Aufgabe 1.1Z: Summe zweier Ternärsignale

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Summe $S$ zweier
Ternärsignale  $X$  und  $Y$

Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen  $X$  und  $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte  $-1$,  $0$  und  $+1$  annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.

  • Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal  $S = X + Y$.
  • Bei der Signalquelle  $X$  treten die Werte  $-1$,  $0$  und  $+1$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
  • Bei der Quelle  $Y$  ist der Signalwert  $0$  doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte  $-1$  bzw.  $+1$.




Hinweise:

  • Lösen Sie die Teilaufgaben  (3)  und  (4)  nach der klassischen Definition.
  • Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals  $Y$.
  • Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo  Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit  zusammengefasst.



Fragebogen

1

Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von  $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $Y = 0$  ist ?

${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $

2

Wieviele unterschiedliche Signalwerte  $(I)$  kann das Summensignal  $S$  annehmen? Welche sind dies?

$ I \ = \ $

3

Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe  (2)  ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert  $S_{\rm max}$?

$ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $

4

Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz  $D = X - Y$  betrachtet wird?  Begründen Sie Ihre Antwort.

Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.  Wie ändern sie sich?


Musterlösung

(1)  Da die Wahrscheinlichkeiten von  $ \pm 1$  gleich sind und  ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$  gilt, erhält man:

$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$


(2)  $S$  kann insgesamt  $\underline {I =5}$  Werte annehmen, nämlich  $0$,  $\pm 1$  und  $\pm 2$.


Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen

(3)  Da  $Y$  nicht gleichverteilt ist, kann man hier (eigentlich) die "Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit" nicht anwenden.

  • Teilt man  $Y$  jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis  $Y = 0$  zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
  • Man erhält dann:
$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
$${\rm Pr}(S = +1) = {\rm Pr}(S = -1) ={3}/{12} = {1}/{4},$$
$${\rm Pr}(S = +2) = {\rm Pr}(S = -2) ={1}/{12}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(S = S_{\rm max}) = {\rm Pr}(S = +2) =1/12 \;\underline {= 0.0833}.$$


(4)  Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal  $D$  und das Summensignal  $S$  die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.

  • Dies war zu erwarten, da  ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$  vorgegeben ist   ⇒   Lösungsvorschlag 1.