Aufgabe 1.1Z: Redundanzfreie Binärquelle

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Diracförmiges Quellensignal

Eine jede digitale Quelle kann durch ihre Quellensymbolfolge

$$\langle q_\nu \rangle = \langle \hspace{0.05cm}q_0 \hspace{0.05cm}, q_1 \hspace{0.05cm}, q_2 \hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm} \rangle$$

vollständig beschrieben werden, wobei hier entgegen dem Theorieteil die Laufvariable  $\nu$  mit Null beginnt. Entstammt jedes einzelne Symbol  $q_\nu$  dem Symbolvorrat  $\{\rm L, \ H\}$, so spricht man von einer Binärquelle.

Unter Verwendung des Symbolabstandes  $T$  kann man die Quellensymbolfolge  $\langle q_\nu \rangle$  in äquivalenter Weise auch durch das diracförmige Quellensignal

$$q(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot {\rm \delta} ( t - \nu \cdot T)$$

kennzeichnen, was eher einer systemtheoretischen Betrachtungsweise entspricht. Hierbei bezeichnet man  $a_\nu$  als die Amplitudenkoeffizienten.

  • Im Falle einer binären unipolaren Digitalsignalübertragung gilt:
$$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
  • Entsprechend gilt bei einem bipolaren System:
$$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

In der Grafik ist das diracförmige Quellensignal  $q(t)$  einer Binärquelle dargestellt. Von dieser ist bekannt, dass sie redundanzfrei ist. Diese Aussage ist für die Lösung der Aufgabe durchaus relevant.




Hinweise:

  • In der Literatur werden die beiden möglichen Binärsymbole meist mit  $\rm L$  und  $\rm 0$  bezeichnet.
  • Um die etwas verwirrende Zuordnung  $a_\nu = 1$  für  $q_\nu =\rm 0$  und  $a_\nu = 0$  für  $q_\nu =\rm L$  zu vermeiden, werden in unserem Lerntutorial die Symbole  $\rm L$  ("Low") und  $\rm H$  ("High") verwendet.


Fragebogen

1

Wie groß ist der Symbolabstand  $T$?

$T \ = \ $

$\ \rm µ s$

2

Wie groß ist die von der Quelle abgegebene Bitrate  $R$?

$R \ = \ $

$\ \rm kbit/s$

3

Handelt es sich hierbei um die unipolare oder bipolare Repräsentation?

Die Symbolfolge ist unipolar.
Die Symbolfolge ist bipolar.

4

Wie lautet das Quellensymbol  $q_2$?

$q_2 = \rm L$,
$q_2 = \rm H$.

5

Wie groß ist die Symbolwahrscheinlichkeit  $p_{\rm H} = {\rm Pr}(q_\nu = \rm H$)?

$p_{\rm H} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Entsprechend der Grafik beträgt der Abstand zweier Symbole $\underline{T = 2\ \rm µ s}$.


(2)  Bei dieser redundanzfreien Binärquelle – und nur bei einer solchen – ist die Bitrate $R = 1/T\hspace{0.15cm}\underline{=500 \ \rm kbit/s}$.


(3)  Die möglichen Amplitudenkoeffizienten sind $\pm 1$. Deshalb ist die gegebene Symbolfolge bipolar.


(4)  Der Amplitudenkoeffizient $a_2$ kann bei $2T = 4 \ \rm µ s$ abgelesen werden.

  • Bei bipolarer Zuordnung folgt aus $a_2 = -1$ für das Symbol $q_2 \hspace{0.15cm}\underline {=\rm L}$.


(5)  Auch wenn die Grafik für den hier dargestellten kurzen Zeitabschnitt etwas anderes suggeriert:

  • Bei einer redundanzfreien Binärquelle muss neben der statistischen Unabhängigkeit der Symbole auch $p_{\rm H} = p_{\rm L}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$ (gleichwahrscheinliche Symbole) gelten.