Difference between revisions of "Modulation Methods/Error Probability of Direct-Sequence Spread Spectrum Modulation"

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{{Header
 
{{Header
|Untermenü=Vielfachzugriffsverfahren
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|Untermenü=Multiple Access Methods
|Vorherige Seite=Spreizfolgen für CDMA
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|Vorherige Seite=Spreading Sequences for CDMA
|Nächste Seite=Allgemeine Beschreibung von OFDM
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|Nächste Seite=General Description of OFDM
 
}}
 
}}
==Das CDMA–System IS–95==
+
==The IS-95 CDMA system==
 
<br>
 
<br>
Die Eigenschaften der PN–Modulation sollen nun am Beispiel des amerikanischen Mobilfunkstandards [https://en.wikipedia.org/wiki/CdmaOne IS–95], der sich aus den Arbeiten der Fa. [https://de.wikipedia.org/wiki/Qualcomm Qualcomm Inc.] und insbesondere von [https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_J._Viterbi Andrew J. Viterbi] ergeben hat, quantitativ angegeben werden. In etwas vereinfachter Darstellung ohne Faltungscodierer, Interleaver und De–Interleaver sowie dem Viterbi–Decoder beim Empfänger – ergibt sich das folgende Blockschaltbild.  
+
The properties of PN modulation are now given using the example of the American mobile radio standard &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/CdmaOne IS–95],&nbsp; which has resulted from the work of &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Qualcomm Qualcomm Inc.]&nbsp; and in particular of &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Andrew_Viterbi Andrew J. Viterbi].&nbsp;&nbsp; In a somewhat simplified representation without convolutional encoder,&nbsp; interleaver and de-interleaver as well as the Viterbi decoder at the receiver - the following block diagram results.&nbsp; The following statements are valid:
  
[[File:P_ID1893__Mod_T_5_4_S1_ganz_neu.png |center|frame| Betrachtetes Blockschaltbild für dieses Kapitel]]
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S1.png |right|frame| Considered block diagram for this chapter]]
  
Es gelten folgende Aussagen:
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*The spreading signal &nbsp;$c(t)$&nbsp; causes &nbsp;"band spreading"&nbsp; by the spreading factor &nbsp;$J$,&nbsp; with&nbsp;[[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Walsh_functions|Walsh functions]]&nbsp; or &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Pseudo-noise_sequences_of_maximum_length|M–Sequences]].&nbsp;  &nbsp;
*Das Spreizsignal $c(t)$ bewirkt eine ''Bandspreizung'' um den Spreizfaktor $J$, wobei auf den nächsten Seiten sowohl [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen|Walsh–Funktionen]] als auch [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Pseudo.E2.80.93Noise.E2.80.93Folgen_maximaler_L.C3.A4nge|M–Sequenzen]] betrachtet werden. Die ''Bandstauchung'' beim Empfänger benutzt phasensynchron die gleiche Spreizfolge.
 
*Das zusätzliche $±1$–Signal $w(t)$ ermöglicht eine zusätzliche ''Verwürfelung'', bewirkt jedoch keine weitere Bandspreizung. Die Rechteckdauer von $w(t)$ ist genau so groß wie die Rechteckdauer von $c(t)$. Man nennt $T_c$ die ''Chipdauer''.
 
*Ohne Bandspreizung und Verwürfelung (bzw. mit $J = 1$) entspricht die Übertragungskette der [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK–Modulation]]. Das Matched–Filter ist durch die Variante [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Optimaler_Bin.C3.A4rempf.C3.A4nger_.E2.80.93_Realisierungsform_.E2.80.9EIntegrate_.26_Dump.E2.80.9D|Integrate & Dump]] realisiert, so dass es sich um ein optimales System handelt.
 
*Mit $H_{\rm K}(f) = 1$ ergibt sich das [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN–Kanalmodell]] mit dem gaußverteilten Rauschsignal $n(t)$ und der AWGN–Kenngröße $E_{\rm B}/N_0$. Die zusätzliche Störkomponente $i(t)$ fasst die ''Interferenzen'' der anderen Teilnehmer zusammen.
 
*Bei einem [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#Eigenschaften_des_UMTS-Funkkanals|Mehrwegekanal]] (ein Hauptpfad und ein oder mehrere Nebenpfade) können die entstehenden Impulsinterferenzen durch den Einsatz eines [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|RAKE–Empfängers]] vermindert werden.
 
  
 +
*"Band compression"&nbsp; at the receiver uses the same spreading sequence in a phase-synchronous manner.
  
Alle nachfolgenden Ergebnisse wurden mit dem Simulationsprogramm „CDMA” ermittelt. Dieses wurde an der TU München im Praktikum „Simulation digitaler Übertragungssysteme” [Söd01]<ref>Söder, G.: ''Simulation digitaler Übertragungssysteme''. Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2001.</ref> eingesetzt. Dieser Versuch basiert auf
+
*The additional &nbsp;$±1$ signal &nbsp;$w(t)$&nbsp; provides additional &nbsp;"scrambling",&nbsp; but does not cause further band spreading.&nbsp;  
*der Lehrsoftware [http://en.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/CDMA.zip CDMA] &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und 
 
*der zugehörigen [http://en.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Code_Division_Multiple_Access.pdf Praktikumsanleitung]  &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die PDF-Version.
 
  
 +
*The rectangular duration of &nbsp;$w(t)$&nbsp; is exactly as large &nbsp;$(T_c)$&nbsp; as the rectangular duration of &nbsp;$c(t)$.&nbsp; &nbsp;$T_c$&nbsp; is called the&nbsp; "chip duration".
  
==Systemkonfigurationen für minimale Fehlerwahrscheinlichkeit==
+
*Without band spreading and scrambling&nbsp; $($or with &nbsp;$J = 1)$,&nbsp; the transmission chain corresponds to &nbsp;[[Modulation_Methods/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK modulation]].&nbsp;
<br>
+
 
[[File:P_ID1894__Mod_T_5_4_S2_neu.png|right|frame| Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven beim AWGN–Kanal]]
+
*The matched filter is implemented by the &nbsp;[[Digital_Signal_Transmission/Error_Probability_for_Baseband_Transmission#Optimal_binary_receiver_.E2.80.93_.22Integrate_.26_Dump.22_realization|"Integrate & Dump"]]&nbsp; variant,&nbsp; so it is an optimal system.
Die Grafik zeigt als durchgezogene blaue Kurve die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei BPSK in Abhängigkeit des logarithmierten AWGN–Parameters $E_{\rm B}/N_0$ (Signalenergie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte). Es gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$:
 
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
 
  
Beispielsweise ergibt sich für $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$ näherungsweise die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = \rm 2 · 10^{–4}$.  
+
*With &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$,&nbsp; the &nbsp;[[Modulation_Methods/Quality_Criteria#Some_remarks_on_the_AWGN_channel_model|AWGN channel model]]&nbsp; is obtained with the Gaussian distributed noise signal &nbsp;$n(t)$&nbsp; and the AWGN parameter &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$.&nbsp;
  
Den gleichen minimalen Wert liefert eine Systemsimulation (rote Punkte) unter folgenden Bedingungen:
+
*The additional interference component&nbsp; $i(t)$&nbsp; summarizes the &nbsp;"interferences from other users".
*PN–Modulation, egal ob mit einer M–Sequenz oder mit einer Walsh–Funktion, bei beliebigem Spreizgrad $J$, falls nur ein Teilnehmer aktiv ist;  
 
*synchroner CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen, auch wenn im gleichen Frequenzband andere Nutzer (maximal $J -1$) aktiv sind;  
 
*auf den RAKE–Empfänger kann verzichtet werden, da beim AWGN–Kanal keine Impulsinterferenzen auftreten.  
 
