Aufgabe 1.10Z: Gauß-Bandpass

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Gaußförmiger Bandpasskanal

Für diese Aufgabe setzen wir voraus:

  • Zur Modulation wird binäre Phasenmodulation (BPSK) verwendet.
  • Die Demodulation erfolgt frequenz– und phasensynchron.


Bei trägerfrequenzmodulierter Übertragung muss der Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  stets als Bandpass angesetzt werden. Die Kanalparameter sind zum Beispiel die Mittenfrequenz  $f_{\rm M}$  und die Bandbreite  $\Delta f_{\rm K}$, wobei die Mittenfrequenz  $f_{\rm M}$  oft mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  übereinstimmt.

In dieser Aufgabe soll insbesondere von einem Gaußbandpass entsprechend der Grafik ausgegangen werden. Für dessen Frequenzgang gilt:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f - f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ] +{\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( \frac {f + f_{\rm M} }{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 \right ]$$

Zur einfacheren Beschreibung benutzt man oft den äquivalenten TP–Frequenzgang  $H_{\rm K,TP}(f)$. Dieser ergibt sich aus  $H_{\rm K}(f)$  durch

  • Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen,
  • Verschieben des Spektrums um  $f_{\rm T}$  nach links.


Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit  $f_{\rm T} = f_{\rm M}$  für den äquivalenten TP–Frequenzgang:

$$ H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) = {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {f }/{\Delta f_{\rm K}}\right )^2 }.$$

Die entsprechende Zeitfunktion (Fourierrücktransformierte) lautet:

$$ h_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(t) = \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm e}^ { - \pi \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 }.$$

Zur Beschreibung eines phasensynchronen BPSK–Systems im Tiefpassbereich eignet sich aber auch der Frequenzgang

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] ,$$

wobei „MKD” für Modulator – Kanal – Demodulator steht. Häufig – aber nicht immer – sind  $H_{\rm MKD}(f)$  und  $H_{\rm K,TP}(f)$  identisch.



Hinweise:


Fragebogen

1

Geben Sie die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  des Gauß–Bandpasskanals an. Welcher (normierte) Wert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 0$?

$ h_{\rm K}(t)/\Delta f_{\rm K} \ = \ $

2

Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung  $f_{\rm T} = f_{\rm M}$?

$H_{\rm K,TP}(f)$  und  $H_{\rm MKD}(f)$  stimmen vollständig überein.
$H_{\rm K,TP}(f)$  und  $H_{\rm MKD}(f)$  sind für tiefe Frequenzen gleich.
Die Zeitfunktion  $h_{\rm K,TP}(t)$  ist reell.
Die Zeitfunktion  $h_{\rm MKD}(t)$  ist reell.

3

Welche Aussagen gelten unter der Voraussetzung $f_{\rm T} \neq f_{\rm M}$?

$H_{\rm K,TP}(f)$  und  $H_{\rm MKD}(f)$  stimmen vollständig überein.
$H_{\rm K,TP}(f)$  und  $H_{\rm MKD}(f)$  sind für tiefe Frequenzen gleich.
Die Zeitfunktion  $h_{\rm K,TP}(t)$  ist reell.
Die Zeitfunktion  $h_{\rm MKD}(t)$  ist reell.

4

Was sollte im Hinblick auf eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit gelten?

$f_{\rm M} = f_{\rm T}$,
$f_{\rm M} \neq f_{\rm T}$.


Musterlösung

(1)  Für den Bandpass–Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ kann geschrieben werden:

$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f) \star \big [ \delta (f - f_{\rm M}) + \delta (f + f_{\rm M}) \big ] .$$
  • Die Fourierrücktransformierte des Klammerausdrucks liefert eine Cosinusfunktion der Frequenz $f_{\rm M}$ mit der Amplitude $2$.
  • Nach dem Faltungssatz gilt somit:
$$h_{\rm K}(t) = 2 \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot {\rm exp} \left [ - \pi \cdot \left ( {\Delta f_{\rm K}} \cdot t \right )^2 \right ] \cdot \cos(2 \pi f_{\rm M} t ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm K}(t = 0)/\Delta f_{\rm K} \hspace{0.1cm}\underline {= 2}.$$
  • Das heißt: Die TP–Impulsantwort $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ ist formgleich mit der Hüllkurve der BP–Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$, aber doppelt so groß.


(2)  Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4:

  • Die erste Aussage ist falsch, da $H_{\rm MKD}(f)$ auch Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ besitzt.
  • Die Zeitfunktion $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ ist entsprechend der angegebenen Gleichung reell.
  • Gleiches gilt für $h_{\rm MKD}(t)$ auch unter Berücksichtigung der $\pm 2f_{\rm T}$–Anteile, da $H_{\rm MKD}(f)$ eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion ist.
  • Die Grafik zeigt $H_{\rm MKD}(f)$, der auch Anteile um $\pm 2f_{\rm T}$ besitzt. Bei tiefen Frequenzen ist $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ identisch mit $H_{\rm MKD}(f)$.


Resultierender Basisbandfrequenzgang für $f_{\rm M} = f_{\rm T}$

(3)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 4:

  • Hier unterscheiden sich $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$ auch bei den tiefen Frequenzen.
  • $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ ist eine Gaußfunktion mit dem Maximum bei $f_{ε} = f_{\rm M} - f_{\rm T}$.
  • Aufgrund dieser Unsymmetrie ist $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ komplex.
  • Dagegen ist $H_{\rm MKD}(f)$ weiterhin eine bezüglich $f = 0$ gerade Funktion mit reeller Impulsantwort $h_{\rm MKD}(t)$.
  • $H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich dabei aus zwei Gaußfunktionen bei $± f_ε$ zusammen.


Resultierender Basisbandfrequenzgangfür $f_{\rm M} \ne f_{\rm T}$

(4)  Richtig ist natürlich die erste Antwort.