake ist allein darauf zurückzuführen, dass der Rake–Empfänger die Impulsinterferenzen bekämpft.&nbsp; Dadurch ist &nbsp;${σ_{\rm I}}^2$&nbsp; beim (roten) Empfänger mit Rake zwar nicht Null, aber deutlich kleiner als beim (schwarzen) Empfänger ohne Rake.
+
*The smaller &nbsp;$σ_d^2$&nbsp; with rake is solely due to the fact that the rake receiver combats the impulse interference.&nbsp; Thus, &nbsp;${σ_{\rm I}}^2$&nbsp; is not zero for the (red) receiver with rake, but it is significantly smaller than for the (black) receiver without rake.
  
  
  
==Prinzip des Rake–Empfängers==
+
==Principle of the rake receiver==
 
<br>
 
<br>
[[File:EN_Mod_T_5_4_S6b.png |right|frame| Zweiwegekanal und zugehöriger Rake–Empfänger]]  
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S6b.png |right|frame| Two-way channel and associated rake receiver]]  
Das Rake–Prinzip wird durch die Skizze verdeutlicht.&nbsp; Der Zweiwegekanal besteht aus
+
The rake principle is illustrated by the diagram.&nbsp; The two-way channel consists of
  
*dem direkten Pfad mit Verzögerungszeit &nbsp;$τ_0$&nbsp; und Gewicht &nbsp;$h_0$,  
+
*the direct path with delay time &nbsp;$τ_0$&nbsp; and weight &nbsp;$h_0$,  
*einem Echo mit Verzögerung &nbsp;$τ_1 > τ_0$&nbsp; und Gewicht &nbsp;$h_1$.  
+
*an echo with delay &nbsp;$τ_1 > τ_0$&nbsp; and weight &nbsp;$h_1$.  
  
  
Beide Amplitudenkoeffizienten seien reell.&nbsp; Als Normierungsbedingung gelte im Folgenden:  
+
Let both amplitude coefficients be real.&nbsp; As a normalization condition is valid in the following:  
 
:$${h_0}^2 + {h_1}^2 = 1.$$  
 
:$${h_0}^2 + {h_1}^2 = 1.$$  
  
Aufgabe des Rake–Empfängers ist es, die Signalenergien der beiden Pfade&nbsp; (im allgemeinen: &nbsp; aller Pfade)&nbsp; auf einen einzigen Zeitpunkt zu konzentrieren.&nbsp; Er arbeitet demnach wie eine&nbsp; "Harke"&nbsp; für den Garten, was auch die deutsche Übersetzung für „Rake” ist.  
+
The task of the rake receiver is to concentrate the signal energies of the two paths&nbsp; (in general: &nbsp; all paths)&nbsp; to a single point in time.&nbsp; It therefore works like a&nbsp; "rake"&nbsp; for the garden.  
  
Legt man einen Diracimpuls zur Zeit &nbsp;$t = 0$&nbsp; an den Kanaleingang an &nbsp;  ⇒ &nbsp;  $s(t) = δ(t)$, so gibt es am Ausgang des Rake–Empfängers drei Diracimpulse:
+
If one applies a Dirac pulse at time &nbsp;$t = 0$&nbsp; to the channel input &nbsp;  ⇒ &nbsp;  $s(t) = δ(t)$, there are three Dirac pulses at the output of the rake receiver:
 
:$$b(t) = \big [ h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [(h_0^2 +  h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) \big ]+
 
:$$b(t) = \big [ h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [(h_0^2 +  h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) \big ]+
 
\big [h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
 
\big [h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
*Die Signalenergie konzentriert sich im Ausgangssignal auf den Zeitpunkt &nbsp;$τ_0 + τ_1$.&nbsp; Von den insgesamt vier Wegen tragen zwei dazu bei.  
+
*The signal energy is concentrated in the output signal at time &nbsp;$τ_0 + τ_1$,&nbsp; and two of the total four paths contribute to this.
*Die Diracfunktionen bei &nbsp;$2τ_0$&nbsp; und &nbsp;$2τ_1$&nbsp; bewirken durchaus Impulsinterferenzen.  
+
*The Dirac functions at &nbsp;$2τ_0$&nbsp; and &nbsp;$2τ_1$&nbsp; do cause momentum interference.
*Ihre Gewichte &nbsp;$(h_0 · h_1)$&nbsp; sind aber deutlich kleiner als das Gewicht des Hauptpfades &nbsp;$({h_0}^2 + {h_1}^2)$.  
+
*However, their weights &nbsp;$(h_0 · h_1)$&nbsp; are much smaller than the weight of the main path &nbsp;$({h_0}^2 + {h_1}^2)$.  
  
