Difference between revisions of "Modulation Methods/Error Probability of Direct-Sequence Spread Spectrum Modulation"

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{{Header
|Untermenü=Vielfachzugriffsverfahren
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|Untermenü=Multiple Access Methods
|Vorherige Seite=Spreizfolgen für CDMA
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|Nächste Seite=General Description of OFDM
 
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==Das CDMA–System IS–95==
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==The IS-95 CDMA system==
Die Eigenschaften der PN–Modulation sollen nun am Beispiel des amerikanischen Mobilfunkstandards [https://en.wikipedia.org/wiki/CdmaOne IS–95], der sich aus den Arbeiten der Fa. [https://de.wikipedia.org/wiki/Qualcomm Qualcomm Inc.] und insbesondere von [https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_J._Viterbi Andrew J. Viterbi] ergeben hat, quantitativ angegeben werden. In etwas vereinfachter Darstellung ohne Faltungscodierer, Interleaver und De–Interleaver sowie dem Viterbi–Decoder beim Empfänger – ergibt sich das folgende Blockschaltbild.  
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<br>
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The properties of PN modulation are now given using the example of the American mobile radio standard &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/CdmaOne IS–95],&nbsp; which has resulted from the work of &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Qualcomm Qualcomm Inc.]&nbsp; and in particular of &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Andrew_Viterbi Andrew J. Viterbi].&nbsp;&nbsp; In a somewhat simplified representation without convolutional encoder,&nbsp; interleaver and de-interleaver as well as the Viterbi decoder at the receiver - the following block diagram results.&nbsp; The following statements are valid:
  
[[File:P_ID1893__Mod_T_5_4_S1_ganz_neu.png |frame| Betrachtetes Blockschaltbild für dieses Kapitel]]
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[[File:EN_Mod_T_5_4_S1.png |right|frame| Considered block diagram for this chapter]]
  
Es gelten folgende Aussagen:
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*The spreading signal &nbsp;$c(t)$&nbsp; causes &nbsp;"band spreading"&nbsp; by the spreading factor &nbsp;$J$,&nbsp; with&nbsp;[[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Walsh_functions|Walsh functions]]&nbsp; or &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Pseudo-noise_sequences_of_maximum_length|M–Sequences]].&nbsp;  &nbsp;
*Das Spreizsignal $c(t)$ bewirkt eine ''Bandspreizung'' um den Spreizfaktor $J$, wobei auf den nächsten Seiten sowohl [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen|Walsh–Funktionen]] als auch [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Pseudo.E2.80.93Noise.E2.80.93Folgen_maximaler_L.C3.A4nge|M–Sequenzen]] betrachtet werden. Die ''Bandstauchung'' beim Empfänger benutzt phasensynchron die gleiche Spreizfolge.
 
*Das zusätzliche $±1$–Signal $w(t)$ ermöglicht eine zusätzliche ''Verwürfelung'', bewirkt jedoch keine weitere Bandspreizung. Die Rechteckdauer von $w(t)$ ist genau so groß wie die Rechteckdauer von $c(t)$. Man nennt $T_c$ die ''Chipdauer''.
 
*Ohne Bandspreizung und Verwürfelung (bzw. mit $J = 1$) entspricht die Übertragungskette der [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK–Modulation]]. Das Matched–Filter ist durch die Variante [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Optimaler_Bin.C3.A4rempf.C3.A4nger_.E2.80.93_Realisierungsform_.E2.80.9EIntegrate_.26_Dump.E2.80.9D|Integrate & Dump]] realisiert, so dass es sich um ein optimales System handelt.
 
*Mit $H_{\rm K}(f) = 1$ ergibt sich das [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93KanalmodellAWGN–Kanalmodell]] mit dem gaußverteilten Rauschsignal $n(t)$ und der AWGN–Kenngröße $E_{\rm B}/N_0$. Die zusätzliche Störkomponente $i(t)$ fasst die ''Interferenzen'' der anderen Teilnehmer zusammen.
 
*Bei einem [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#Eigenschaften_des_UMTS-Funkkanals|Mehrwegekanal]] (ein Hauptpfad und ein oder mehrere Nebenpfade) können die entstehenden Impulsinterferenzen durch den Einsatz eines RAKE–Empfängers vermindert werden. Hierauf wird erst am Ende dieses Kapitels näher eingegangen.
 
  
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*"Band compression"&nbsp; at the receiver uses the same spreading sequence in a phase-synchronous manner.
  
Alle nachfolgenden Ergebnisse wurden mit dem Simulationsprogramm „CDMA” ermittelt. Dieses wird an der TU München im Praktikum „Simulation digitaler Übertragungssysteme” [Söd01]<ref>Söder, G.: ''Simulation digitaler Übertragungssysteme''. Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2001.</ref> eingesetzt.  
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*The additional &nbsp;$±1$ signal &nbsp;$w(t)$&nbsp; provides additional &nbsp;"scrambling",&nbsp; but does not cause further band spreading.&nbsp;
  
Download des Programms CDMA  (ZIP–Version)
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*The rectangular duration of &nbsp;$w(t)$&nbsp; is exactly as large &nbsp;$(T_c)$&nbsp; as the rectangular duration of &nbsp;$c(t)$.&nbsp; &nbsp;$T_c$&nbsp; is called the&nbsp; "chip duration".
  
Download der Versuchsanleitung zu CDMA  (PDF–Version)  
+
*Without band spreading and scrambling&nbsp; $($or with &nbsp;$J = 1)$,&nbsp; the transmission chain corresponds to &nbsp;[[Modulation_Methods/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK modulation]].&nbsp;
  
==Systemkonfigurationen mit minimaler Fehlerwahrscheinlichkeit==
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*The matched filter is implemented by the &nbsp;[[Digital_Signal_Transmission/Error_Probability_for_Baseband_Transmission#Optimal_binary_receiver_.E2.80.93_.22Integrate_.26_Dump.22_realization|"Integrate & Dump"]]&nbsp; variant,&nbsp; so it is an optimal system.
Die nachfolgende Grafik zeigt als durchgezogene blaue Kurve die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei BPSK in Abhängigkeit des logarithmierten AWGN–Parameters $E_{\rm B}/N_0$ (Signalenergie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte). Es gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion $Q(x)$:
 
$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left (    \sqrt{{2E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
 
  
Beispielsweise ergibt sich für 10 · lg $(E_{\rm B}/N_0) =$ 8 dB näherungsweise $p_{\rm B} = \rm 2 · 10^{–4}$.  
+
*With &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$,&nbsp; the &nbsp;[[Modulation_Methods/Quality_Criteria#Some_remarks_on_the_AWGN_channel_model|AWGN channel model]]&nbsp; is obtained with the Gaussian distributed noise signal &nbsp;$n(t)$&nbsp; and the AWGN parameter &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$.&nbsp;
  
 +
*The additional interference component&nbsp; $i(t)$&nbsp; summarizes the &nbsp;"interferences from other users".
  
