Difference between revisions of "Theory of Stochastic Signals/Cumulative Distribution Function"

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{{Header
 
{{Header
|Untermenü=Kontinuierliche Zufallsgrößen
+
|Untermenü=Continuous Random Variables
|Vorherige Seite=Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)
+
|Vorherige Seite=Probability Density Function
|Nächste Seite=Erwartungswerte und Momente
+
|Nächste Seite=Expected Values and Moments
 
}}
 
}}
==Zusammenhang zwischen WDF und VTF==
+
==Relationship between PDF and CDF==
 
<br>
 
<br>
Zur Beschreibung von Zufallsgrößen wird neben der&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; (WDF) auch die&nbsp; Verteilungsfunktion&nbsp; (VTF)&nbsp; verwendet, die wie folgt definiert ist:  
+
To describe random variables,&nbsp; in addition to the&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Probability_Density_Function|probability density function]]&nbsp; $\rm (PDF)$,&nbsp; we also use the&nbsp; cumulative distribution function&nbsp; $\rm (CDF)$&nbsp; which is defined as follows:  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Verteilungsfunktion'''&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert&nbsp; $r$&nbsp; ist:  
+
$\text{Definition:}$&nbsp; The&nbsp; '''cumulative distribution function'''&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; corresponds to the probability that the random variable&nbsp; $x$&nbsp; is less than or equal to a real number&nbsp; $r$:  
:$$F_{x}(r) = {\rm Pr}( x \le r).$$
+
:$$F_{x}(r) = {\rm Pr}( x \le r).$$}}
  
Die englische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion (VTF) ist&nbsp; ''Cumulative Distribution Function''&nbsp; (CDF). }}
 
  
 
+
For a continuous random variable,&nbsp; the following statements are possible regarding the CDF:  
Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße sind bezüglich der Verteilungsfunktion folgende Aussagen möglich:  
+
*The CDF is computable from the probability density function&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; by integration.&nbsp; It holds:  
*Die Verteilungsfunktion ist aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; durch Integration berechenbar.&nbsp; Es gilt:  
 
 
:$$F_{x}(r) = \int_{-\infty}^{r}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
 
:$$F_{x}(r) = \int_{-\infty}^{r}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
*Da die WDF nie negativ ist, steigt&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; zumindest schwach monoton an, und liegt stets zwischen den folgenden Grenzwerten:  
+
*Since the PDF is never negative,&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; increases at least weakly monotonically,&nbsp; and always lies between the following limits:  
:$$F_{x}(r → \hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm} ∞) = 0, \hspace{0.5cm}F_{x}(r → +∞) = 1.$$  
+
:$$F_{x}(r → \hspace{0.05cm} - \hspace{0.05cm} ∞) = 0, \hspace{0.5cm}F_{x}(r → +∞) = 1.$$  
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch Differentiation bestimmen:  
+
*Inversely,&nbsp; the probability density function can be determined from the CDF by differentiation:  
 
:$$f_{x}(x)=\frac{{\rm d} F_{x}(r)}{{\rm d} r}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}r=x}.$$
 
:$$f_{x}(x)=\frac{{\rm d} F_{x}(r)}{{\rm d} r}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}r=x}.$$
:Der Zusatz&nbsp; &bdquo;$r = x$"&nbsp; macht deutlich, dass bei unserer Nomenklatur das Argument der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die Zufallsgröße selbst ist, während das VTF–Argument eine beliebige reelle Variable&nbsp; $r$&nbsp; angibt.
+
:The addition&nbsp; "$r = x$"&nbsp; makes it clear that in our nomenclature the PDF argument is the random variable itself, while the CDF argument specifies any real variable&nbsp; $r$&nbsp;.
  