  
 
{{GraueBox|TEXT=
 
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  
+
$\text{Example 1:}$&nbsp;  
*Mit den Parameterwerten &nbsp;$h_0 = 0.8$&nbsp; und &nbsp;$h_1 = 0.6$&nbsp; beinhaltet der Hauptpfad&nbsp;  $($mit Gewicht &nbsp;$h_0)$&nbsp; nur &nbsp;$\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$&nbsp; der gesamten Signalenergie.  
+
*With parameter values &nbsp;$h_0 = 0.8$&nbsp; and &nbsp;$h_1 = 0.6$,&nbsp; the main path&nbsp;  $($with weight &nbsp;$h_0)$&nbsp; contains only &nbsp;$\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$&nbsp; of the total signal energy.
*Mit Rake–Empfänger und den gleichen Gewichten lautet die obige Gleichung
+
*With rake receiver and the same weights the above equation is
 
:$$b(t) = \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1)\big ] +
 
:$$b(t) = \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1)\big ] +
 
\big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1)\big ] \hspace{0.05cm}.$$
 
\big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1)\big ] \hspace{0.05cm}.$$
*Der Anteil des Hauptpfades an der Gesamtenergie beträgt nun &nbsp;$\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$, ist also etwas größer als ohne Rake. }}
+
*The contribution of the main path to the total energy is now &nbsp;$\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$, slightly larger than without rake. }}
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$&nbsp;  
+
$\text{Conclusion:}$&nbsp;  
*Rake–Empfänger werden zur Implementierung in mobilen Geräten bevorzugt, haben aber bei vielen aktiven Teilnehmern nur eine begrenzte Leistungsfähigkeit.  
+
*Rake receivers are preferred for implementation in mobile devices, but have limited performance with many active subscribers.
*Bei einem Mehrwegekanal mit vielen &nbsp;$(M)$&nbsp; Pfaden hat auch der Rake $M$ Finger.  
+
*In a multipath channel with many &nbsp;$(M)$&nbsp; paths, the rake also has $M$ fingers.
*Der Hauptfinger (''Main Finger'') auch ''Searcher'' genannt ist bei den meisten Mobilfunksystemen dafür verantwortlich, die individuellen Pfade der Mehrfachausbreitung zu identifizieren und einzuordnen. }}
+
*The main finger also called the ''searcher'' – is responsible for identifying and classifying the individual paths of multiple propagation in most mobile radio systems. }}
  
  
==Aufgaben zum Kapitel==
+
==Exercises for the chapter==
 
<br>
 
<br>
[[Aufgaben: 5.5 Mehrteilnehmer–Interferenzen|Aufgabe 5.5: Mehrteilnehmer–Interferenzen]]
+
[[Aufgaben:Exercise_5.5:_Multi-User_Interference|Exercise 5.5: Multi-User Interference]]
  
[[Aufgaben:Exercise_5.5Z:_About_the_Rake_Receiver|Aufgabe 5.5Z: Zum Rake–Empfänger]]
+
[[Aufgaben:Exercise_5.5Z:_About_the_Rake_Receiver|Exercise 5.5Z: About the Rake Receiver]]
  
  
  
==Quellenverzeichnis==
+
==References==
 
<references/>
 
<references/>
  
 
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Revision as of 10:38, 13 December 2021

The IS-95 CDMA system


The properties of PN modulation are now given using the example of the American mobile radio standard  IS–95,  which has resulted from the work of  Qualcomm Inc.  and in particular  Andrew J. Viterbi.   In a somewhat simplified representation – without convolutional encoder, interleaver and de-interleaver as well as the Viterbi decoder at the receiver - the following block diagram results.