  
==Zwei Teilnehmer mit M–Sequenz–Spreizung==
+
*In the case of a &nbsp;[[Examples_of_Communication_Systems/General_Description_of_UMTS#Properties_of_the_UMTS_radio_channel|multipath channel]] &nbsp; (one main path and one or more secondary paths),&nbsp; the resulting intersymbol interference can be reduced by using a&nbsp;[[Modulation_Methods/Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation#Examinations_of_the_rake_receiver|"rake receiver"]].&nbsp;
<br>
 
Wir betrachten den störenden Einfluss eines zweiten Teilnehmers auf die Fehlerwahrscheinlichkeit von Teilnehmer 1.
 
*Die Spreizung erfolgt mittels M–Sequenzen, die im Gegensatz zu den Walsh–Funktionen nicht zueinander orthogonal sind.
 
*Weiter gilt der Spreizfaktor $J = 15$. Die Oktalkennungen der beiden beteiligten PN&ndash;Spreizfolgen seien (23) und (31).  
 
  
  
[[File:P_ID1895__Mod_T_5_4_S3a_neu.png|center|frame| Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Bandspreizung $(J = 15)$ mit M–Sequenz]]
+
==System configurations for minimum error probability==
 +
<br>
 +
[[File:EN_Mod_T_5_4_S2.png|right|frame| Bit error probability curves for the AWGN channel]]
 +
The diagram shows the bit error probability at BPSK as a function of the logarithmized AWGN parameter &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$ &nbsp; (signal energy per bit related to the noise power density) &nbsp; as a solid blue curve.&nbsp; With the&nbsp; [[Applets:Complementary_Gaussian_Error_Functions|complementary Gaussian error function]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$:
 +
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2\cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
  
Aus diesem Diagramm kann zum Beispiel abgelesen werden:
+
For example,&nbsp; with &nbsp;$10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$&nbsp; the bit error probability is &nbsp;$p_{\rm B} \approx \rm 2 · 10^{–4}$.&nbsp; The same minimum value is provided by a system simulation&nbsp; (red dots)&nbsp; under the following conditions:
 +
#&nbsp; PN modulation,&nbsp; whether with an&nbsp; "M-sequence"&nbsp; or with a&nbsp; "Walsh function",&nbsp; at any spreading factor&nbsp; $J$,&nbsp; if only one user is active.
 +
#&nbsp; Synchronous CDMA operation with Walsh functions,&nbsp; even if other users&nbsp; $($maximum&nbsp; $J -1)$&nbsp; are active in the same frequency band.
 +
#&nbsp; The rake receiver can be dispensed with,&nbsp; since no intersymbol interference occurs with the AWGN channel.
  
*Bei nur einem Teilnehmer ergibt sich die blaue durchgezogene Kurve. Der zweite (taktsynchrone) Teilnehmer erhöht die Fehlerwahrscheinlichkeit gravierend, zum Beispiel für $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$ von $p_{\rm B} = 2· 10^{–4} = 0.02\%$  auf $p_{\rm B} =1.5\%$  (braune Markierungen, $τ = 0$).
+
==Two users with M-sequence spreading==
*Durch einen Phasenversatz der PN–Sequenzen gegeneinander um Vielfache der Chipdauer kann man beträchtliche Verbesserungen erzielen. Verschiebt man beispielsweise die PN–Sequenz (31) des interferierenden Teilnehmers um $τ = 2T_c$ nach rechts (rote Markierungen), so erhält man statt $1.5\%$ Fehler nur mehr die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = 0.034\%$.  
+
<br>
 +
We consider the disturbing influence of a second&nbsp; (clock-synchronous)&nbsp; user on the error probability of user 1.
  
 +
[[File:EN_Mod_T_5_4_S3a.png|right|frame| Bit error probability with band spreading&nbsp; $(J = 15)$&nbsp; with M-sequences]]
  
[[File:P_ID1896__Mod_T_5_4_S3b_ganz_neu.png |right|frame| PKKF der PN–Sequenzen (23) und (31)]]
+
*Spreading is done using M-sequences which,&nbsp; unlike Walsh functions,&nbsp; are not orthogonal to each other.  
Die Ergebnisse werden verständlich, wenn man die periodische KKF  $φ_\text{23, 31}(λ \cdot T_c)$ zwischen den Sequenzen (23) und (31) betrachtet.
+
*The spreading factor in each case is &nbsp;$J = 15$.&nbsp; Let the octal identifiers of the two PN spreading sequences involved be &nbsp;$(23)$&nbsp; and &nbsp;$(31)$.  
  
*Je kleiner der PKKF–Betrag bei $\tau$ ist, desto kleiner wird $p_{\rm B}$.
 
*Man könnte also auch die zweite PN–Sequenz um sechs oder acht Chipdauern nach rechts oder um fünf, sechs oder sieben Chipdauern  nach links verschieben  (rote Punkte).
 
*In all diesen Fällen ist der PKKF–Betrag$|φ_\text{23, 31}(2 T_c)| = 1/15$ kleiner  im Vergleich zu
 
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(0)| = 7/15$ (ockerfarbene Punkte) ,
 
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(3 T_c)| = 5/15$ (grüne Punkte) sowie
 
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(T_c)| = 3/15$ (violette Punkte).
 