{{BlaueBox|TEXT=
+
{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Hinweise zur Nomenklatur:}$&nbsp;
+
$\text{Nomenclature Notes:}$&nbsp;
 
   
 
   
Hätten wir bei den Definitionen von&nbsp; $\rm WDF$&nbsp; und&nbsp; $\rm VTF$&nbsp; zwischen der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; und den Realisierungen&nbsp; $x ∈ X$&nbsp; unterschieden  &nbsp; ⇒ &nbsp; $f_{X}(x), F_{X}(x)$, so ergäbe sich folgende Nomenklatur:  
+
If in the definitions of&nbsp; $\rm PDF$&nbsp; and&nbsp; $\rm CDF$&nbsp; we had distinguished
 +
*between the random variable&nbsp; $X$&nbsp;  
 +
*and the realizations&nbsp; $x ∈ X$&nbsp; &nbsp; ⇒ &nbsp; $f_{X}(x), F_{X}(x)$,  
 +
 
 +
 
 +
we would have the following nomenclature:  
 
:$$F_{X}(x) = {\rm Pr}(X \le x) = \int_{-\infty}^{x}f_{x}(\xi)\,{\rm d}\xi.$$
 
:$$F_{X}(x) = {\rm Pr}(X \le x) = \int_{-\infty}^{x}f_{x}(\xi)\,{\rm d}\xi.$$
  
Leider haben wir uns zu Beginn unseres&nbsp; $\rm LNTwww$–Projektes (2001) aus durchaus berechtigten Gründen für unsere Nomenklatur entschieden, was nun (2017) nicht mehr zu ändern ist, auch im Hinblick auf die realisierten Lernvideos.  
+
Unfortunately,&nbsp; at the beginning of our&nbsp; $\rm LNTwww$ project&nbsp; (2001)&nbsp; we decided to use our nomenclature for quite legitimate reasons,&nbsp which now&nbsp; (2017)&nbsp; cannot be changed,&nbsp; also with regard to the realized learning videos.  
  
Wir bleiben also bei&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp; sowie&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $F_{X}(x).$}}  
+
'''So we stick with&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; instead of&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp; as well as&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; instead of&nbsp; $F_{X}(x).$}}
  
==Verteilungsfunktion bei kontinuierlichen Zufallsgrößen==
+
==CDF for continuous-valued random variables==
 
<br>
 
<br>
Die im letzten Abschnitt angegebenen Gleichungen gelten nur für wertkontinuierliche Zufallsgrößen und sollen hier durch ein Beispiel verdeutlicht werden.&nbsp; Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass für&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_diskreten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|diskrete Zufallsgrößen]]&nbsp; die Gleichungen etwas modifiziert werden müssen.
+
The equations given in the last section apply only to continuous-valued random variables and will be illustrated here by an example.&nbsp; In the next section it will be shown that for&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Cumulative_Distribution_Function#CDF_for_discrete-valued_random_variables|discrete-valued random variables]]&nbsp; the equations must be modified somewhat.
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Das linke Bild zeigt das Foto &bdquo;Lena",&nbsp; das häufig als Testvorlage für Bildcodierverfahren dient.  
+
$\text{Example 1:}$&nbsp; The left image shows the photo&nbsp; "Lena",&nbsp; which is often used as a test template for image coding procedures.
*Wird dieses Bild in&nbsp; $256 × 256$&nbsp; Bildpunkte&nbsp; (Pixel) unterteilt, und ermittelt man für jedes einzelne Pixel die Helligkeit, so erhält man eine Folge&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; von Grauwerten, deren Länge&nbsp; $N = 256^2 = 65536$&nbsp; beträgt.
+
[[File:P_ID617__Sto_T_3_2_S1b_neu.png |right|frame| PDF and CDF of a continuous-valued image]]
*Der Grauwert&nbsp; $x$&nbsp; ist eine wertkontinuierliche Zufallsgröße, wobei die Zuordnung zu Zahlenwerten willkürlich ist.&nbsp; Zum Beispiel sei „Schwarz” durch den Wert&nbsp; $x = 0$&nbsp; und „Weiß” durch&nbsp; $x = 1$&nbsp; charakterisiert.
+
*Der Zahlenwert&nbsp; $x =0.5$&nbsp; kennzeichnet dann eine mittlere Graufärbung.  
+
*If this image is divided into&nbsp; $256 × 256$&nbsp; (image) pixels,&nbsp; and the brightness is determined for each pixel,&nbsp; a sequence&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; of gray values is obtained whose length&nbsp; $N = 256^2 = 65536$.
 +
*The gray value&nbsp; $x$&nbsp; is a continuous-valued random variable,&nbsp; where the assignment to numerical values is arbitrary.&nbsp; For example,&nbsp; let&nbsp; "black"&nbsp; be characterized by the value&nbsp; $x = 0$&nbsp; and&nbsp; "white"&nbsp; by&nbsp; $x = 1$:&nbsp; The value&nbsp; $x =0.5$&nbsp; then characterizes a medium gray coloration.  
  