[[File:P_ID1894__Mod_T_5_4_S2_neu.png | Fehlerwahrscheinlichkeitskurven beim AWGN–Kanal]]
+
*In the case of a &nbsp;[[Examples_of_Communication_Systems/General_Description_of_UMTS#Properties_of_the_UMTS_radio_channel|multipath channel]] &nbsp; (one main path and one or more secondary paths),&nbsp; the resulting intersymbol interference can be reduced by using a&nbsp;[[Modulation_Methods/Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation#Examinations_of_the_rake_receiver|"rake receiver"]].&nbsp;
  
  
Den gleichen minimalen Wert liefert eine Simulation (rote Punkte) unter folgenden Bedingungen:  
+
==System configurations for minimum error probability==
*die PN–Modulation, egal ob mit einer M–Sequenz oder mit einer Walsh–Funktion, bei beliebigem Spreizgrad $J$, falls nur ein Teilnehmer aktiv ist,
+
<br>
*der synchrone CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen, auch wenn im gleichen Frequenzband andere Nutzer (maximal $J$ –1) aktiv sind,
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S2.png|right|frame| Bit error probability curves for the AWGN channel]]
*in beiden Fällen nur zutreffend beim AWGN–Kanal. Da hier keine Impulsinterferenzen auftreten, kann auch auf den RAKE–Empfänger verzichtet werden.  
+
The diagram shows the bit error probability at BPSK as a function of the logarithmized AWGN parameter &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$ &nbsp; (signal energy per bit related to the noise power density) &nbsp; as a solid blue curve.&nbsp; With the&nbsp; [[Applets:Complementary_Gaussian_Error_Functions|complementary Gaussian error function]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$:
 +
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2\cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
  
==Zwei Teilnehmer mit M–Sequenz–Spreizung==
+
For example,&nbsp; with &nbsp;$10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$&nbsp; the bit error probability is &nbsp;$p_{\rm B} \approx \rm 2 · 10^{–4}$.&nbsp; The same minimum value is provided by a system simulation&nbsp; (red dots)&nbsp; under the following conditions:
Wir betrachten den störenden Einfluss eines zweiten Teilnehmers auf die Fehlerwahrscheinlichkeit von Teilnehmer 1. Die Spreizung erfolgt mittels M–Sequenzen, die im Gegensatz zu den Walsh–Funktionen nicht zueinander orthogonal sind. Weiter gilt: Spreizfaktor $J =$ 15, Oktalkennungen (23) und (31).  
+
#&nbsp; PN modulation,&nbsp; whether with an&nbsp; "M-sequence"&nbsp; or with a&nbsp; "Walsh function",&nbsp; at any spreading factor&nbsp; $J$,&nbsp; if only one user is active.
 +
#&nbsp; Synchronous CDMA operation with Walsh functions,&nbsp; even if other users&nbsp; $($maximum&nbsp; $J -1)$&nbsp; are active in the same frequency band.
 +
#&nbsp; The rake receiver can be dispensed with,&nbsp; since no intersymbol interference occurs with the AWGN channel.
  
 +
==Two users with M-sequence spreading==
 +
<br>
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We consider the disturbing influence of a second&nbsp; (clock-synchronous)&nbsp; user on the error probability of user 1.
  
[[File:P_ID1895__Mod_T_5_4_S3a_neu.png | Fehlerwahrscheinlichkeit bei Bandspreizung mit M–Sequenz]]
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S3a.png|right|frame| Bit error probability with band spreading&nbsp; $(J = 15)$&nbsp; with M-sequences]]
  
 +
*Spreading is done using M-sequences which,&nbsp; unlike Walsh functions,&nbsp; are not orthogonal to each other.
 +
*The spreading factor in each case is &nbsp;$J = 15$.&nbsp; Let the octal identifiers of the two PN spreading sequences involved be &nbsp;$(23)$&nbsp; and &nbsp;$(31)$.
  
*Bei nur einem Teilnehmer ergibt sich die blaue durchgezogene Kurve. Der zweite (taktsynchrone) Teilnehmer erhöht die Fehlerwahrscheinlichkeit gravierend, zum Beispiel für 10 · lg $E_{\rm B}/N_0 =$ 8 dB von $p_{\rm B} =$ 0.02%  auf $p_{\rm B} =$1.5%  (braune Markierungen, $τ =$ 0).
 
*Durch einen Phasenversatz der PN–Sequenzen gegeneinander um Vielfache der Chipdauer kann man beträchtliche Verbesserungen erzielen. Verschiebt man beispielsweise die PN–Sequenz (31) des interferierenden Teilnehmers um $τ = 2T_c$ nach rechts (rote Markierungen), so erhält man statt 1.5% Fehler nur mehr die Fehlerwahrscheinlichkeit 0.034%.
 
*Die Ergebnisse werden verständlich, wenn man die PKKF $φ_{23,31}(λT_c)$ zwischen den Sequenzen (23) und (31) betrachtet. Je kleiner der PKKF–Betrag ist, desto kleiner wird $p_{\rm B}$. Man könnte also auch die zweite PN–Sequenz um 6 oder 8 Chipdauern nach rechts oder um 5, 6 oder 7 nach links verschieben. In all diesen Fällen ist der PKKF–Betrag minimal gleich 1/15 (rote Punkte) im Vergleich zu $φ_{23, 31}(0) =$ 7/15, $φ_{23, 31}(T_c) =$ 3/15, $|φ_{23, 31}(3 T_c)| =$ 5/15.
 