  
 +
For example,&nbsp; from this diagram can be read:
  
 +
*With only one user,&nbsp; it results in the blue solid curve.&nbsp;
 +
*The second user increases the error probability enormously:&nbsp;  At&nbsp; $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$&nbsp; from &nbsp;$p_{\rm B} = 2· 10^{–4} = 0.02\%$&nbsp;  to &nbsp;$p_{\rm B} =1.5\%$&nbsp;  $($brown markings, &nbsp;$τ = 0)$.
 +
*By phase-shifting the PN sequences with respect to each other by multiples of the chip duration,&nbsp; one can achieve large improvements.&nbsp;
 +
*For example,&nbsp; if the PN sequence &nbsp;$(31)$&nbsp; of the interfering user is shifted by &nbsp;$τ = 2T_c$&nbsp; to the right&nbsp; (red markings),&nbsp; instead of &nbsp;$p_{\rm B} =1.5\%$&nbsp; only &nbsp;$p_{\rm B} = 0.034\%$&nbsp; is obtained.
 +
<br clear=all>
 +
[[File:P_ID1896__Mod_T_5_4_S3b_ganz_neu.png |right|frame| PCCF of the PN sequences &nbsp;$(23)$&nbsp; and &nbsp;$(31)$]]
  
==Asynchroner CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen==
+
<br>The results can be understood by considering the periodic cross-correlation function&nbsp; $\rm (PCCF)$ &nbsp; $φ_\text{23, 31}(λ \cdot T_c)$&nbsp; between the sequences &nbsp;$(23)$&nbsp; and &nbsp;$(31)$.&nbsp;
 +
*The smaller the PCCF amount at &nbsp;$\tau$,&nbsp; the smaller &nbsp;$p_{\rm B}$.
 +
*Thus,&nbsp; one could also shift the second PN sequence to the right by six or eight chip durations or to the left by five,&nbsp; six,&nbsp; or seven chip durations&nbsp; (red dots).
 +
*In all these cases,&nbsp;  the PCCF amount &nbsp;$|φ_\text{23, 31}(2 T_c)| = 1/15$&nbsp; is smaller compared to
 +
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(0)| = 7/15$&nbsp; (ochre dots),
 +
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(3 T_c)| = 5/15$&nbsp; (green dots), and
 +
:#$\ \ |φ_\text{23, 31}(T_c)| = 3/15$&nbsp; (purple dots).
 +
<br clear=all>
 +
==Asynchronous CDMA operation with Walsh functions==
 
<br>
 
<br>
Auf der Seite [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Systemkonfigurationen_f.C3.BCr_minimale_Fehlerwahrscheinlichkeit|Systemkonfigurationen für minimaleFehlerwahrscheinlichkeit]] wurde gezeigt, dass bei Verwendung von orthogonalen Walsh–Funktionen die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ auch bei Vorhandensein anderer CDMA–Teilnehmer gegenüber der BPSK–Vergleichskurve (System ohne Bandspreizung) nicht verändert wird, so lange alle Teilnehmer synchron arbeiten.  
+
On the page &nbsp;[[Modulation_Methods/Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation#System_configurations_for_minimum_error_probability|System configurations for minimum error probability]],&nbsp; it was shown that when orthogonal Walsh functions are used,&nbsp; the bit error probability &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; is not changed compared with the BPSK comparison curve&nbsp; (system without band spreading)&nbsp; even in the presence of other CDMA subscribers,&nbsp; as long as all subscribers operate synchronously.
*Diese Voraussetzung ist im Mobilfunk im allgemeinen für den Downlink (der Sender ist eine einzige Basisstation) erfüllt,  
+
 
*nicht jedoch im Uplink (Sender sind viele mobile Endgeräte).  
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S4neu.png|right|frame| Bit error probability for asynchronous CDMA operation with Walsh spreading functions ]]
 +
 +
*In mobile communications, this condition is generally fulfilled for the downlink&nbsp; (the transmitter is a single base station),
 +
*but not in the uplink&nbsp; (transmitters are many mobile terminals).  
  
  
[[File:P_ID1897__Mod_T_5_4_S4_neu.png |center|frame| Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei asynchronem CDMA–Betrieb mit Walsh-Spreizfunktionen]]
+
The diagram shows bit error probability curves for the most unfavorable phase offset of the spreading sequences of the considered user and the interfering user,&nbsp; each with spreading factor &nbsp;$J = 16$.&nbsp; The first user always used Walsh function no.&nbsp; $15$.
  
Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven für den jeweils ungünstigsten Phasenversatz der Spreizfolgen von betrachtetem Teilnehmer und störendem Teilnehmer, jeweils mit Spreizgrad $J = 16$. Der erste Teilnehmer benutze dabei stets die Walsh–Funktion Nr. 15. Das Ergebnis kann wie folgt zusammengefasst werden:  
+
The result can be summarized as follows:
*Benutzt der störende Teilnehmer die Walsh–Funktion Nr. 1, so macht sich ein Phasenversatz nicht negativ bemerkbar, da für alle $λ$–Werte die PKKF $φ_\text{1, 15}(λ · T_c) = 0$ ist.  
+
*If the second participant uses the Walsh function no.&nbsp; $1$,&nbsp; a phase shift does not have a negative effect,&nbsp; since for all &nbsp;$λ$–values the PCCF &nbsp;$φ_\text{1, 15}(λ · T_c) = 0$.&nbsp;
*Verwendet dagegen der zweite Teilnehmer die Walsh–Funktion Nr. 14 (oder jede andere mit der Kenn-Nummer größer/gleich 8), so ergibt sich durch einen Phasenversatz um eine Chipdauer eine enorme Verschlechterung. Es gilt zwar $φ_\text{14, 15}(0) = 0$, aber für $λ = 1$ hat diese PKKF mit $φ_\text{14, 15}(T_c) = 3/4$ einen sehr großen Wert.  
+
*On the other hand,&nbsp; if the second participant uses Walsh function no.&nbsp; $14$&nbsp; $($or any other with identification number greater than/equal to&nbsp; $8)$, a phase shift by one chip duration results in a huge degradation.
 +
*Although &nbsp;$φ_\text{14, 15}(\lambda=0) = 0$&nbsp; holds,&nbsp; for &nbsp;$λ = 1$&nbsp; this PCCF has a very large value with &nbsp;$φ_\text{14, 15}(T_c) = 3/4$.&nbsp;
  
  
==Bitfehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal==
+
==Bit error probability for the two-way channel==
 
<br>
 
<br>
Für den Rest dieses  Kapitels  &bdquo;Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation&rdquo; setzen wir voraus:
+
For the rest of this chapter&nbsp; "Error Probability of Direct-Sequence Spread Spectrum Modulation"&nbsp; we assume:
*Zur Bandspreizung werden Walsh–Funktionen verwendet. Der Spreizfaktor ist jeweils  $J = 16$. Insbesondere betrachten wir die Funktionen:
+
*Walsh functions are used for band spreading. &nbsp; The spreading factor in each case is &nbsp;$J = 16$.&nbsp; In particular, we consider the functions:
 
:$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(1)}\rangle  =   
 
:$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(1)}\rangle  =   
 
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
Line 133: Line 141:
 
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 
{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm}
 
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
 
{+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
*Aktiv ist jeweils nur ein Teilnehmer &nbsp; &rArr; &nbsp; Interferenzen durch andere Nutzer treten nicht auf.
 