[[File:P_ID617__Sto_T_3_2_S1b_neu.png |center|frame| WDF und VTF eines wertkontinuierlichen Bildes]]
 
  
Im mittleren Bild ist die WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; dargestellt, die in der Literatur auch oft als&nbsp; &bdquo;Grauwertstatistik"&nbsp; bezeichnet wird.  
+
The middle diagram shows the PDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; which is also often referred to in the literature as&nbsp; "gray value statistics".  
*Es ist ersichtlich, dass im Originalbild einige Grauwerte bevorzugt sind und die beiden Extremwerte&nbsp; $x =0$&nbsp; („tiefes Schwarz”)&nbsp; bzw.&nbsp; $x =1$&nbsp; („reines Weiß”)&nbsp; nur sehr selten auftreten.  
+
*It can be seen that in the original image some gray values are preferred and the two extreme values&nbsp; $x =0$&nbsp; ("deep black")&nbsp; or&nbsp; $x =1$&nbsp; ("pure white")&nbsp; occur very rarely.  
*Die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; dieser kontinuierlichen Zufallsgröße ist stetig und steigt, wie das rechte Bild zeigt, von&nbsp; $0$&nbsp; auf&nbsp; $1$&nbsp; monoton an. Bei&nbsp; $r \approx 0$&nbsp; und&nbsp; $r \approx 1$&nbsp; verläuft die VTF aufgrund fehlender WDF&ndash;Anteile horizontal.
+
*The distribution function&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; of this continuous random variable is continuous and increases monotonically from&nbsp; $0$&nbsp; to&nbsp; $1$&nbsp; as the right figure shows.&nbsp;
 +
*For&nbsp; $r \approx 0$&nbsp; and&nbsp; $r \approx 1$&nbsp; the CDF is horizontal due to the lack of PDF components.
  
  
''Anmerkung:'' &nbsp; Genau genommen ist bei einem am Computer darstellbaren Bild – im Gegensatz zu einem „analogen” Foto – der Grauwert stets eine wertdiskrete Zufallsgröße.&nbsp; Bei großer Auflösung der Farbinformation („Farbtiefe”) kann man diese Zufallsgröße allerdings näherungsweise als wertkontinuierlich betrachten. }}
+
Note: &nbsp; Strictly speaking,&nbsp; for an image that can be displayed on a computer:&nbsp; In contrast to an "analog" photograph:
 +
# &nbsp; '''The gray value is always a discrete value random variable'''.&nbsp;
 +
# &nbsp; However,&nbsp; with large resolution of the color information&nbsp; ("color depth"),&nbsp; this random variable can be approximated to be continuous in value. }}
  
  
Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo&nbsp; [[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|Zusammenhang zwischen WDF und VTF]]&nbsp; zusammengefasst.
+
The topic of this chapter is illustrated with examples in the&nbsp; (German language)&nbsp; learning video&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|"Zusammenhang zwischen WDF und VTF"]]&nbsp; $\Rightarrow$ "Relationship between PDF and CDF".
  
  
==Verteilungsfunktion bei diskreten Zufallsgrößen==
+
==CDF for discrete-valued random variables==
 
<br>
 
<br>
Für die Berechnung der Verteilungsfunktion einer wertdiskreten Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; aus deren WDF muss stets von einer allgemeineren Gleichung ausgegangen werden.&nbsp; Hier gilt mit mit der Hilfsvariablen $\varepsilon > 0$:  
+
For the CDF calculation of a discrete valued random variable&nbsp; $x$&nbsp; from its PDF,&nbsp; a more general equation must always be assumed&nbsp; Here, with the auxiliary variable&nbsp; $\varepsilon > 0$:  
 