  
:[[File:P_ID1896__Mod_T_5_4_S3b_ganz_neu.png | PKKF der PN–Sequenzen (23) und (31)]]
+
For example,&nbsp; from this diagram can be read:
  
==Asynchroner CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen==
+
*With only one user,&nbsp; it results in the blue solid curve.&nbsp;
In Abschnitt 2 dieses Kapitels wurde gezeigt, dass bei Verwendung von orthogonalen Walsh–Funktionen die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ auch bei Vorhandensein anderer CDMA–Teilnehmer gegenüber der BPSK–Vergleichskurve (System ohne Bandspreizung) nicht verändert wird, so lange alle Teilnehmer synchron arbeiten. Diese Voraussetzung ist im Mobilfunk im allgemeinen für den Downlink (der Sender ist eine Basisstation) erfüllt, nicht jedoch im Uplink (Sender sind viele mobile Endgeräte).
+
*The second user increases the error probability enormously:&nbsp;  At&nbsp; $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$&nbsp; from &nbsp;$p_{\rm B} = 2· 10^{–4} = 0.02\%$&nbsp;  to &nbsp;$p_{\rm B} =1.5\%$&nbsp;  $($brown markings, &nbsp;$τ = 0)$.
 +
*By phase-shifting the PN sequences with respect to each other by multiples of the chip duration,&nbsp; one can achieve large improvements.&nbsp;
 +
*For example,&nbsp; if the PN sequence &nbsp;$(31)$&nbsp; of the interfering user is shifted by &nbsp;$τ = 2T_c$&nbsp; to the right&nbsp; (red markings),&nbsp; instead of &nbsp;$p_{\rm B} =1.5\%$&nbsp; only &nbsp;$p_{\rm B} = 0.034\%$&nbsp; is obtained.
 +
<br clear=all>
 +
[[File:P_ID1896__Mod_T_5_4_S3b_ganz_neu.png |right|frame| PCCF of the PN sequences &nbsp;$(23)$&nbsp; and &nbsp;$(31)$]]
  
[[File:P_ID1897__Mod_T_5_4_S4_neu.png | Fehlerwahrscheinlichkeit bei asynchronem CDMA–Betrieb mit Walsh-Spreizfunktionen]]
+
<br>The results can be understood by considering the periodic cross-correlation function&nbsp; $\rm (PCCF)$ &nbsp; $φ_\text{23, 31}(λ \cdot T_c)$&nbsp; between the sequences &nbsp;$(23)$&nbsp; and &nbsp;$(31)$.&nbsp;
 +
*The smaller the PCCF amount at &nbsp;$\tau$,&nbsp; the smaller &nbsp;$p_{\rm B}$.
 +
*Thus,&nbsp; one could also shift the second PN sequence to the right by six or eight chip durations or to the left by five,&nbsp; six,&nbsp; or seven chip durations&nbsp; (red dots).
 +
*In all these cases,&nbsp;  the PCCF amount &nbsp;$|φ_\text{23, 31}(2 T_c)| = 1/15$&nbsp; is smaller compared to
 +
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(0)| = 7/15$&nbsp; (ochre dots),
 +
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(3 T_c)| = 5/15$&nbsp; (green dots), and
 +
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(T_c)| = 3/15$&nbsp; (purple dots).
 +
<br clear=all>
 +
==Asynchronous CDMA operation with Walsh functions==
 +
<br>
 +
On the page &nbsp;[[Modulation_Methods/Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation#System_configurations_for_minimum_error_probability|System configurations for minimum error probability]],&nbsp; it was shown that when orthogonal Walsh functions are used,&nbsp; the bit error probability &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; is not changed compared with the BPSK comparison curve&nbsp; (system without band spreading)&nbsp; even in the presence of other CDMA subscribers,&nbsp; as long as all subscribers operate synchronously.
  
 +
[[File:EN_Mod_T_5_4_S4neu.png|right|frame| Bit error probability for asynchronous CDMA operation with Walsh spreading functions ]]
 +
 +
*In mobile communications, this condition is generally fulfilled for the downlink&nbsp; (the transmitter is a single base station),
 +
*but not in the uplink&nbsp; (transmitters are many mobile terminals).
  
Die Grafik zeigt die Fehlerwahrscheinlichkeitskurven für den jeweils ungünstigsten Phasenversatz der Spreizfolgen von betrachtetem Teilnehmer und störendem Teilnehmer (jeweils $J =$ 16). Der erstere benutze dabei stets die Walsh–Funktion Nr. 15. Das Ergebnis kann wie folgt zusammengefasst werden:
 
*Benutzt der störende Teilnehmer die Walsh–Funktion Nr. 1, so macht sich ein Phasenversatz nicht negativ bemerkbar, da die PKKF $φ_{1, 15}(λ · T_c)$ für alle $λ$–Werte gleich 0 ist.
 
*Verwendet dagegen der zweite Teilnehmer die Walsh–Funktion Nr. 14 (oder eine andere ≥ 8), so ergibt sich durch einen Phasenversatz um eine Chipdauer eine enorme Verschlechterung. Es gilt zwar $φ_{14, 15}(0) =$ 0, aber für $λ =$ 1 hat diese PKKF mit $φ_{14, 15}(T_c) =$ 3/4 einen sehr großen Wert.
 
  
==Fehlerwahrscheinlichkeit bei Zweiwegekanal (1)==
+
The diagram shows bit error probability curves for the most unfavorable phase offset of the spreading sequences of the considered user and the interfering user,&nbsp; each with spreading factor &nbsp;$J = 16$.&nbsp; The first user always used Walsh function no.&nbsp; $15$.  
Für den Rest von Kapitel 5.4 setzen wir voraus, dass der Kanal neben dem AWGN–Rauschen noch eine Mehrwegekomponente enthält. Die Kanalimpulsantwort lautet:
 
$$h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) +  0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c)$$
 
Das heißt: Der Hauptpfad wird um den Faktor 0.8 gedämpft. Daneben gibt es ein Echo im Abstand $2T_c$ mit dem Gewicht 0.6. Die Grafik zeigt die Fehlerwahrscheinlichkeitskurve, wobei eine Bandspreizung mit $J =$ 16 durch Walsh–Funktionen vorausgesetzt wird. Interferenzen durch andere Nutzer treten nicht auf.  
 