*Der Kanal enthält neben dem AWGN–Rauschen noch eine Mehrwegekomponente enthält: Der Hauptpfad wird um den Faktor $0.8$ gedämpft. Daneben gibt es ein Echo im Abstand $2T_c$ mit dem Gewicht $0.6$.  Die Kanalimpulsantwort lautet in diesem Fall: &nbsp; $h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) +  0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c).$
 
  
 +
*Only one subscriber is active at a time &nbsp; &rArr; &nbsp; interference from other users does not occur.
 +
*The channel contains a multipath component in addition to the AWGN noise: &nbsp; The main path is attenuated by a factor of &nbsp;$0.8$.&nbsp;
 +
*In addition,&nbsp; there is an echo at a distance of &nbsp;$2T_c$&nbsp; with a weight of &nbsp;$0.6$.&nbsp; The channel impulse response in this case is:
 +
[[File:EN_Mod_T_5_4_S5a_neu.png |right|frame| CDMA error probability with two-way channel]]
 +
:$$h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) +  0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c).$$
 +
 +
The diagram shows bit error probability curves.&nbsp; These show:
 +
*The Walsh function no.&nbsp; $2$ &nbsp;(brown dots)&nbsp; is conceivably unsuitable for the two-way channel defined above,&nbsp; since here the band spreading signal &nbsp;$b(t)$&nbsp; almost cancels itself out due to the echo at the distance &nbsp;$2T_c$.&nbsp;&nbsp; This can also be seen from the PACF value &nbsp;$φ_{22}(τ = 2T_c) = -1$.
 +
*The Walsh function no.&nbsp; $1$ &nbsp;(yellow dots)&nbsp; is very well suited for this channel.&nbsp; The echo signal is constructively superimposed on the signal on the main path and &nbsp;$b(t)$&nbsp; is almost doubled.&nbsp; The good result can be explained by the PACF value &nbsp;$φ_{11}(τ = 2T_c) = +1$.&nbsp;
 +
*With Walsh function no.&nbsp; $12$  &nbsp;(red dots),&nbsp; the constructive and destructive superpositions almost balance out,&nbsp; so that the error probability is approximately on the BPSK curve.&nbsp; All other Walsh functions also lie between the brown and yellow boundary curves.
  
[[File:P_ID1898__Mod_T_5_4_S5a_neu.png  |center|frame| CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal]]
 
  
Die Grafik zeigt Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven. Diese zeigen folgende Sachverhalte:
 
*Die Walsh–Funktion Nr. 2 (braune Punkte) ist für den oben definierten Zweiwegekanalanal denkbar ungeeignet, da sich hier das bandgespreizte Signal $b(t)$ aufgrund des Echos im Abstand $2T_c$ nahezu auslöscht. Dies erkennt man auch am PAKF–Wert $φ_{22}(τ = 2T_c) = -1$.
 
*Die Walsh–Funktion Nr. 1 (gelbe Punkte) ist dagegen bei diesem Kanal sehr gut geeignet. Das Echosignal überlagert sich dem Signal auf dem Hauptfeld konstruktiv und $b(t)$ wird nahezu verdoppelt. Das sehr gute Ergebnis lässt sich durch den PAKF–Wert $φ_{11}(τ = 2T_c) = +1$ erklären.
 
*Für die Walsh–Funktion Nr. 12  (rote Punkte) gleichen sich die konstruktiven und destruktiven Überlagerungen nahezu aus, so dass die Fehlerwahrscheinlichkeit in etwa auf der BPSK–Kurve zu liegen kommt. Auch alle anderen Walsh–Funktionen liegen zwischen den braunen und gelben Grenzkurven.
 
  
  
 
{{BlaueBox||TEXT=
 
{{BlaueBox||TEXT=
$\text{Fazit:}$&nbsp;
+
$\text{Conclusion:}$&nbsp;
*Der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr. 1 hat beim betrachteteten Kanal mit der Echoverzögerung $2 \cdot T_c$ deutlich bessere Bedingungen als der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr. 2.
+
*The user with Walsh function no.&nbsp; $1$&nbsp; has significantly better conditions than the user with Walsh function no.&nbsp; $2$&nbsp; at the considered channel with echo delay &nbsp;$2 \cdot T_c$.&nbsp;
*Bei einem Kanal mit der Echoverzögerung $T_c$ hätte dagegen der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr. 2 deutlich bessere Bedingungen als der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr. 1.
+
*For a channel with echo delay &nbsp;$T_c$&nbsp; the user with Walsh function no.&nbsp; $2$&nbsp; would have significantly better conditions than the user with Walsh function no.&nbsp; $1$.
* Da aber ein Netzbetreiber für alle Teilnehmer bei beliebigem Kanal gleiche Bedingungen bereitstellen muss , ist die hier betrachtete Konfiguration für den praktischen Betrieb ungeeignet.  
+
* However,&nbsp; since a network operator must provide the same conditions for all users with any channel, this configuration is unsuitable for practical operation.  
*Nachfolgend wird gezeigt, wie man für alle Teilnehmer annähernd gleiche Bedingungen schaffen kann.}}  
+
*In the following,&nbsp; ungeeignet. it is shown how to provide approximately equal conditions for all subscribers.}}  
  
  
==Einfluss einer zusätzlichen Verwürfelung der Spreizfolge==
+
==Influence of additional scrambling of the spreading sequence==
 
<br>
 
<br>
[[File:P_ID1899__Mod_T_5_4_S5b_neu.png|right|frame | CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal, <br>zusätzliche Verwürfelung]]
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S5b_neu.png|right|frame | CDMA error probability with two-way channel,&nbsp; additional scrambling ]]
Eine Möglichkeit, die Qualität für die einzelnen Teilnehmer auch beim Zweiwegekanal zu egalisieren, bietet die zusätzliche Verwürfelung mit $w(t)$ entsprechend dem vorne gezeigten [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Das_CDMA.E2.80.93System_IS.E2.80.9395|Blockschaltbild]]. Für die rechts dargestellte  Grafik wird vorausgesetzt:  
+
One way to equalize the quality for the individual subscribers even for the two-way channel is to add scrambling with &nbsp;$w(t)$&nbsp; according to the &nbsp;[[Modulation_Methods/Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation#The_IS-95_CDMA_system|block diagram]]&nbsp; shown at the front.&nbsp; For the diagram shown on the right it is assumed:
*Die beteiligten Benutzer verwenden zur Bandspreizung unterschiedliche Walsh–Funktionen, alle mit dem Spreizfaktor $J = 16$.
+
*The participating subscribers use different Walsh functions for band spreading,&nbsp; all with spreading factor &nbsp;$J = 16$.
*Jeder Benutzer wird zusätzlich durch eine M–Sequenz der Periodenlänge $P = 63$ (Registergrad $G = 6$) verwürfelt.  
+
*Each user is additionally scrambled by an M-sequence of period length &nbsp;$P = 63$&nbsp; $($register degree &nbsp;$G = 6)$.&nbsp;
*Die eingezeichneten Punkte gelten für die Walsh–Funktion Nr. 12 als Spreizsignal $c(t)$ und eine zusätzliche Verwürfelung $w(t)$ durch die M–Sequenz mit Oktalkennung (163).  
+
*The plotted points apply to Walsh function no.&nbsp; $12$&nbsp; as spreading signal &nbsp;$c(t)$&nbsp; and scrambling &nbsp;$w(t)$&nbsp; by the M-sequence with octal identifier &nbsp;$\rm (163)_{octal}$.  
  