:$$F_{x}(r)=\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0}\int_{-\infty}^{r+\varepsilon}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
 
:$$F_{x}(r)=\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0}\int_{-\infty}^{r+\varepsilon}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
  
*Die Berechnung der Verteilungsfunktion durch Grenzwertbildung ist aufgrund des „≤”&ndash;Zeichens in der&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verteilungsfunktion#Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF|allgemeinen Definition]]&nbsp; erforderlich.
+
*The CDF calculation is here required  by boundary value formation due to the&nbsp; "less than/equal"&nbsp; sign in the&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Cumulative_Distribution_Function#Relationship_between_PDF_and_CDF|general definition]].
*Berücksichtigt man zudem, dass bei einer diskreten Zufallsgröße die WDF aus einer Summe gewichteter&nbsp; [[Signal_Representation/General_Description/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktionen]]&nbsp; besteht, so erhält man:  
+
*If we also take into account that,&nbsp; for a discrete valued random variable,&nbsp; the PDF consists of a sum of weighted&nbsp; [[Signal_Representation/Direct_Current_Signal_-_Limit_Case_of_a_Periodic_Signal#Dirac_.28delta.29_function_in_frequency_domain|Dirac delta functions]],&nbsp; we obtain:  
 
:$$F_{x}(r)=\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\int_{-\infty}^{r+\varepsilon}\sum\limits_{\mu= 1}^{ M}p_\mu\cdot \delta(x-x_\mu)\,{\rm d}x.$$
 
:$$F_{x}(r)=\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\int_{-\infty}^{r+\varepsilon}\sum\limits_{\mu= 1}^{ M}p_\mu\cdot \delta(x-x_\mu)\,{\rm d}x.$$
*Vertauscht man in dieser Gleichung Integration und Summation, und berücksichtigt, dass die Integration über die Diracfunktion die Sprungfunktion ergibt, so erhält man:  
+
*If we interchange integration and summation in this equation,&nbsp; and consider that integration over the Dirac delta function yields the step function,&nbsp; we obtain:  
:$$F_{x}(r)=\sum\limits_{\mu= \rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot \gamma_0 (r-x_\mu),\hspace{0.4cm}{\rm mit} \hspace{0.4cm}\gamma_0(x)=\lim_{\epsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\int_{-\infty}^{x+\varepsilon}\delta (u)\,{\rm d} u = \left\{ \begin{array}{*{2}{c}}  0 \hspace{0.4cm}  {\rm falls}\hspace{0.1cm} x< 0,\\ 1  \hspace{0.4cm} {\rm falls}\hspace{0.1cm}x\ge 0. \\ \end{array} \right.$$
+
:$$F_{x}(r)=\sum\limits_{\mu= \rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot \gamma_0 (r-x_\mu),\hspace{0.4cm}{\rm with} \hspace{0.4cm}\gamma_0(x)=\lim_{\epsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\int_{-\infty}^{x+\varepsilon}\delta (u)\,{\rm d} u = \left\{ \begin{array}{*{2}{c}}  0 \hspace{0.4cm}  {\rm if}\hspace{0.1cm} x< 0,\\ 1  \hspace{0.4cm} {\rm if}\hspace{0.1cm}x\ge 0. \\ \end{array} \right.$$
Hierzu ist anzumerken:
+
 
* $γ_0(x)$&nbsp; unterscheidet sich von der in der Systemtheorie üblichen&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Zuordnungssatz|Sprungfunktion]]&nbsp; $γ(x)$ dadurch, dass an der Sprungstelle&nbsp; $x = 0$&nbsp; der rechtsseitige Grenzwert &bdquo;Eins" gültig ist&nbsp; (anstelle des Mittelwertes &bdquo;$1/2$" zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert).  
+
It should be noted that:
*Mit obiger VTF-Definition gilt dann für die Wahrscheinlichkeit von kontinuierlichen und diskreten Zufallsgrößen gleichermaßen, und natürlich auch für&nbsp; ''gemischte Zufallsgrößen''&nbsp; mit diskreten und kontinuierlichen Anteilen:
+
* The function&nbsp; $γ_0(x)$&nbsp; differs from the&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Theorems#Assignment_Theorem|unit step function]]&nbsp; $γ(x)$&nbsp; often used in systems theory in that at the jump point&nbsp; $x = 0$&nbsp; the right-hand side limit&nbsp; "one"&nbsp; is valid&nbsp; $($instead of the mean value&nbsp; "$0.5$"&nbsp; between left&ndash; and right&ndash;hand side limits$)$.  
 +
*With the above CDF definition,&nbsp; the probability equation holds for continuous and discrete random variables equally,&nbsp; and of course also for&nbsp; "mixed random variables"&nbsp; with discrete and continuous parts:
 
