Aufgabe 2.4Z: Kennlinienvermessung

From LNTwww

Vorgegebene Kennlinie  $y = g(x)$

Von einem nichtlinearen System ist bekannt, dass die Kennlinie wie folgt dargestellt werden kann:

$$y(t) = c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t).$$

Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang  $H(f)$  angebbar.

Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten  $c_1$  sowie des quadratischen Koeffizienten  $c_2$  werden nun verschiedene Rechteckimpulse  $x(t)$  – gekennzeichnet durch die Amplitude  $A_x$  und Breite  $T_x$  – an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude  $A_y$  am Ausgang gemessen.

Die ersten drei Versuchen ergeben folgende Werte:

  • $A_x = 1 \ {\rm V}, \; \; T_x = 8 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 0.55 \ {\rm V}$,
  • $A_x = 2 \ {\rm V}, \; \; T_x = 4 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 1.20 \ {\rm V}$,
  • $A_x = 3 \ {\rm V}, \; \; T_x = 2 \ {\rm ms}$ :     $A_y = 1.95 \ {\rm V}$.


Bei den Teilaufgaben  (3)  und  (4)  sei das Eingangssignal  $x(t)$  eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angegeben werden kann.

Dagegen wird für die Teilaufgabe  (5)  ein Dreieckimpuls mit Amplitude  $A_x = 3 \ {\rm V}$  und der einseitigen Impulsdauer  $T_x = 2 \ {\rm ms}$  betrachtet:

$$x(t) = A_x \cdot ( 1 - {|t|}/{T_x}) $$





Hinweise:

  • Im Fragenkatalog werden folgende Abkürzungen benutzt:
$$y_1(t) = c_1 \cdot x(t), \hspace{0.5cm} y_2(t) = c_2 \cdot x^2(t).$$


Fragebogen

1

Am Eingang liegt ein Rechteckimpuls  $x(t)$  mit Amplitude  $A_x$  und Dauer  $T_x$  an. 
Welche Aussagen gelten für den Ausgangsimpuls  $y(t)$?

Der Ausgangsimpuls  $y(t)$  ist dreieckförmig.
Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich   ⇒   $A_y = A_x$.
Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert   ⇒   $T_y = T_x$.

2

Berechnen Sie die beiden ersten Koeffizienten der Taylorreihe.

$c_1 \ = \ $

$c_2 \ = \ $

$\ \rm 1/V$

3

Welcher Klirrfaktor  $K$  wird mit dem Testsignal  $x(t) = 1 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$  gemessen? Das heißt:   $\underline{A_x = 1\hspace{0.08cm} \rm V}$.

$K \ = \ $

$\ \%$

4

Welcher Klirrfaktor  $K$  wird mit dem Testsignal  $x(t) = 3 \hspace{0.08cm} {\rm V} \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$  gemessen? Das heißt:   $\underline{A_x = 3\hspace{0.08cm} \rm V}$.

$K \ = \ $

$\ \%$

5

Welcher Ausgangsimpuls  $y(t)$  ergibt sich bei dreieckförmigem Eingangsimpuls? Wie lauten die Signalwerte bei  $ t = 0$  und  $ t = T_x/2$?

$y(t = 0) \ = \ $

$\ \rm V$
$y(t = T_x/2) \ = \ $

$\ \rm V$


Musterlösung

(1)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 3:

  • Ist der Eingangsimpuls  $x(t)$  rechteckförmig, so ist auch  $x^2(t)$  ein Rechteck mit Höhe  $A_x^2$  zwischen  $0$  und  $T_x$; außerhalb Null.
  • Auch das gesamte Ausgangssignal  $y(t)$  ist somit rechteckförmig mit der Amplitude
$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$
  • Für die Impulsdauer gilt:   $T_y = T_x$.


(2)  Mit den beiden ersten Parametersätzen kann folgendes lineares Gleichungssystem angegeben werden:

$$c_1 \cdot 1\,{\rm V} + c_2 \cdot (1\,{\rm V})^2 = 0.55\,{\rm V},$$
$$c_1 \cdot 2\,{\rm V} + c_2 \cdot (2\,{\rm V})^2 = 1.20\,{\rm V}.\hspace{0.05cm}$$
  • Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit  $-2$  und Addition der beiden Gleichungen erhält man:
$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2 = 0.1\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\cdot{1/\rm V}}.$$
  • Der Linearkoeffizient ist somit  $c_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}.$
  • Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren:
$$c_1 \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 0.5 \cdot 3\,{\rm V}+ 0.05 \ {1}/{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2 = 1.95\,{\rm V}.$$


(3)  Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang.

  • Ist  $X_+(f) = 1 \ {\rm V} \cdot \delta (f - f_0)$, so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang:
$$ Y_{+}(f)={c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+ {c_2}/{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$
  • Die Diracfunktion bei  $f = 0$  folgt aus der trigonometrischen Umformung  $\cos^2(\alpha) = 1/2 + 1/2 \cdot \cos(\alpha).$
  • Mit  $A_1 = c_1 \cdot A_x = 0.5 \ {\rm V} $  und  $A_2 = (c_2/2) \cdot A_x^2 = 0.025 \ {\rm V}^2 $  ergibt sich somit für den Klirrfaktor:
$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$


(4)  Entsprechend der Musterlösung zur letzten Teilaufgabe ist  $K$  proportional zu  $A_x$. Deshalb erhält man nun  $K \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \%}.$


(5)  Nun lautet das Ausgangssignal:

$$y(t)= c_1\cdot A_x \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right) +\hspace{0.1cm} {c_2}\cdot A_x^2 \cdot \left( 1 - {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/{T_x}\right)^2.$$
  • Zum Zeitpunkt  $t = 0$  bzw.  $t = T_x/2$  treten folgende Werte auf:
$$y(t=0) = c_1\cdot A_x + {c_2}\cdot A_x^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.95\,{\rm V}},$$
$$y(t=T_x/2) = c_1\cdot A_x \cdot {1}/{2} + \hspace{0.1cm}{c_2}\cdot A_x^2 \cdot {1}/{4}= 0.75\,{\rm V}+ 0.1125\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8625\,{\rm V}}.$$