  
 +
Compared with the pure AWGN channel,&nbsp; the two-way channel considered with coefficients &nbsp;$0.8$&nbsp; and &nbsp;$0.6$&nbsp; gives a degradation of about &nbsp;$2 \ \rm dB$ to $3 \ \rm dB$ &nbsp; &rArr; &nbsp; horizontal distance between the plotted points and the blue comparison curve.
  
Gegenüber dem reinen AWGN–Kanal ergibt sich beim betrachteten Zweiwegekanal mit den Koeffizienten $0.8$ und $0.6$ eine Degradation von etwa $2 \ \rm dB$ bis $3 \ \rm dB$ &nbsp; &rArr; &nbsp; horizontaler Abstand zwischen den eingezeichneten Punkten und der blauen Vergleichskurve.  
+
'''Note:''' &nbsp; The results for other Walsh functions, e.g. no.&nbsp; $1$&nbsp; or no.&nbsp; $2$&nbsp; differ only insignificantly from this diagram&nbsp; $($valid for Walsh function no.&nbsp; $12)$&nbsp; within the character accuracy.
 
 
''Anmerkung:'' &nbsp; Die Ergebnisse für andere Walsh–Funktionen, zum Beispiel Nr. 1 oder Nr. 2 unterscheiden sich gegenüber dieser Skizze (gültig für die Walsh–Funktion Nr. 12) innerhalb der Zeichengenauigkeit nur unwesentlich.  
 
 
<br clear =all>
 
<br clear =all>
 
{{BlaueBox||TEXT=
 
{{BlaueBox||TEXT=
$\text{Fazit:}$&nbsp; Die zusätzliche Verwürfelung mit $w(t)$ dient nur dazu, bei einem Kanal mit Echoverzerrungen für alle Teilnehmer gleiche Bedingungen zu schaffen. $w(t)$ bewirkt also keine zusätzliche Bandspreizung.  
+
$\text{Conclusion:}$&nbsp;  
 +
*The additional scrambling with &nbsp;$w(t)$&nbsp; serves only to create equal conditions for all participants in a channel with echo distortions.
 +
*Thus,&nbsp; $w(t)$&nbsp; does not cause any additional band spreading.
 +
 
  
Alle Teilnehmer erleben somit durch ein Echo die gleiche Degradation, verglichen mit dem idealen Kanal. Andernfalls (ohne  diese Verwürfelung) würden sich die Kunden mit schlechten Bedingungen beim Betreiber beschweren und eventuell Regressansprüche stellen, während die anderen Kunden die für sie günstige konstruktive Echo&ndash;Überlagerung vielleicht erfreut, aber sicher stillschweigend hinnehmen würden.}}  
+
All participants thus experience the same degradation due to an echo,&nbsp; compared to the ideal channel.&nbsp; Otherwise&nbsp; (without this scrambling),&nbsp; the customers with poor conditions would complain to the operator and possibly claim recourse,&nbsp; while the other customers would accept the constructive echo overlay,&nbsp; which is favorable to them,&nbsp; perhaps delightedly but surely tacitly.}}  
  
  
==Untersuchungen zum RAKE–Empfänger==
+
==Examinations of the rake receiver==
 
<br>
 
<br>
Betrachten wir abschließend die Verbesserung durch die Verwendung eines RAKE–Empfängers, die durch die folgende Grafik verdeutlicht wird. Damit wird beispielsweise für $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$ die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von $\rm 6 · 10^{–3}$ auf $\rm 5 · 10^{-4}$ herabgesetzt.  
+
Finally,&nbsp; let us consider the improvement by using a rake receiver,&nbsp; which is illustrated by the following diagram.&nbsp; For example,&nbsp; for &nbsp;$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$ &nbsp; this reduces the bit error probability from &nbsp;$\rm 6 · 10^{–3}$&nbsp; to &nbsp;$\rm 5 · 10^{-4}$.  
 +
 
 +
[[File:EN_Mod_T_5_4_S6a_neu.png|right|frame  |CDMA error probability curves with and without rake receiver]]
  
[[File:P_ID1900__Mod_T_5_4_S6a_neu.png|center|frame  | CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeitskurven mit und ohne RAKE–Empfänger]]
+
Note that the exact same assumptions apply to this diagram as to the&nbsp; [[Modulation_Methods/Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation#Influence_of_additional_scrambling_of_the_spreading_sequence|diagram in the last section]]:
 +
*Band spreading with &nbsp;$J =16$&nbsp; and Walsh function no.&nbsp; $12$,
 +
*additional scrambling by the M-sequence no. &nbsp;$\rm (163)_{octal}$,
 +
*two-way channel with &nbsp; $h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t - 2T_c)$,
 +
*SNR: &nbsp; $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$.
  
Anzumerken ist, dass für dieses Diagramm die genau gleichen Voraussetzungen gelten wie für die Grafik im letzten Abschnitt:
 
*Bandspreizung mit $J =16$ und Walsh–Funktion Nr. 12,
 
*zusätzliche Verwürfelung durch die M–Sequenz $\rm (163)_{oktal}$,
 
*Zweiwegekanal mit $h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t - 2T_c)$.
 
  
 +
The reason for this improvement is the smaller variance &nbsp;${σ_d}^2$&nbsp; of the detection signal samples,&nbsp; as can be seen from the probability density functions &nbsp;$f_d(d)$&nbsp; shown on the right.&nbsp; Here, &nbsp;${σ_d}^2 = {σ_{\rm I}}^2 + {σ_{\rm N}}^2$&nbsp; is composed of two components:
 +
*The fraction &nbsp;${σ_{\rm N}}^2$&nbsp; of the AWGN noise &nbsp;$n(t)$&nbsp; in the total variance &nbsp;${σ_d}^2$&nbsp; depends solely on the abscissa &nbsp;$(E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; and is the same with and without rake.
 +
*The smaller &nbsp;$σ_d^2$&nbsp; with rake is solely due to the fact that the rake receiver combats the intersymbol interference.&nbsp; Thus, &nbsp;${σ_{\rm I}}^2$&nbsp; is not zero for the (red) receiver with rake, but it is significantly smaller than for the (black) receiver without rake.
  
Der Grund für diese Verbesserung ist die kleinere Varianz ${σ_d}^2$ der Detektionsnutzabtastwerte, wie aus den rechts skizzierten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_d(d)$ hervorgeht (gültig für $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$).
 