:$${\rm Pr}(x_{\rm u}<x \le x_{\rm o})=F_x(x_{\rm o})-F_x(x_{\rm u}).$$
 
:$${\rm Pr}(x_{\rm u}<x \le x_{\rm o})=F_x(x_{\rm o})-F_x(x_{\rm u}).$$
*Bei rein kontinuierlichen Zufallsgrößen könnten hier das „Kleiner”–Zeichen und das „Kleiner/Gleich”–Zeichen gegenseitig ersetzt werden.  
+
*For purely continuous random variables,&nbsp; the&nbsp; "less than"&nbsp; sign and the&nbsp; "less than/equal to"&nbsp; sign could be substituted for each other here.  
 
:$${\rm Pr}(x_{\rm u}<x \le x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}\le x \le x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}\le x < x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}<x < x_{\rm o}).$$
 
:$${\rm Pr}(x_{\rm u}<x \le x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}\le x \le x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}\le x < x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}<x < x_{\rm o}).$$
  
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wird der Grauwert des&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|ursprünglichen Lena–Fotos]]&nbsp; mit acht Stufen quantisiert, so dass jedes einzelne Pixel durch drei Bit dargestellt und digital übertragen werden kann, so ergibt sich die diskrete Zufallsgröße&nbsp; $q$.&nbsp; Durch die Quantisierung geht allerdings ein Teil der Bildinformation verloren, was sich im quantisierten Bild durch deutlich erkennbare „Konturen” auswirkt.
+
$\text{Example 2:}$&nbsp; If the gray value of the&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Cumulative_Distribution_Function#CDF_for_continuous-valued_random_variables|original Lena photo]]&nbsp; is quantized by eight levels,&nbsp; so that each pixel can be represented by three bits and transmitted digitally,&nbsp; the discrete random variable&nbsp; $q$&nbsp; is obtained. &nbsp; However, due to the quantization,&nbsp; a part of the image information is lost,&nbsp; which is reflected in the quantized image by clearly recognizable&nbsp; "contours".
 
 
[[File:P_ID74__Sto_T_3_2_S2b_neu.png |center|frame| WDF und VTF eines wertdiskreten Bildes]]
 
 
 
*Die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{q}(q)$&nbsp; setzt sich aus&nbsp; $M = 8$&nbsp;  Diracfunktionen zusammen, wobei bei der hier gewählten Quantisierung den möglichen Graustufen die Werte&nbsp; $q_\mu = (\mu – 1)/7$&nbsp; mit&nbsp; $\mu = 1, 2,$ ... , $8$&nbsp; zugeordnet sind.
 
*Die Gewichte der Diracfunktionen kann man aus der WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; des Originalbildes berechnen.&nbsp; Man erhält
 
:$$p_\mu={\rm Pr}(q  = q_\mu ) = {\rm Pr}(\frac{2\mu-\rm 3}{14}< {x} \le\frac{2\it \mu- \rm 1}{14}) \rm = \int_{(2\it \mu- \rm 3)/14}^{(2\mu-1)/14}\it f_{x}{\rm (}x{\rm )}\,{\rm d}x.$$
 
*Für die undefinierten Randbereiche&nbsp; $(x<0$&nbsp;  bzw.&nbsp; $x>1)$&nbsp; ist hier jeweils&nbsp; $f_{x}(x) = 0$&nbsp; zu setzen.
 