  
 +
The result can be summarized as follows:
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*If the second participant uses the Walsh function no.&nbsp; $1$,&nbsp; a phase shift does not have a negative effect,&nbsp; since for all &nbsp;$λ$–values the PCCF &nbsp;$φ_\text{1, 15}(λ · T_c) = 0$.&nbsp;
 +
*On the other hand,&nbsp; if the second participant uses Walsh function no.&nbsp; $14$&nbsp; $($or any other with identification number greater than/equal to&nbsp; $8)$, a phase shift by one chip duration results in a huge degradation.
 +
*Although &nbsp;$φ_\text{14, 15}(\lambda=0) = 0$&nbsp; holds,&nbsp; for &nbsp;$λ = 1$&nbsp; this PCCF has a very large value with &nbsp;$φ_\text{14, 15}(T_c) = 3/4$.&nbsp;
  
[[File:P_ID1898__Mod_T_5_4_S5a_neu.png | CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal]]
 
  
 +
==Bit error probability for the two-way channel==
 +
<br>
 +
For the rest of this chapter&nbsp; "Error Probability of Direct-Sequence Spread Spectrum Modulation"&nbsp; we assume:
 +
*Walsh functions are used for band spreading. &nbsp; The spreading factor in each case is &nbsp;$J = 16$.&nbsp; In particular, we consider the functions:
 +
:$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(1)}\rangle  = 
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 +
:$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(2)}\rangle  = 
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 +
:$$ \langle w_\nu^{(12)}\rangle  = 
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 +
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Kurven zeigen folgende Sachverhalte:
+
*Only one subscriber is active at a time &nbsp; &rArr; &nbsp; interference from other users does not occur.
*Die Walsh–Funktion Nr. 2 (+ + – – + + – – ...) ist für den oben definierten Zweiwegekanalanal denkbar ungeeignet, da sich hier das bandgespreizte Signal $b(t)$ aufgrund des Echos im Abstand $2T_c$ nahezu auslöscht. Dies erkennt man auch am PAKF–Wert $φ_{22}(τ = 2T_c) =$ –1.  
+
*The channel contains a multipath component in addition to the AWGN noise: &nbsp; The main path is attenuated by a factor of &nbsp;$0.8$.&nbsp;
*Die Walsh–Funktion Nr. 1 (+ – + – + – + – ...) ist dagegen bei diesem Kanal sehr gut geeignet. Das Echosignal überlagert sich dem Signal auf dem Hauptfeld konstruktiv und $b(t)$ wird fast verdoppelt. Das sehr gute Ergebnis lässt sich durch den PAKF–Wert $φ_{11}(τ = 2T_c) =$ +1 erklären.
+
*In addition,&nbsp; there is an echo at a distance of &nbsp;$2T_c$&nbsp; with a weight of &nbsp;$0.6$.&nbsp; The channel impulse response in this case is:
*Für die Walsh–Funktion Nr. 12 gleichen sich die konstruktiven und destruktiven Überlagerungen nahezu aus, so dass die Fehlerwahrscheinlichkeit in etwa auf der BPSK–Kurve zu liegen kommt. Auch alle anderen Walsh–Funktionen liegen zwischen den braunen und gelben Grenzkurven.
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S5a_neu.png |right|frame| CDMA error probability with two-way channel]]
 +
:$$h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) +   0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c).$$
  
 +
The diagram shows bit error probability curves.&nbsp; These show:
 +
*The Walsh function no.&nbsp; $2$ &nbsp;(brown dots)&nbsp; is conceivably unsuitable for the two-way channel defined above,&nbsp; since here the band spreading signal &nbsp;$b(t)$&nbsp; almost cancels itself out due to the echo at the distance &nbsp;$2T_c$.&nbsp;&nbsp; This can also be seen from the PACF value &nbsp;$φ_{22}(τ = 2T_c) = -1$.
 +
*The Walsh function no.&nbsp; $1$ &nbsp;(yellow dots)&nbsp; is very well suited for this channel.&nbsp; The echo signal is constructively superimposed on the signal on the main path and &nbsp;$b(t)$&nbsp; is almost doubled.&nbsp; The good result can be explained by the PACF value &nbsp;$φ_{11}(τ = 2T_c) = +1$.&nbsp;
 +
*With Walsh function no.&nbsp; $12$  &nbsp;(red dots),&nbsp; the constructive and destructive superpositions almost balance out,&nbsp; so that the error probability is approximately on the BPSK curve.&nbsp; All other Walsh functions also lie between the brown and yellow boundary curves.
  
Da aber ein Netzbetreiber für alle Teilnehmer gleiche Bedingungen bereitstellen muss und sich die Grafik ausschließlich auf den oben angegebenen Kanal bezieht (zum Beispiel ist bei einer Echoverzögerung um $T_c$ die Walsh–Funktion Nr. 2 deutlich besser als Nr. 1), ist die hier betrachtete Konfiguration für den praktischen Betrieb ungeeignet. Nachfolgend wird gezeigt, wie man für alle Teilnehmer annähernd gleiche Bedingungen schaffen kann.
 
  
==Fehlerwahrscheinlichkeit bei Zweiwegekanal (2)==
 
Eine Möglichkeit, die Qualität für die einzelnen Benutzer (unterschiedliche Walsh–Funktionen, hier alle mit Spreizfaktor $J =$ 16) auch beim Zweiwegekanal zu egalisieren, bietet die zusätzliche Verwürfelung mit $w(t)$ entsprechend dem vorne gezeigten Blockschaltbild. Für die folgende Grafik ist für jeden Benutzer eine zusätzliche M–Sequenz der Periodenlänge $P =$ 63 (Grad $G =$ 6) vorausgesetzt.
 
  
  
[[File:P_ID1899__Mod_T_5_4_S5b_neu.png | CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeit, Zweiwegekanal, zusätzliche Verwürfelung]]
+
{{BlaueBox||TEXT=
 +
$\text{Conclusion:}$&nbsp;
 +
*The user with Walsh function no.&nbsp; $1$&nbsp; has significantly better conditions than the user with Walsh function no.&nbsp; $2$&nbsp; at the considered channel with echo delay &nbsp;$2 \cdot T_c$.&nbsp;
 +
*For a channel with echo delay &nbsp;$T_c$&nbsp; the user with Walsh function no.&nbsp; $2$&nbsp; would have significantly better conditions than the user with Walsh function no.&nbsp; $1$.
 +
* However,&nbsp; since a network operator must provide the same conditions for all users with any channel, this configuration is unsuitable for practical operation.
 +
*In the following,&nbsp; ungeeignet. it is shown how to provide approximately equal conditions for all subscribers.}}
  