*Das kleinere $σ_d$ ist allein darauf zurückzuführen, dass der RAKE–Empfänger die Impulsinterferenzen bekämpft.
 
*Der Anteil des AWGN–Rauschens $n(t)$ an der Gesamtvarianz ${σ_d}^2$ (der zweite Anteil ist auf die Impulsinterferenzen zurückzuführen) hängt allein von der Abszisse $(E_{\rm B}/N_0)$ ab und ist mit und ohne RAKE gleich groß.
 
  
  
==Prinzip des RAKE–Empfängers==
+
==Principle of the rake receiver==
[[File:P_ID1901__Mod_T_5_4_S6b_neu.png |right|frame| Zweiwegekanal und zugehöriger RAKE–Empfänger]]
+
<br>
Das RAKE–Prinzip wird durch die nebenstehende Grafik verdeutlicht. Der Zweiwegekanal besteht aus
+
[[File:EN_Mod_T_5_4_S6b.png |right|frame| Two-way channel and associated rake receiver]]  
*dem direkten Pfad mit Verzögerungszeit $τ_0$ und Gewicht $h_0$,
+
The rake principle is illustrated by the diagram.&nbsp; The two-way channel consists of
*einem Echo mit Verzögerung $τ_1 > τ_0$ und Gewicht $h_1$.  
 
  
 +
*the direct path with delay time &nbsp;$τ_0$&nbsp; and weight &nbsp;$h_0$,
 +
*an echo with delay &nbsp;$τ_1 > τ_0$&nbsp; and weight &nbsp;$h_1$.
  
Beide Amplitudenkoeffizienten seien reell. Als Normierungsbedingung gelte im Folgenden ${h_0}^2 + {h_1}^2 = 1$.
 
  
 +
Let both amplitude coefficients be real.&nbsp; As a normalization condition is valid in the following:
 +
:$${h_0}^2 + {h_1}^2 = 1.$$
  
Aufgabe des RAKE–Empfängers ist es, die Signalenergien der beiden Pfade (im allgemeinen: aller Pfade) auf einen einzigen Zeitpunkt zu konzentrieren. Er arbeitet demnach wie eine ''Harke'' für den Garten, was auch die deutsche Übersetzung für „RAKE” ist.  
+
The task of the rake receiver is to concentrate the signal energies of the two paths&nbsp; (in general: &nbsp; of all paths)&nbsp; to a single point in time.&nbsp; It therefore works like a&nbsp; "rake"&nbsp; for the garden.  
  
Legt man einen Diracimpuls zur Zeit $t = 0$ an den Kanaleingang an &nbsp;  ⇒ &nbsp;  $s(t) = δ(t)$, so gibt es am Ausgang des RAKE–Empfängers drei Diracimpulse entsprechend der Gleichung
+
If one applies a Dirac delta pulse at time &nbsp;$t = 0$&nbsp; to the channel input &nbsp;  ⇒ &nbsp;  $s(t) = δ(t)$,&nbsp; there are three Dirac delta pulses at the output of the rake receiver:
:$$b(t) = h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0) + (h_0^2 +  h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) +
+
:$$b(t) = \big [ h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [(h_0^2 +  h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) \big ]+
h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
+
\big [h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
*Die Signalenergie konzentriert sich im Ausgangssignal auf den Zeitpunkt $τ_0 + τ_1$. Von den insgesamt vier Wegen tragen zwei dazu bei.  
+
*The signal energy is concentrated in the output signal at time &nbsp;$τ_0 + τ_1$,&nbsp; and two of the total four paths contribute to this.
*Die Diracfunktionen bei $2τ_0$ und $2τ_1$ bewirken zwar Impulsinterferenzen. Ihre Gewichte $(h_0 · h_1)$ sind aber deutlich kleiner als das Gewicht des Hauptpfades $({h_0}^2 + {h_1}^2)$.  
+
*The Dirac delta functions at &nbsp;$2τ_0$&nbsp; and &nbsp;$2τ_1$&nbsp; do cause intersymbol interference.
 +
*However,&nbsp;  their weights &nbsp;$(h_0 · h_1)$&nbsp; are much smaller than the weight of the main path &nbsp;$({h_0}^2 + {h_1}^2)$.  
  
  
 
{{GraueBox|TEXT=
 
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  
+
$\text{Example 1:}$&nbsp;  
*Mit den Kanalparametern $h_0 = 0.8$ und $h_1 = 0.6$ beinhaltet der Hauptpfad des Kanals (mit Gewicht $h_0$) nur $\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$ der gesamten Signalenergie.  
+
*With parameter values &nbsp;$h_0 = 0.8$&nbsp; and &nbsp;$h_1 = 0.6$,&nbsp; the main path&nbsp;  $($with weight &nbsp;$h_0)$&nbsp; contains only &nbsp;$\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$&nbsp; of the total signal energy.
*Mit RAKE–Empfänger und den gleichen Gewichten lautet die obige Gleichung
+
*With rake receiver and the same weights the above equation is
:$$b(t) =0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0) + 1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) +
+
:$$b(t) = \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1)\big ] +
0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
+
\big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1)\big ] \hspace{0.05cm}.$$
Der Anteil des Hauptpfades an der Gesamtenergie beträgt nun $\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$. }}
+
*The contribution of the main path to the total energy is now &nbsp;$\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$,&nbsp; slightly larger than without rake. }}
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$&nbsp;  
+
$\text{Conclusion:}$&nbsp;  
*RAKE–Empfänger werden zur Implementierung in mobilen Geräten bevorzugt, haben aber bei vielen aktiven Teilnehmern nur eine begrenzte Leistungsfähigkeit.  
+
*Rake receivers are preferred for implementation in mobile devices,&nbsp; but have limited performance with many active subscribers.
*Bei einem Mehrwegekanal mit vielen ($M$) Pfaden hat auch der RAKE $M$ Finger.  
+
*In a multipath channel with many &nbsp;$(M)$&nbsp; paths,&nbsp; the rake also has&nbsp; $M$&nbsp; fingers.
*Der Hauptfinger (''Main Finger'') – auch ''Searcher'' genannt – ist bei den meisten Mobilfunksystemen dafür verantwortlich, die individuellen Pfade der Mehrfachausbreitung zu identifizieren und einzuordnen. }}
+
*The main finger&nbsp; (called the&nbsp; "searcher")&nbsp;  is responsible for identifying and classifying the individual paths of multiple propagation in most mobile radio systems. }}
  
  
==Aufgaben zum Kapitel==
+
==Exercises for the chapter==
 
<br>
 
<br>
[[Aufgaben: 5.5 Mehrteilnehmer–Interferenzen|Aufgabe 5.5: Mehrteilnehmer–Interferenzen]]
+
[[Aufgaben:Exercise_5.5:_Multi-User_Interference|Exercise 5.5: Multi-User Interference]]
 