*Da im Originalbild die Graustufen&nbsp; $x ≈0$&nbsp; („sehr tiefes Schwarz”) &nbsp;bzw.&nbsp; $x ≈1$&nbsp; („nahezu reines Weiß”)&nbsp; weitgehend fehlen, ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_1 ≈ p_8 ≈ 0$, und in der WDF sind tatsächlich nur sechs Diracfunktionen sichtbar. Diese beiden fehlenden Diracfunktionen bei&nbsp; $q = 0$&nbsp; und&nbsp; $q =1$&nbsp; sind in der mittleren Grafik nur durch Punkte angedeutet.  
 
  
*Die rechts skizzierte Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{q}(r)$&nbsp; weist somit sechs Unstetigkeitsstellen auf, bei denen jeweils der rechtsseitige Grenzwert gültig ist.}}
+
[[File:P_ID74__Sto_T_3_2_S2b_neu.png |right|frame| PDF and CDF of a discrete valued image]]
  
 +
*The associated PDF&nbsp; $f_{q}(q)$&nbsp; is composed of&nbsp; $M = 8$&nbsp; Dirac delta functions, where,&nbsp; in the quantization chosen here,&nbsp; the possible gray levels are assigned the values&nbsp; $q_\mu = (\mu - 1)/7$&nbsp; with&nbsp; $\mu = 1, 2,$ ... , $8$.
 +
*The weights of the Dirac delta functions can be calculated from the PDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; of the original image.&nbsp; One obtains
 +
:$$p_\mu={\rm Pr}(q = q_\mu ) = {\rm Pr}(\frac{2\mu-\rm 3}{14}< {x} \le\frac{2\it \mu- \rm 1}{14}) $$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_\mu={\rm Pr}(q = q_\mu ) = \int_{(2\it \mu- \rm 3)/14}^{(2\mu-1)/14}\it f_{x}{\rm (}x{\rm )}\,{\rm d}x.$$
 +
*For the undefined areas&nbsp; $(x<0$, &nbsp;  $x>1)$&nbsp; is to be set&nbsp; $f_{x}(x) = 0$&nbsp;.
 +
*Since in the original image the gray levels&nbsp; $x ≈0$&nbsp; ("very deep black") &nbsp;or&nbsp; $x ≈1$&nbsp; ("almost pure white")&nbsp; are largely missing,&nbsp; $p_1 ≈ p_8 ≈ 0$ result.
 +
* Thus,&nbsp; only six Dirac delta functions are visible in the PDF.&nbsp; The two missing Diracs at&nbsp; $q = 0$&nbsp; and&nbsp; $q =1$&nbsp; are only indicated by dots.
 +
*The step-shaped CDF&nbsp; $F_{q}(r)$&nbsp; sketched on the right thus has six points of discontinuity,&nbsp; where  in each case the right-hand side limit is valid.}}.
  
Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo&nbsp; [[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|Zusammenhang zwischen WDF und VTF]]&nbsp; zusammengefasst.
+
The topic of this chapter is illustrated with examples in the&nbsp; (German language)&nbsp; learning video&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|"Zusammenhang zwischen WDF und VTF"]]&nbsp; $\Rightarrow$ "Relationship between PDF and CDF".
  
  
==Aufgaben zum Kapitel==
+
==Exercises for the chapter==
 
<br>
 
<br>
[[Aufgaben:3.2 cos²- und Dirac-VTF|Aufgabe 3.2: $\cos^2$&ndash; und Dirac&ndash;VTF]]
+
[[Aufgaben:Exercise_3.2:_CDF_for_Exercise_3.1|Exercise 3.2: CDF for Exercise_3.1]]
  
[[Aufgaben:Aufgabe_3.2Z:_Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF|Aufgabe 3.2Z: Zusammenhang zwischen WDF und VTF]]
+
[[Aufgaben:Exercise_3.2Z:_Relationship_between_PDF_and_CDF|Exercise 3.2Z: Relationship between PDF and CDF]]
  
  
 
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Revision as of 14:27, 3 February 2022

Relationship between PDF and CDF


To describe random variables,  in addition to the  probability density function  $\rm (PDF)$,  we also use the  cumulative distribution function  $\rm (CDF)$  which is defined as follows:

$\text{Definition:}$  The  cumulative distribution function  $F_{x}(r)$  corresponds to the probability that the random variable  $x$  is less than or equal to a real number  $r$:

$$F_{x}(r) = {\rm Pr}( x \le r).$$


For a continuous random variable,  the following statements are possible regarding the CDF:

  • The CDF is computable from the probability density function  $f_{x}(x)$  by integration.  It holds:
$$F_{x}(r) = \int_{-\infty}^{r}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
  • Since the PDF is never negative,  $F_{x}(r)$  increases at least weakly monotonically,  and always lies between the following limits:
$$F_{x}(r → \hspace{0.05cm} - \hspace{0.05cm} ∞) = 0, \hspace{0.5cm}F_{x}(r → +∞) = 1.$$
  • Inversely,  the probability density function can be determined from the CDF by differentiation:
$$f_{x}(x)=\frac{{\rm d} F_{x}(r)}{{\rm d} r}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}r=x}.$$
The addition  "$r = x$"  makes it clear that in our nomenclature the PDF argument is the random variable itself, while the CDF argument specifies any real variable  $r$ .

$\text{Nomenclature Notes:}$ 

If in the definitions of  $\rm PDF$  and  $\rm CDF$  we had distinguished

  • between the random variable  $X$ 
  • and the realizations  $x ∈ X$    ⇒   $f_{X}(x), F_{X}(x)$,


we would have the following nomenclature:

$$F_{X}(x) = {\rm Pr}(X \le x) = \int_{-\infty}^{x}f_{x}(\xi)\,{\rm d}\xi.$$

Unfortunately,  at the beginning of our  $\rm LNTwww$ project  (2001)  we decided to use our nomenclature for quite legitimate reasons,&nbsp which now  (2017)  cannot be changed,  also with regard to the realized learning videos.

So we stick with  $f_{x}(x)$  instead of  $f_{X}(x)$  as well as  $F_{x}(r)$  instead of  $F_{X}(x).$

CDF for continuous-valued random variables


The equations given in the last section apply only to continuous-valued random variables and will be illustrated here by an example.  In the next section it will be shown that for  discrete-valued random variables  the equations must be modified somewhat.

$\text{Example 1:}$  The left image shows the photo  "Lena",  which is often used as a test template for image coding procedures.

PDF and CDF of a continuous-valued image
  • If this image is divided into  $256 × 256$  (image) pixels,  and the brightness is determined for each pixel,  a sequence  $〈x_ν〉$  of gray values is obtained whose length  $N = 256^2 = 65536$.
  • The gray value  $x$  is a continuous-valued random variable,  where the assignment to numerical values is arbitrary.  For example,  let  "black"  be characterized by the value  $x = 0$  and  "white"  by  $x = 1$:  The value  $x =0.5$  then characterizes a medium gray coloration.


The middle diagram shows the PDF  $f_{x}(x)$  which is also often referred to in the literature as  "gray value statistics".

  • It can be seen that in the original image some gray values are preferred and the two extreme values  $x =0$  ("deep black")  or  $x =1$  ("pure white")  occur very rarely.
  • The distribution function  $F_{x}(r)$  of this continuous random variable is continuous and increases monotonically from  $0$  to  $1$  as the right figure shows. 
  • For  $r \approx 0$  and  $r \approx 1$  the CDF is horizontal due to the lack of PDF components.


Note:   Strictly speaking,  for an image that can be displayed on a computer:  In contrast to an "analog" photograph:

  1.   The gray value is always a discrete value random variable
  2.   However,  with large resolution of the color information  ("color depth"),  this random variable can be approximated to be continuous in value.


The topic of this chapter is illustrated with examples in the  (German language)  learning video 
     "Zusammenhang zwischen WDF und VTF"  $\Rightarrow$ "Relationship between PDF and CDF".