Considered block diagram for this chapter

The following statements are valid:

  • The spreading signal  $c(t)$  causes  band spreading  by the spreading factor  $J$, with both  Walsh functions  als auch  M–Sequences  being considered on the following pages.   Band compression  at the receiver uses the same spreading sequence in a phase-synchronous manner.
  • The additional  $±1$ signal  $w(t)$  provides additional  scrambling, but does not cause further band spreading.  The rectangular duration of  $w(t)$  is exactly as large  $(T_c)$  as the rectangular duration of  $c(t)$.   $T_c$  is called the chip duration.
  • Without band spreading and scrambling  $($or with  $J = 1)$,  the transmission chain corresponds to  BPSK modulation.  The matched filter is implemented by the  Integrate & Dump  variant, so it is an optimal system.
  • With  $H_{\rm K}(f) = 1$,  the  AWGN channel model  is obtained with the Gaussian distributed noise signal  $n(t)$  and the AWGN parameter  $E_{\rm B}/N_0$.  The additional interference component $i(t)$  summarizes the  interference  from the other participants.
  • In the case of a  multipath channel   (one main path and one or more secondary paths),  the resulting impulse interference can be reduced by using a rake receiver


All of the following results were determined using the "CDMA" simulation program.  This was used at the TU Munich in the practical course "Simulation of digital transmission systems" [Söd01][1]. This experiment is based on

  • the teaching software  CDMA   ⇒   link refers to the ZIP version of the program and
  • the corresponding  lab manual   ⇒   link refers to the PDF version.


System configurations for minimum error probability


Bit error probability curves for the AWGN channel

The diagram shows the bit error probability at BPSK as a function of the logarithmized AWGN parameter  $E_{\rm B}/N_0$  (signal energy per bit related to the noise power density)  as a solid blue curve. With the complementary Gaussian error function  ${\rm Q}(x)$:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2\cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

For example, for  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$  the bit error probability  $p_{\rm B} = \rm 2 · 10^{–4}$ is approximated.

The same minimum value is provided by a system simulation (red dots) under the following conditions:

  • PN modulation, whether with an M-sequence or with a Walsh function, at any spreading factor  $J$, if only one user is active.
  • Synchronous CDMA operation with Walsh functions, even if other users $($maximum  $J -1)$  are active in the same frequency band.
  • The rake receiver can be dispensed with, since no pulse interference occurs with the AWGN channel.

Two participants with M-sequence spreading


We consider the disturbing influence of a second (clock-synchronous) participant on the error probability of participant 1.

Bit error probability with band spreading  $(J = 15)$  with M-sequence
  • Spreading is done using M-sequences which, unlike Walsh functions, are not orthogonal to each other.
  • The spreading factor in each case is  $J = 15$.  Let the octal identifiers of the two PN spreading sequences involved be  $(23)$  and  $(31)$.


From this diagram, for example, can be read:

  • With only one participant, it results in the blue solid curve.  The second participant increases the error probability enormously:  at  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$  from  $p_{\rm B} = 2· 10^{–4} = 0.02\%$  to  $p_{\rm B} =1.5\%$  $($brown markings,  $τ = 0)$.
  • By phase-shifting the PN sequences with respect to each other by multiples of the chip duration, one can achieve large improvements.  For example, if the PN sequence  $(31)$  of the interfering participant is shifted by  $τ = 2T_c$  to the right (red markings), instead of  $p_{\rm B} =1.5\%$  error only  $p_{\rm B} = 0.034\%$ is obtained.


The results can be understood by considering the periodic CCF  $φ_\text{23, 31}(λ \cdot T_c)$  between sequences  $(23)$  and  $(31)$. 

PCCF of the PN sequences  $(23)$  and  $(31)$
  • The smaller the PCCF amount at  $\tau$,  the smaller  $p_{\rm B}$ becomes
  • Thus, one could also shift the second PN sequence to the right by six or eight chip durations or to the left by five, six, or seven chip durations (red dots).
  • In all these cases, the PCCF amount  $|φ_\text{23, 31}(2 T_c)| = 1/15$  is smaller compared to
  1. $\ \ |φ_\text{23, 31}(0)| = 7/15$  (ochre dots),
  2. $\ \ |φ_\text{23, 31}(3 T_c)| = 5/15$  (green dots), and
  3. $\ \ |φ_\text{23, 31}(T_c)| = 3/15$  (purple dots).