 
[[Aufgaben:5.5Z Zum RAKE–Empfänger|Aufgabe 5.5Z: Zum RAKE–Empfänger]]
 
  
 +
[[Aufgaben:Exercise_5.5Z:_About_the_Rake_Receiver|Exercise 5.5Z: About the Rake Receiver]]
  
  
==Quellenverzeichnis==
 
<references/>
 
  
 
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Revision as of 15:00, 9 April 2022

The IS-95 CDMA system


The properties of PN modulation are now given using the example of the American mobile radio standard  IS–95,  which has resulted from the work of  Qualcomm Inc.  and in particular of  Andrew J. Viterbi.   In a somewhat simplified representation – without convolutional encoder,  interleaver and de-interleaver as well as the Viterbi decoder at the receiver - the following block diagram results.  The following statements are valid:

Considered block diagram for this chapter
  • The spreading signal  $c(t)$  causes  "band spreading"  by the spreading factor  $J$,  with Walsh functions  or  M–Sequences.   
  • "Band compression"  at the receiver uses the same spreading sequence in a phase-synchronous manner.
  • The additional  $±1$ signal  $w(t)$  provides additional  "scrambling",  but does not cause further band spreading. 
  • The rectangular duration of  $w(t)$  is exactly as large  $(T_c)$  as the rectangular duration of  $c(t)$.   $T_c$  is called the  "chip duration".
  • Without band spreading and scrambling  $($or with  $J = 1)$,  the transmission chain corresponds to  BPSK modulation
  • The matched filter is implemented by the  "Integrate & Dump"  variant,  so it is an optimal system.
  • With  $H_{\rm K}(f) = 1$,  the  AWGN channel model  is obtained with the Gaussian distributed noise signal  $n(t)$  and the AWGN parameter  $E_{\rm B}/N_0$. 
  • The additional interference component  $i(t)$  summarizes the  "interferences from other users".
  • In the case of a  multipath channel   (one main path and one or more secondary paths),  the resulting intersymbol interference can be reduced by using a "rake receiver"


System configurations for minimum error probability


Bit error probability curves for the AWGN channel

The diagram shows the bit error probability at BPSK as a function of the logarithmized AWGN parameter  $E_{\rm B}/N_0$   (signal energy per bit related to the noise power density)   as a solid blue curve.  With the  complementary Gaussian error function  ${\rm Q}(x)$:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2\cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

For example,  with  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$  the bit error probability is  $p_{\rm B} \approx \rm 2 · 10^{–4}$.  The same minimum value is provided by a system simulation  (red dots)  under the following conditions:

  1.   PN modulation,  whether with an  "M-sequence"  or with a  "Walsh function",  at any spreading factor  $J$,  if only one user is active.
  2.   Synchronous CDMA operation with Walsh functions,  even if other users  $($maximum  $J -1)$  are active in the same frequency band.
  3.   The rake receiver can be dispensed with,  since no intersymbol interference occurs with the AWGN channel.

Two users with M-sequence spreading


We consider the disturbing influence of a second  (clock-synchronous)  user on the error probability of user 1.

Bit error probability with band spreading  $(J = 15)$  with M-sequences
  • Spreading is done using M-sequences which,  unlike Walsh functions,  are not orthogonal to each other.
  • The spreading factor in each case is  $J = 15$.  Let the octal identifiers of the two PN spreading sequences involved be  $(23)$  and  $(31)$.


For example,  from this diagram can be read:

  • With only one user,  it results in the blue solid curve. 
  • The second user increases the error probability enormously:  At  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$  from  $p_{\rm B} = 2· 10^{–4} = 0.02\%$  to  $p_{\rm B} =1.5\%$  $($brown markings,  $τ = 0)$.
  • By phase-shifting the PN sequences with respect to each other by multiples of the chip duration,  one can achieve large improvements. 
  • For example,  if the PN sequence  $(31)$  of the interfering user is shifted by  $τ = 2T_c$  to the right  (red markings),  instead of  $p_{\rm B} =1.5\%$  only  $p_{\rm B} = 0.034\%$  is obtained.


PCCF of the PN sequences  $(23)$  and  $(31)$


The results can be understood by considering the periodic cross-correlation function  $\rm (PCCF)$   $φ_\text{23, 31}(λ \cdot T_c)$  between the sequences  $(23)$  and  $(31)$. 

  • The smaller the PCCF amount at  $\tau$,  the smaller  $p_{\rm B}$.
  • Thus,  one could also shift the second PN sequence to the right by six or eight chip durations or to the left by five,  six,  or seven chip durations  (red dots).
  • In all these cases,  the PCCF amount  $|φ_\text{23, 31}(2 T_c)| = 1/15$  is smaller compared to
  1. $\ \ |φ_\text{23, 31}(0)| = 7/15$  (ochre dots),
  2. $\ \ |φ_\text{23, 31}(3 T_c)| = 5/15$  (green dots), and
  3. $\ \ |φ_\text{23, 31}(T_c)| = 3/15$  (purple dots).


Asynchronous CDMA operation with Walsh functions


On the page  System configurations for minimum error probability,  it was shown that when orthogonal Walsh functions are used,  the bit error probability  $p_{\rm B}$  is not changed compared with the BPSK comparison curve  (system without band spreading)  even in the presence of other CDMA subscribers,  as long as all subscribers operate synchronously.

Bit error probability for asynchronous CDMA operation with Walsh spreading functions
  • In mobile communications, this condition is generally fulfilled for the downlink  (the transmitter is a single base station),
  • but not in the uplink  (transmitters are many mobile terminals).


The diagram shows bit error probability curves for the most unfavorable phase offset of the spreading sequences of the considered user and the interfering user,  each with spreading factor  $J = 16$.  The first user always used Walsh function no.  $15$.

The result can be summarized as follows:

  • If the second participant uses the Walsh function no.  $1$,  a phase shift does not have a negative effect,  since for all  $λ$–values the PCCF  $φ_\text{1, 15}(λ · T_c) = 0$. 
  • On the other hand,  if the second participant uses Walsh function no.  $14$  $($or any other with identification number greater than/equal to  $8)$, a phase shift by one chip duration results in a huge degradation.
  • Although  $φ_\text{14, 15}(\lambda=0) = 0$  holds,  for  $λ = 1$  this PCCF has a very large value with  $φ_\text{14, 15}(T_c) = 3/4$. 


