Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen

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Ziffernmengen  $A$,  $B$,  $C$

Die Grundmenge  $G$  sei die Menge aller Ziffern zwischen  $1$  und  $9$.  Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:

$$A = \big[\text{die Ziffern} \leqslant 3\big],$$
$$ B = \big[\text{die durch 3 teilbaren Ziffern}\big],$$
$$ C = \big[\text{die Ziffern 5, 6, 7, 8}\big],$$

Daneben seien noch weitere Mengen definiert:

$$D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B),$$
$$E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B), $$
$$F = (A \cup C) \cap \overline B, $$
$$G = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$

Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen  $D$,  $E$,  $F$  und  $H$  gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen.
Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.





Hinweise:


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

$A$  und  $B$  sind disjunkte Mengen.
$A$  und  $C$  sind disjunkte Mengen.
$B$  und  $C$  sind disjunkte Mengen.

2

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Die Vereinigungsmenge  $A \cup B \cup C$  ergibt die Grundmenge  $G$.
Die Komplementärmenge zu  $A \cap B \cap C$  ergibt die Grundmenge  $G$.

3

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Die Komplementärmengen von  $D$  und  $E$  sind identisch.
$F$  ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von  $B$.
Die Mengen  $B$,  $C$  und  $D$  bilden ein vollständiges System.
Die Mengen  $A$,  $C$  und  $H$  bilden ein vollständiges System.


Musterlösung

Für die weiteren in der Aufgabe definierten Mengen gilt:

$$ D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) =\big[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}\big] \cup \big[\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}\big] = \{1, 2, 6, 9\},$$
$$ E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B) = (A \cap \overline A) \cup (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) \cup (\overline A \cap \overline B) = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\},$$
$$F = (A \cup C= \cap \overline B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\},$$
$$H = (\bar A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C) = (\overline A \cap \overline C) \cup \phi = \{4, 9\}.$$

(1)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2:

  • $A$  und  $C$  haben kein gemeinsames Element.
  • $A$  und  $B$  beinhalten jeweils die  $3$.
  • $B$  und  $C$  beinhalten jeweils die  $6$.


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Keine Ziffer ist gleichzeitig in  $A$,  $B$  und  $C$  enthalten   ⇒   $ A \cap B \cap C = \phi$   ⇒   $ \overline{A \cap B \cap C} = \overline{\phi} = G$.
  • Der erste Vorschlag ist dagegen falsch. Es fehlt die  $4$.


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

  • Der erste Vorschlag ist richtig:   Die Mengen  $D$  und  $E$  enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.
  • Auch der zweite Vorschlag ist richtig:   Allgemein, das heißt für beliebige  $X$  und  $B$  gilt:  $X \cap \overline B \subset \overline B \ \Rightarrow$   Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \overline B$.
  • Auch der letzte Vorschlag ist richtig:   $A = \{1, 2, 3\},$  $C = \{5, 6, 7, 8\}$  und  $H = \{4, 9\}$ bilden ein "vollständiges System".
  • Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil  $B$  und  $C$  nicht disjunkt sind.