  
Zu dieser Darstellung ist anzumerken:  
+
==Influence of additional scrambling of the spreading sequence==
*Die eingezeichneten Punkte gelten für die Walsh–Funktion Nr. 12 als Spreizsignal $c(t)$ und eine zusätzliche Verwürfelung $w(t)$ durch die M–Sequenz mit Oktalkennung (163).
+
<br>
*Die Ergebnisse für andere Walsh–Funktionen, zum Beispiel Nr. 1 oder Nr. 2 unterscheiden sich dem gegenüber innerhalb der Zeichengenauigkeit nur unwesentlich.
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S5b_neu.png|right|frame | CDMA error probability with two-way channel,&nbsp; additional scrambling ]]
*Gegenüber dem reinen AWGN–Kanal (blaue Vergleichskurve) ergibt sich beim betrachteten Zweiwegekanal mit den Koeffizienten 0.8 und 0.6 eine Degradation von etwa 2 bis 3 dB.  
+
One way to equalize the quality for the individual subscribers even for the two-way channel is to add scrambling with &nbsp;$w(t)$&nbsp; according to the &nbsp;[[Modulation_Methods/Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation#The_IS-95_CDMA_system|block diagram]]&nbsp; shown at the front.&nbsp; For the diagram shown on the right it is assumed:
 +
*The participating subscribers use different Walsh functions for band spreading,&nbsp; all with spreading factor &nbsp;$J = 16$.
 +
*Each user is additionally scrambled by an M-sequence of period length &nbsp;$P = 63$&nbsp; $($register degree &nbsp;$G = 6)$.&nbsp;
 +
*The plotted points apply to Walsh function no.&nbsp; $12$&nbsp; as spreading signal &nbsp;$c(t)$&nbsp; and scrambling &nbsp;$w(t)$&nbsp; by the M-sequence with octal identifier &nbsp;$\rm (163)_{octal}$.  
  
==Untersuchungen zum RAKE–Empfänger==
 
Betrachten wir abschließend die Verbesserung durch die Verwendung eines RAKE–Empfängers, die durch die nachfolgende Grafik verdeutlicht wird. Damit wird beispielsweise für 10 · lg $E_{\rm B}/N_0 =$ 8 dB die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von $\rm 6 · 10^{–3}$ auf $\rm 5 · 10^{–4}$ herabgesetzt.
 
  
 +
Compared with the pure AWGN channel,&nbsp; the two-way channel considered with coefficients &nbsp;$0.8$&nbsp; and &nbsp;$0.6$&nbsp; gives a degradation of about &nbsp;$2 \ \rm dB$ to $3 \ \rm dB$ &nbsp; &rArr; &nbsp; horizontal distance between the plotted points and the blue comparison curve.
  
[[File:P_ID1900__Mod_T_5_4_S6a_neu.png | CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeitskurven mit und ohne RAKE–Empfänger]]
+
'''Note:''' &nbsp; The results for other Walsh functions, e.g. no.&nbsp; $1$&nbsp; or no.&nbsp; $2$&nbsp; differ only insignificantly from this diagram&nbsp; $($valid for Walsh function no.&nbsp; $12)$&nbsp; within the character accuracy.
 +
<br clear =all>
 +
{{BlaueBox||TEXT=
 +
$\text{Conclusion:}$&nbsp;
 +
*The additional scrambling with &nbsp;$w(t)$&nbsp; serves only to create equal conditions for all participants in a channel with echo distortions.
 +
*Thus,&nbsp; $w(t)$&nbsp; does not cause any additional band spreading.
  
  
Der Grund für diese Verbesserung ist die kleinere Varianz ${σ_d}^2$ der Detektionsnutzabtastwerte, wie aus den rechts skizzierten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_d(d)$ hervorgeht (gültig für $E_{\rm B}/N_0 =$ 8 dB). Das kleinere $σ_d$ ist allein darauf zurückzuführen, dass der RAKE–Empfänger die Impulsinterferenzen bekämpft. Der Anteil des AWGN–Rauschens $n(t)$ an der Gesamtvarianz ${σ_d}^2$ (der zweite Anteil ist auf die Impulsinterferenzen zurückzuführen) hängt allein von der Abszisse $(E_{\rm B}/N_0)$ ab und ist mit und ohne RAKE gleich groß.
+
All participants thus experience the same degradation due to an echo,&nbsp; compared to the ideal channel.&nbsp; Otherwise&nbsp; (without this scrambling),&nbsp; the customers with poor conditions would complain to the operator and possibly claim recourse,&nbsp; while the other customers would accept the constructive echo overlay,&nbsp; which is favorable to them,&nbsp; perhaps delightedly but surely tacitly.}}  
  
Anzumerken ist, dass für dieses Diagramm die genau gleichen Voraussetzungen gelten wie für die Grafik im letzten Abschnitt:
 
*Bandspreizung mit $J =$ 16 und Walsh–Funktion Nr. 12,
 
*zusätzliche Verwürfelung durch die M–Sequenz $\rm (163)_{oktal}$,
 
*Zweiwegekanal mit $h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t – 2T_c)$.
 
  
 +
==Examinations of the rake receiver==
 +
<br>
 +
Finally,&nbsp; let us consider the improvement by using a rake receiver,&nbsp; which is illustrated by the following diagram.&nbsp; For example,&nbsp; for &nbsp;$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$ &nbsp; this reduces the bit error probability from &nbsp;$\rm 6 · 10^{–3}$&nbsp; to &nbsp;$\rm 5 · 10^{-4}$.
  
Das Prinzip des RAKE–Empfängers wird im nächsten Abschnitt verdeutlicht.  
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S6a_neu.png|right|frame  |CDMA error probability curves with and without rake receiver]]
  
==Untersuchungen zum RAKE–Empfänger (2)==
+
Note that the exact same assumptions apply to this diagram as to the&nbsp; [[Modulation_Methods/Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation#Influence_of_additional_scrambling_of_the_spreading_sequence|diagram in the last section]]:
Das RAKE–Prinzip wird durch die nachfolgende Grafik verdeutlicht. Der Zweiwegekanal besteht aus
+
*Band spreading with &nbsp;$J =16$&nbsp; and Walsh function no.&nbsp; $12$,
*dem direkten Pfad mit Verzögerungszeit $τ_0$ und Gewicht $h_0$,  
+
*additional scrambling by the M-sequence no. &nbsp;$\rm (163)_{octal}$,
*einem Echo mit Verzögerung $τ_1 > τ_0$ und Gewicht $h_1$.  
+
*two-way channel with &nbsp; $h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t - 2T_c)$,
 +
*SNR: &nbsp; $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$.  
  
  
Beide Amplitudenkoeffizienten seien reell. Als Normierungsbedingung gelte ${h_0}^2 + {h_1}^2 =$ 1.  
+
The reason for this improvement is the smaller variance &nbsp;${σ_d}^2$&nbsp; of the detection signal samples,&nbsp; as can be seen from the probability density functions &nbsp;$f_d(d)$&nbsp; shown on the right.&nbsp; Here, &nbsp;${σ_d}^2 = {σ_{\rm I}}^2 + {σ_{\rm N}}^2$&nbsp; is composed of two components:
 +
*The fraction &nbsp;${σ_{\rm N}}^2$&nbsp; of the AWGN noise &nbsp;$n(t)$&nbsp; in the total variance &nbsp;${σ_d}^2$&nbsp; depends solely on the abscissa &nbsp;$(E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; and is the same with and without rake.
 +
*The smaller &nbsp;$σ_d^2$&nbsp; with rake is solely due to the fact that the rake receiver combats the intersymbol interference.&nbsp; Thus, &nbsp;${σ_{\rm I}}^2$&nbsp; is not zero for the (red) receiver with rake, but it is significantly smaller than for the (black) receiver without rake.
  