Asynchronous CDMA operation with Walsh functions


On the page  System configurations for minimum error probability,  it was shown that when orthogonal Walsh functions are used, the bit error probability  $p_{\rm B}$  is not changed compared with the BPSK comparison curve (system without band spreading) even in the presence of other CDMA subscribers, as long as all subscribers operate synchronously.

  • In mobile communications, this condition is generally fulfilled for the downlink (the transmitter is a single base station),
  • but not in the uplink (transmitters are many mobile terminals).
Bit error probability for asynchronous CDMA operation with Walsh spreading functions


The diagram shows the bit error probability curves for the most unfavorable phase offset of the spreading sequences of the considered participant and the interfering participant, each with spreading factor  $J = 16$. The first participant always used Walsh function no.  $15$.

The result can be summarized as follows:

  • If the second participant uses the Walsh function no.  $1$, a phase shift does not have a negative effect, since for all  $λ$–values the PCCF  $φ_\text{1, 15}(λ · T_c) = 0$. 
  • On the other hand, if the second participant uses Walsh function no.  $14$  $($or any other with identification number greater than/equal to  $8)$, a phase shift by one chip duration results in a huge degradation.
  • Although  $φ_\text{14, 15}(0) = 0$ holds, for  $λ = 1$  this PCCF has a very large value with  $φ_\text{14, 15}(T_c) = 3/4$. 


Bit error probability for the two-way channel


For the rest of this chapter "Error probability of PN modulation" we assume:

  • Walsh functions are used for band spreading.   The spreading factor in each case is  $J = 16$.  In particular, we consider the functions:
$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$ \langle w_\nu^{(12)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
  • Only one subscriber is active at a time   ⇒   interference from other users does not occur.
  • The channel contains a multipath component in addition to the AWGN noise:   The main path is attenuated by a factor of  $0.8$. 
  • In addition, there is an echo at a distance of  $2T_c$  with a weight of  $0.6$.  The channel impulse response in this case is:
CDMA error probability with two-way channel
$$h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) + 0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c).$$

The diagram shows bit error probability curves.  These show the following facts:

  • The Walsh function no.  $2$  (brown dots)  is conceivably unsuitable for the two-way channel defined above, since here the band spreading signal  $b(t)$  almost cancels itself out due to the echo at the distance  $2T_c$.   This can also be seen from the PACF value  $φ_{22}(τ = 2T_c) = -1$.
  • The Walsh function no.  $1$  (yellow dots)  is very well suited for this channel.  The echo signal is constructively superimposed on the signal on the main field and  $b(t)$  is almost doubled.  The good result can be explained by the PACF value  $φ_{11}(τ = 2T_c) = +1$. 
  • The Walsh function no.  $12$  (red dots),  the constructive and destructive superpositions almost balance out, so that the error probability is approximately on the BPSK curve.  All other Walsh functions also lie between the brown and yellow boundary curves.



$\text{Conclusion:}$ 

  • The participant with Walsh function no.  $1$  has significantly better conditions than the participant with Walsh function no.  $2$ at the considered channel with echo delay  $2 \cdot T_c$. 
  • On the other hand, for a channel with echo delay  $T_c$  the subscriber with Walsh function no.  $2$  would have significantly better conditions than the subscriber with Walsh function no.  $1$.
  • However, since a network operator must provide the same conditions for all subscribers with any channel, the configuration considered here is unsuitable for practical operation.
  • In the following, it is shown how to provide approximately equal conditions for all subscribers.


Influence of additional scrambling of the spreading sequence


CDMA error probability with two-way channel,
additional scrambling

One way to equalize the quality for the individual subscribers even for the two-way channel is to add scrambling with  $w(t)$  according to the  block diagram  shown at the front. For the diagram shown on the right it is assumed:

  • The participating users use different Walsh functions for band spreading, all with spreading factor  $J = 16$.
  • Each user is additionally scrambled by an M-sequence of period length  $P = 63$  $($register degree  $G = 6)$. 
  • The plotted points apply to Walsh function no.  $12$  as spreading signal  $c(t)$  and scrambling  $w(t)$  by the M-sequence with octal identifier  $(163)$.


Compared with the pure AWGN channel, the two-way channel considered with coefficients  $0.8$  and  $0.6$  gives a degradation of about  $2 \ \rm dB$ to $3 \ \rm dB$   ⇒   horizontal distance between the plotted points and the blue comparison curve.