Bit error probability for the two-way channel


For the rest of this chapter  "Error Probability of Direct-Sequence Spread Spectrum Modulation"  we assume:

  • Walsh functions are used for band spreading.   The spreading factor in each case is  $J = 16$.  In particular, we consider the functions:
$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
$$ \langle w_\nu^{(12)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
  • Only one subscriber is active at a time   ⇒   interference from other users does not occur.
  • The channel contains a multipath component in addition to the AWGN noise:   The main path is attenuated by a factor of  $0.8$. 
  • In addition,  there is an echo at a distance of  $2T_c$  with a weight of  $0.6$.  The channel impulse response in this case is:
CDMA error probability with two-way channel
$$h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) + 0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c).$$

The diagram shows bit error probability curves.  These show:

  • The Walsh function no.  $2$  (brown dots)  is conceivably unsuitable for the two-way channel defined above,  since here the band spreading signal  $b(t)$  almost cancels itself out due to the echo at the distance  $2T_c$.   This can also be seen from the PACF value  $φ_{22}(τ = 2T_c) = -1$.
  • The Walsh function no.  $1$  (yellow dots)  is very well suited for this channel.  The echo signal is constructively superimposed on the signal on the main path and  $b(t)$  is almost doubled.  The good result can be explained by the PACF value  $φ_{11}(τ = 2T_c) = +1$. 
  • With Walsh function no.  $12$  (red dots),  the constructive and destructive superpositions almost balance out,  so that the error probability is approximately on the BPSK curve.  All other Walsh functions also lie between the brown and yellow boundary curves.



$\text{Conclusion:}$ 

  • The user with Walsh function no.  $1$  has significantly better conditions than the user with Walsh function no.  $2$  at the considered channel with echo delay  $2 \cdot T_c$. 
  • For a channel with echo delay  $T_c$  the user with Walsh function no.  $2$  would have significantly better conditions than the user with Walsh function no.  $1$.
  • However,  since a network operator must provide the same conditions for all users with any channel, this configuration is unsuitable for practical operation.
  • In the following,  ungeeignet. it is shown how to provide approximately equal conditions for all subscribers.


Influence of additional scrambling of the spreading sequence


CDMA error probability with two-way channel,  additional scrambling

One way to equalize the quality for the individual subscribers even for the two-way channel is to add scrambling with  $w(t)$  according to the  block diagram  shown at the front.  For the diagram shown on the right it is assumed:

  • The participating subscribers use different Walsh functions for band spreading,  all with spreading factor  $J = 16$.
  • Each user is additionally scrambled by an M-sequence of period length  $P = 63$  $($register degree  $G = 6)$. 
  • The plotted points apply to Walsh function no.  $12$  as spreading signal  $c(t)$  and scrambling  $w(t)$  by the M-sequence with octal identifier  $\rm (163)_{octal}$.


Compared with the pure AWGN channel,  the two-way channel considered with coefficients  $0.8$  and  $0.6$  gives a degradation of about  $2 \ \rm dB$ to $3 \ \rm dB$   ⇒   horizontal distance between the plotted points and the blue comparison curve.

Note:   The results for other Walsh functions, e.g. no.  $1$  or no.  $2$  differ only insignificantly from this diagram  $($valid for Walsh function no.  $12)$  within the character accuracy.

$\text{Conclusion:}$ 

  • The additional scrambling with  $w(t)$  serves only to create equal conditions for all participants in a channel with echo distortions.
  • Thus,  $w(t)$  does not cause any additional band spreading.


All participants thus experience the same degradation due to an echo,  compared to the ideal channel.  Otherwise  (without this scrambling),  the customers with poor conditions would complain to the operator and possibly claim recourse,  while the other customers would accept the constructive echo overlay,  which is favorable to them,  perhaps delightedly but surely tacitly.


Examinations of the rake receiver


Finally,  let us consider the improvement by using a rake receiver,  which is illustrated by the following diagram.  For example,  for  $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$   this reduces the bit error probability from  $\rm 6 · 10^{–3}$  to  $\rm 5 · 10^{-4}$.

CDMA error probability curves with and without rake receiver

Note that the exact same assumptions apply to this diagram as to the  diagram in the last section:

  • Band spreading with  $J =16$  and Walsh function no.  $12$,
  • additional scrambling by the M-sequence no.  $\rm (163)_{octal}$,
  • two-way channel with   $h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t - 2T_c)$,
  • SNR:   $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$.


The reason for this improvement is the smaller variance  ${σ_d}^2$  of the detection signal samples,  as can be seen from the probability density functions  $f_d(d)$  shown on the right.  Here,  ${σ_d}^2 = {σ_{\rm I}}^2 + {σ_{\rm N}}^2$  is composed of two components:

  • The fraction  ${σ_{\rm N}}^2$  of the AWGN noise  $n(t)$  in the total variance  ${σ_d}^2$  depends solely on the abscissa  $(E_{\rm B}/N_0)$  and is the same with and without rake.
  • The smaller  $σ_d^2$  with rake is solely due to the fact that the rake receiver combats the intersymbol interference.  Thus,  ${σ_{\rm I}}^2$  is not zero for the (red) receiver with rake, but it is significantly smaller than for the (black) receiver without rake.


Principle of the rake receiver


Two-way channel and associated rake receiver

The rake principle is illustrated by the diagram.  The two-way channel consists of

  • the direct path with delay time  $τ_0$  and weight  $h_0$,
  • an echo with delay  $τ_1 > τ_0$  and weight  $h_1$.


Let both amplitude coefficients be real.  As a normalization condition is valid in the following:

$${h_0}^2 + {h_1}^2 = 1.$$

The task of the rake receiver is to concentrate the signal energies of the two paths  (in general:   of all paths)  to a single point in time.  It therefore works like a  "rake"  for the garden.

If one applies a Dirac delta pulse at time  $t = 0$  to the channel input   ⇒   $s(t) = δ(t)$,  there are three Dirac delta pulses at the output of the rake receiver:

$$b(t) = \big [ h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [(h_0^2 + h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) \big ]+ \big [h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • The signal energy is concentrated in the output signal at time  $τ_0 + τ_1$,  and two of the total four paths contribute to this.
  • The Dirac delta functions at  $2τ_0$  and  $2τ_1$  do cause intersymbol interference.
  • However,  their weights  $(h_0 · h_1)$  are much smaller than the weight of the main path  $({h_0}^2 + {h_1}^2)$.


$\text{Example 1:}$ 

  • With parameter values  $h_0 = 0.8$  and  $h_1 = 0.6$,  the main path  $($with weight  $h_0)$  contains only  $\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$  of the total signal energy.
  • With rake receiver and the same weights the above equation is
$$b(t) = \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0)\big ] + \big [1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1)\big ] + \big [ 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1)\big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • The contribution of the main path to the total energy is now  $\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$,  slightly larger than without rake.


$\text{Conclusion:}$ 

  • Rake receivers are preferred for implementation in mobile devices,  but have limited performance with many active subscribers.
  • In a multipath channel with many  $(M)$  paths,  the rake also has  $M$  fingers.
  • The main finger  (called the  "searcher")  is responsible for identifying and classifying the individual paths of multiple propagation in most mobile radio systems.


Exercises for the chapter


Exercise 5.5: Multi-User Interference

Exercise 5.5Z: About the Rake Receiver