  
[[File:P_ID1901__Mod_T_5_4_S6b_neu.png | Zweiwegekanal und zugehöriger RAKE–Empfänger]]
 
  
 +
==Principle of the rake receiver==
 +
<br>
 +
[[File:EN_Mod_T_5_4_S6b.png |right|frame| Two-way channel and associated rake receiver]]
 +
The rake principle is illustrated by the diagram.&nbsp; The two-way channel consists of
  
Aufgabe des RAKE–Empfängers ist es, die Signalenergien der beiden Pfade (im allgemeinen: aller Pfade) auf einen einzigen Zeitpunkt zu konzentrieren. Er arbeitet demnach wie eine ''Harke'' für den Garten, was auch die deutsche Übersetzung für „RAKE” ist.  
+
*the direct path with delay time &nbsp;$τ_0$&nbsp; and weight &nbsp;$h_0$,  
 +
*an echo with delay &nbsp;$τ_1 > τ_0$&nbsp; and weight &nbsp;$h_1$.  
  
Legt man einen Diracimpuls zur Zeit $t =$ 0 an den Kanaleingang an  ⇒  $s(t) = δ(t)$, so gibt es am Ausgang des RAKE–Empfängers drei Diracimpulse entsprechend der Gleichung
 
$$b(t) = h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0) + (h_0^2 +  h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) +
 
h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
 
Die Signalenergie konzentriert sich im Ausgangssignal auf den Zeitpunkt $τ_0 + τ_1$. Von den insgesamt vier Wegen tragen zwei dazu bei. Die Diracfunktionen bei $2τ_0$ und $2τ_1$ bewirken zwar Impulsinterferenzen. Ihre Gewichte $(h_0 · h_1)$ sind aber deutlich kleiner als das Gewicht des Hauptpfades $({h_0}^2 + {h_1}^2)$.
 
  
 +
Let both amplitude coefficients be real.&nbsp; As a normalization condition is valid in the following:
 +
:$${h_0}^2 + {h_1}^2 = 1.$$
  
{{Beispiel}}
+
The task of the rake receiver is to concentrate the signal energies of the two paths&nbsp; (in general: &nbsp; of all paths)&nbsp; to a single point in time.&nbsp; It therefore works like a&nbsp; "rake"&nbsp; for the garden.  
Mit den Kanalparametern $h_0 =$ 0.8 und $h_1 =$ 0.6 beinhaltet der Hauptpfad des Kanals (mit Gewicht $h_0$) nur $\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$ der gesamten Signalenergie. Mit RAKE–Empfänger und den gleichen Gewichten lautet die obige Gleichung
 
$$b(t) =0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0) + 1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) +
 
0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
 
Der Anteil des Hauptpfades an der Gesamtenergie beträgt nun $\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$.  
 
{{end}}
 
  
 +
If one applies a Dirac delta pulse at time &nbsp;$t = 0$&nbsp; to the channel input &nbsp;  ⇒ &nbsp;  $s(t) = δ(t)$,&nbsp; there are three Dirac delta pulses at the output of the rake receiver:
 +
:$$b(t) = \big [ h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [(h_0^2 +  h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) \big ]+
 +
\big [h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
 +
*The signal energy is concentrated in the output signal at time &nbsp;$τ_0 + τ_1$,&nbsp; and two of the total four paths contribute to this.
 +
*The Dirac delta functions at &nbsp;$2τ_0$&nbsp; and &nbsp;$2τ_1$&nbsp; do cause intersymbol interference.
 +
*However,&nbsp;  their weights &nbsp;$(h_0 · h_1)$&nbsp; are much smaller than the weight of the main path &nbsp;$({h_0}^2 + {h_1}^2)$.
 +
 +
 +
{{GraueBox|TEXT=
 +
$\text{Example 1:}$&nbsp;
 +
*With parameter values &nbsp;$h_0 = 0.8$&nbsp; and &nbsp;$h_1 = 0.6$,&nbsp; the main path&nbsp;  $($with weight &nbsp;$h_0)$&nbsp; contains only &nbsp;$\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$&nbsp; of the total signal energy.
 +
*With rake receiver and the same weights the above equation is
 +
:$$b(t) = \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1)\big ] +
 +
\big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1)\big ] \hspace{0.05cm}.$$
 +
*The contribution of the main path to the total energy is now &nbsp;$\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$,&nbsp; slightly larger than without rake. }}
 +
 +
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
$\text{Conclusion:}$&nbsp;
 +
*Rake receivers are preferred for implementation in mobile devices,&nbsp; but have limited performance with many active subscribers.
 +
*In a multipath channel with many &nbsp;$(M)$&nbsp; paths,&nbsp; the rake also has&nbsp; $M$&nbsp; fingers.
 +
*The main finger&nbsp; (called the&nbsp; "searcher")&nbsp;  is responsible for identifying and classifying the individual paths of multiple propagation in most mobile radio systems. }}
 +
 +
 +
==Exercises for the chapter==
 +
<br>
 +
[[Aufgaben:Exercise_5.5:_Multi-User_Interference|Exercise 5.5: Multi-User Interference]]
 +
 +
[[Aufgaben:Exercise_5.5Z:_About_the_Rake_Receiver|Exercise 5.5Z: About the Rake Receiver]]
  
RAKE–Empfänger werden zur Implementierung in mobilen Geräten bevorzugt, haben aber bei vielen aktiven Teilnehmern nur eine begrenzte Leistungsfähigkeit. Bei einem Mehrwegekanal mit vielen ( $M$) Pfaden hat auch der RAKE $M$ Finger. Der Hauptfinger (''Main Finger'') – auch ''Searcher'' genannt – ist bei den meisten Mobilfunksystemen dafür verantwortlich, die individuellen Pfade der Mehrfachausbreitung zu identifizieren und einzuordnen.
 