Note:   The results for other Walsh functions, for example no.  $1$  or no.  $2$  differ only insignificantly from this diagram  $($valid for Walsh function no.  $12)$  within the character accuracy.

$\text{Conclusion:}$ 

  • The additional scrambling with  $w(t)$  serves only to create equal conditions for all participants in a channel with echo distortions.
  • Thus, $w(t)$  does not cause any additional band spreading.


All participants thus experience the same degradation due to an echo, compared to the ideal channel.  Otherwise  (without this scrambling),  the customers with poor conditions would complain to the operator and possibly claim recourse, while the other customers would accept the constructive echo overlay, which is favorable to them, perhaps delightedly but surely tacitly.


Examinations of the rake receiver


Finally, let us consider the improvement by using a rake receiver, which is illustrated by the following diagram.  For example, this reduces the bit error probability from  $\rm 6 · 10^{–3}$  to  $\rm 5 · 10^{-4}$  for  $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$. 

CDMA error probability curves with and without rake receiver

Note that the exact same assumptions apply to this diagram as to the  diagram in the last section:

  • Band spreading with  $J =16$  and Walsh function no.  $12$,
  • additional scrambling by the M-sequence  $\rm (163)_{octal}$,
  • two-way channel with  $h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t - 2T_c)$.


The reason for this improvement is the smaller variance  ${σ_d}^2$  of the detection utility samples, as can be seen from the probability density functions  $f_d(d)$  shown on the right  $($valid for  $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB)$.  Here,  ${σ_d}^2 = {σ_{\rm I}}^2 + {σ_{\rm N}}^2$  is composed of two components:

  • The fraction  ${σ_{\rm N}}^2$  of the AWGN noise  $n(t)$  in the total variance  ${σ_d}^2$  depends solely on the abscissa  $(E_{\rm B}/N_0)$  and is the same with and without rake.
  • The smaller  $σ_d^2$  with rake is solely due to the fact that the rake receiver combats the impulse interference.  Thus,  ${σ_{\rm I}}^2$  is not zero for the (red) receiver with rake, but it is significantly smaller than for the (black) receiver without rake.


Principle of the rake receiver


Two-way channel and associated rake receiver

The rake principle is illustrated by the diagram.  The two-way channel consists of

  • the direct path with delay time  $τ_0$  and weight  $h_0$,
  • an echo with delay  $τ_1 > τ_0$  and weight  $h_1$.


Let both amplitude coefficients be real.  As a normalization condition is valid in the following:

$${h_0}^2 + {h_1}^2 = 1.$$

The task of the rake receiver is to concentrate the signal energies of the two paths  (in general:   all paths)  to a single point in time.  It therefore works like a  "rake"  for the garden.

If one applies a Dirac pulse at time  $t = 0$  to the channel input   ⇒   $s(t) = δ(t)$, there are three Dirac pulses at the output of the rake receiver:

$$b(t) = \big [ h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [(h_0^2 + h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) \big ]+ \big [h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • The signal energy is concentrated in the output signal at time  $τ_0 + τ_1$,  and two of the total four paths contribute to this.
  • The Dirac functions at  $2τ_0$  and  $2τ_1$  do cause momentum interference.
  • However, their weights  $(h_0 · h_1)$  are much smaller than the weight of the main path  $({h_0}^2 + {h_1}^2)$.


$\text{Example 1:}$ 

  • With parameter values  $h_0 = 0.8$  and  $h_1 = 0.6$,  the main path  $($with weight  $h_0)$  contains only  $\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$  of the total signal energy.
  • With rake receiver and the same weights the above equation is
$$b(t) = \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1)\big ] + \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1)\big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • The contribution of the main path to the total energy is now  $\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$, slightly larger than without rake.


$\text{Conclusion:}$ 

  • Rake receivers are preferred for implementation in mobile devices, but have limited performance with many active subscribers.
  • In a multipath channel with many  $(M)$  paths, the rake also has $M$ fingers.
  • The main finger – also called the searcher – is responsible for identifying and classifying the individual paths of multiple propagation in most mobile radio systems.


Exercises for the chapter


Exercise 5.5: Multi-User Interference

Exercise 5.5Z: About the Rake Receiver


References

  1. Söder, G.: Simulation digitaler Übertragungssysteme. Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2001.