CDF for discrete-valued random variables


For the CDF calculation of a discrete valued random variable  $x$  from its PDF,  a more general equation must always be assumed  Here, with the auxiliary variable  $\varepsilon > 0$:

$$F_{x}(r)=\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0}\int_{-\infty}^{r+\varepsilon}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
  • The CDF calculation is here required by boundary value formation due to the  "less than/equal"  sign in the  general definition.
  • If we also take into account that,  for a discrete valued random variable,  the PDF consists of a sum of weighted  Dirac delta functions,  we obtain:
$$F_{x}(r)=\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\int_{-\infty}^{r+\varepsilon}\sum\limits_{\mu= 1}^{ M}p_\mu\cdot \delta(x-x_\mu)\,{\rm d}x.$$
  • If we interchange integration and summation in this equation,  and consider that integration over the Dirac delta function yields the step function,  we obtain:
$$F_{x}(r)=\sum\limits_{\mu= \rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot \gamma_0 (r-x_\mu),\hspace{0.4cm}{\rm with} \hspace{0.4cm}\gamma_0(x)=\lim_{\epsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\int_{-\infty}^{x+\varepsilon}\delta (u)\,{\rm d} u = \left\{ \begin{array}{*{2}{c}} 0 \hspace{0.4cm} {\rm if}\hspace{0.1cm} x< 0,\\ 1 \hspace{0.4cm} {\rm if}\hspace{0.1cm}x\ge 0. \\ \end{array} \right.$$

It should be noted that:

  • The function  $γ_0(x)$  differs from the  unit step function  $γ(x)$  often used in systems theory in that at the jump point  $x = 0$  the right-hand side limit  "one"  is valid  $($instead of the mean value  "$0.5$"  between left– and right–hand side limits$)$.
  • With the above CDF definition,  the probability equation holds for continuous and discrete random variables equally,  and of course also for  "mixed random variables"  with discrete and continuous parts:
$${\rm Pr}(x_{\rm u}<x \le x_{\rm o})=F_x(x_{\rm o})-F_x(x_{\rm u}).$$
  • For purely continuous random variables,  the  "less than"  sign and the  "less than/equal to"  sign could be substituted for each other here.
$${\rm Pr}(x_{\rm u}<x \le x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}\le x \le x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}\le x < x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}<x < x_{\rm o}).$$

$\text{Example 2:}$  If the gray value of the  original Lena photo  is quantized by eight levels,  so that each pixel can be represented by three bits and transmitted digitally,  the discrete random variable  $q$  is obtained.   However, due to the quantization,  a part of the image information is lost,  which is reflected in the quantized image by clearly recognizable  "contours".

PDF and CDF of a discrete valued image
  • The associated PDF  $f_{q}(q)$  is composed of  $M = 8$  Dirac delta functions, where,  in the quantization chosen here,  the possible gray levels are assigned the values  $q_\mu = (\mu - 1)/7$  with  $\mu = 1, 2,$ ... , $8$.
  • The weights of the Dirac delta functions can be calculated from the PDF  $f_{x}(x)$  of the original image.  One obtains
$$p_\mu={\rm Pr}(q = q_\mu ) = {\rm Pr}(\frac{2\mu-\rm 3}{14}< {x} \le\frac{2\it \mu- \rm 1}{14}) $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_\mu={\rm Pr}(q = q_\mu ) = \int_{(2\it \mu- \rm 3)/14}^{(2\mu-1)/14}\it f_{x}{\rm (}x{\rm )}\,{\rm d}x.$$
  • For the undefined areas  $(x<0$,   $x>1)$  is to be set  $f_{x}(x) = 0$ .
  • Since in the original image the gray levels  $x ≈0$  ("very deep black")  or  $x ≈1$  ("almost pure white")  are largely missing,  $p_1 ≈ p_8 ≈ 0$ result.
  • Thus,  only six Dirac delta functions are visible in the PDF.  The two missing Diracs at  $q = 0$  and  $q =1$  are only indicated by dots.
  • The step-shaped CDF  $F_{q}(r)$  sketched on the right thus has six points of discontinuity,  where in each case the right-hand side limit is valid.

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The topic of this chapter is illustrated with examples in the  (German language)  learning video 
     "Zusammenhang zwischen WDF und VTF"  $\Rightarrow$ "Relationship between PDF and CDF".


Exercises for the chapter


Exercise 3.2: CDF for Exercise_3.1

Exercise 3.2Z: Relationship between PDF and CDF