  
==Quellenverzeichnis==
 
<references/>
 
  
 
{{Display}}
 
{{Display}}

Revision as of 15:00, 9 April 2022

The IS-95 CDMA system


The properties of PN modulation are now given using the example of the American mobile radio standard  IS–95,  which has resulted from the work of  Qualcomm Inc.  and in particular of  Andrew J. Viterbi.   In a somewhat simplified representation – without convolutional encoder,  interleaver and de-interleaver as well as the Viterbi decoder at the receiver - the following block diagram results.  The following statements are valid:

Considered block diagram for this chapter
  • The spreading signal  $c(t)$  causes  "band spreading"  by the spreading factor  $J$,  with Walsh functions  or  M–Sequences.   
  • "Band compression"  at the receiver uses the same spreading sequence in a phase-synchronous manner.
  • The additional  $±1$ signal  $w(t)$  provides additional  "scrambling",  but does not cause further band spreading. 
  • The rectangular duration of  $w(t)$  is exactly as large  $(T_c)$  as the rectangular duration of  $c(t)$.   $T_c$  is called the  "chip duration".
  • Without band spreading and scrambling  $($or with  $J = 1)$,  the transmission chain corresponds to  BPSK modulation
  • The matched filter is implemented by the  "Integrate & Dump"  variant,  so it is an optimal system.
  • With  $H_{\rm K}(f) = 1$,  the  AWGN channel model  is obtained with the Gaussian distributed noise signal  $n(t)$  and the AWGN parameter  $E_{\rm B}/N_0$. 
  • The additional interference component  $i(t)$  summarizes the  "interferences from other users".
  • In the case of a  multipath channel   (one main path and one or more secondary paths),  the resulting intersymbol interference can be reduced by using a "rake receiver"


System configurations for minimum error probability


Bit error probability curves for the AWGN channel

The diagram shows the bit error probability at BPSK as a function of the logarithmized AWGN parameter  $E_{\rm B}/N_0$   (signal energy per bit related to the noise power density)   as a solid blue curve.  With the  complementary Gaussian error function  ${\rm Q}(x)$:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2\cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

For example,  with  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$  the bit error probability is  $p_{\rm B} \approx \rm 2 · 10^{–4}$.  The same minimum value is provided by a system simulation  (red dots)  under the following conditions:

  1.   PN modulation,  whether with an  "M-sequence"  or with a  "Walsh function",  at any spreading factor  $J$,  if only one user is active.
  2.   Synchronous CDMA operation with Walsh functions,  even if other users  $($maximum  $J -1)$  are active in the same frequency band.
  3.   The rake receiver can be dispensed with,  since no intersymbol interference occurs with the AWGN channel.

Two users with M-sequence spreading


We consider the disturbing influence of a second  (clock-synchronous)  user on the error probability of user 1.

Bit error probability with band spreading  $(J = 15)$  with M-sequences
  • Spreading is done using M-sequences which,  unlike Walsh functions,  are not orthogonal to each other.
  • The spreading factor in each case is  $J = 15$.  Let the octal identifiers of the two PN spreading sequences involved be  $(23)$  and  $(31)$.


For example,  from this diagram can be read:

  • With only one user,  it results in the blue solid curve. 
  • The second user increases the error probability enormously:  At  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$  from  $p_{\rm B} = 2· 10^{–4} = 0.02\%$  to  $p_{\rm B} =1.5\%$  $($brown markings,  $τ = 0)$.
  • By phase-shifting the PN sequences with respect to each other by multiples of the chip duration,  one can achieve large improvements. 
  • For example,  if the PN sequence  $(31)$  of the interfering user is shifted by  $τ = 2T_c$  to the right  (red markings),  instead of  $p_{\rm B} =1.5\%$  only  $p_{\rm B} = 0.034\%$  is obtained.


PCCF of the PN sequences  $(23)$  and  $(31)$


The results can be understood by considering the periodic cross-correlation function  $\rm (PCCF)$   $φ_\text{23, 31}(λ \cdot T_c)$  between the sequences  $(23)$  and  $(31)$. 

  • The smaller the PCCF amount at  $\tau$,  the smaller  $p_{\rm B}$.
  • Thus,  one could also shift the second PN sequence to the right by six or eight chip durations or to the left by five,  six,  or seven chip durations  (red dots).
  • In all these cases,  the PCCF amount  $|φ_\text{23, 31}(2 T_c)| = 1/15$  is smaller compared to
  1. $\ \ |φ_\text{23, 31}(0)| = 7/15$  (ochre dots),
  2. $\ \ |φ_\text{23, 31}(3 T_c)| = 5/15$  (green dots), and
  3. $\ \ |φ_\text{23, 31}(T_c)| = 3/15$  (purple dots).


Asynchronous CDMA operation with Walsh functions


On the page  System configurations for minimum error probability,  it was shown that when orthogonal Walsh functions are used,  the bit error probability  $p_{\rm B}$  is not changed compared with the BPSK comparison curve  (system without band spreading)  even in the presence of other CDMA subscribers,  as long as all subscribers operate synchronously.

Bit error probability for asynchronous CDMA operation with Walsh spreading functions
  • In mobile communications, this condition is generally fulfilled for the downlink  (the transmitter is a single base station),
  • but not in the uplink  (transmitters are many mobile terminals).


The diagram shows bit error probability curves for the most unfavorable phase offset of the spreading sequences of the considered user and the interfering user,  each with spreading factor  $J = 16$.  The first user always used Walsh function no.  $15$.

The result can be summarized as follows:

  • If the second participant uses the Walsh function no.  $1$,  a phase shift does not have a negative effect,  since for all  $λ$–values the PCCF  $φ_\text{1, 15}(λ · T_c) = 0$. 
  • On the other hand,  if the second participant uses Walsh function no.  $14$  $($or any other with identification number greater than/equal to  $8)$, a phase shift by one chip duration results in a huge degradation.
  • Although  $φ_\text{14, 15}(\lambda=0) = 0$  holds,  for  $λ = 1$  this PCCF has a very large value with  $φ_\text{14, 15}(T_c) = 3/4$. 


Bit error probability for the two-way channel


For the rest of this chapter  "Error Probability of Direct-Sequence Spread Spectrum Modulation"  we assume:

  • Walsh functions are used for band spreading.   The spreading factor in each case is  $J = 16$.  In particular, we consider the functions:
$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$ \langle w_\nu^{(12)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
  • Only one subscriber is active at a time   ⇒   interference from other users does not occur.
  • The channel contains a multipath component in addition to the AWGN noise:   The main path is attenuated by a factor of  $0.8$. 
  • In addition,  there is an echo at a distance of  $2T_c$  with a weight of  $0.6$.  The channel impulse response in this case is:
CDMA error probability with two-way channel
$$h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) + 0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c).$$

The diagram shows bit error probability curves.  These show:

  • The Walsh function no.  $2$  (brown dots)  is conceivably unsuitable for the two-way channel defined above,  since here the band spreading signal  $b(t)$  almost cancels itself out due to the echo at the distance  $2T_c$.   This can also be seen from the PACF value  $φ_{22}(τ = 2T_c) = -1$.
  • The Walsh function no.  $1$  (yellow dots)  is very well suited for this channel.  The echo signal is constructively superimposed on the signal on the main path and  $b(t)$  is almost doubled.  The good result can be explained by the PACF value  $φ_{11}(τ = 2T_c) = +1$. 
  • With Walsh function no.  $12$  (red dots),  the constructive and destructive superpositions almost balance out,  so that the error probability is approximately on the BPSK curve.  All other Walsh functions also lie between the brown and yellow boundary curves.



$\text{Conclusion:}$ 

  • The user with Walsh function no.  $1$  has significantly better conditions than the user with Walsh function no.  $2$  at the considered channel with echo delay  $2 \cdot T_c$. 
  • For a channel with echo delay  $T_c$  the user with Walsh function no.  $2$  would have significantly better conditions than the user with Walsh function no.  $1$.
  • However,  since a network operator must provide the same conditions for all users with any channel, this configuration is unsuitable for practical operation.
  • In the following,  ungeeignet. it is shown how to provide approximately equal conditions for all subscribers.


Influence of additional scrambling of the spreading sequence


CDMA error probability with two-way channel,  additional scrambling

One way to equalize the quality for the individual subscribers even for the two-way channel is to add scrambling with  $w(t)$  according to the  block diagram  shown at the front.  For the diagram shown on the right it is assumed:

  • The participating subscribers use different Walsh functions for band spreading,  all with spreading factor  $J = 16$.
  • Each user is additionally scrambled by an M-sequence of period length  $P = 63$  $($register degree  $G = 6)$. 
  • The plotted points apply to Walsh function no.  $12$  as spreading signal  $c(t)$  and scrambling  $w(t)$  by the M-sequence with octal identifier  $\rm (163)_{octal}$.


Compared with the pure AWGN channel,  the two-way channel considered with coefficients  $0.8$  and  $0.6$  gives a degradation of about  $2 \ \rm dB$ to $3 \ \rm dB$   ⇒   horizontal distance between the plotted points and the blue comparison curve.

Note:   The results for other Walsh functions, e.g. no.  $1$  or no.  $2$  differ only insignificantly from this diagram  $($valid for Walsh function no.  $12)$  within the character accuracy.

$\text{Conclusion:}$ 

  • The additional scrambling with  $w(t)$  serves only to create equal conditions for all participants in a channel with echo distortions.
  • Thus,  $w(t)$  does not cause any additional band spreading.


All participants thus experience the same degradation due to an echo,  compared to the ideal channel.  Otherwise  (without this scrambling),  the customers with poor conditions would complain to the operator and possibly claim recourse,  while the other customers would accept the constructive echo overlay,  which is favorable to them,  perhaps delightedly but surely tacitly.


Examinations of the rake receiver


Finally,  let us consider the improvement by using a rake receiver,  which is illustrated by the following diagram.  For example,  for  $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$   this reduces the bit error probability from  $\rm 6 · 10^{–3}$  to  $\rm 5 · 10^{-4}$.

CDMA error probability curves with and without rake receiver

Note that the exact same assumptions apply to this diagram as to the  diagram in the last section:

  • Band spreading with  $J =16$  and Walsh function no.  $12$,
  • additional scrambling by the M-sequence no.  $\rm (163)_{octal}$,
  • two-way channel with   $h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t - 2T_c)$,
  • SNR:   $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$.


The reason for this improvement is the smaller variance  ${σ_d}^2$  of the detection signal samples,  as can be seen from the probability density functions  $f_d(d)$  shown on the right.  Here,  ${σ_d}^2 = {σ_{\rm I}}^2 + {σ_{\rm N}}^2$  is composed of two components:

  • The fraction  ${σ_{\rm N}}^2$  of the AWGN noise  $n(t)$  in the total variance  ${σ_d}^2$  depends solely on the abscissa  $(E_{\rm B}/N_0)$  and is the same with and without rake.
  • The smaller  $σ_d^2$  with rake is solely due to the fact that the rake receiver combats the intersymbol interference.  Thus,  ${σ_{\rm I}}^2$  is not zero for the (red) receiver with rake, but it is significantly smaller than for the (black) receiver without rake.


Principle of the rake receiver


Two-way channel and associated rake receiver

The rake principle is illustrated by the diagram.  The two-way channel consists of

  • the direct path with delay time  $τ_0$  and weight  $h_0$,
  • an echo with delay  $τ_1 > τ_0$  and weight  $h_1$.


Let both amplitude coefficients be real.  As a normalization condition is valid in the following:

$${h_0}^2 + {h_1}^2 = 1.$$

The task of the rake receiver is to concentrate the signal energies of the two paths  (in general:   of all paths)  to a single point in time.  It therefore works like a  "rake"  for the garden.

If one applies a Dirac delta pulse at time  $t = 0$  to the channel input   ⇒   $s(t) = δ(t)$,  there are three Dirac delta pulses at the output of the rake receiver:

$$b(t) = \big [ h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [(h_0^2 + h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) \big ]+ \big [h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • The signal energy is concentrated in the output signal at time  $τ_0 + τ_1$,  and two of the total four paths contribute to this.
  • The Dirac delta functions at  $2τ_0$  and  $2τ_1$  do cause intersymbol interference.
  • However,  their weights  $(h_0 · h_1)$  are much smaller than the weight of the main path  $({h_0}^2 + {h_1}^2)$.


$\text{Example 1:}$ 

  • With parameter values  $h_0 = 0.8$  and  $h_1 = 0.6$,  the main path  $($with weight  $h_0)$  contains only  $\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$  of the total signal energy.
  • With rake receiver and the same weights the above equation is
$$b(t) = \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1)\big ] + \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1)\big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • The contribution of the main path to the total energy is now  $\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$,  slightly larger than without rake.


$\text{Conclusion:}$ 

  • Rake receivers are preferred for implementation in mobile devices,  but have limited performance with many active subscribers.
  • In a multipath channel with many  $(M)$  paths,  the rake also has  $M$  fingers.
  • The main finger  (called the  "searcher")  is responsible for identifying and classifying the individual paths of multiple propagation in most mobile radio systems.


Exercises for the chapter


Exercise 5.5: Multi-User Interference

Exercise 5.5Z: About the Rake Receiver