Aufgabe 1.4: 2S/3E-Kanalmodell

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$\rm 2S/3E$-Kanalmodell

Ein Sender gibt die binären Symbole  $\rm L$  $($Ereignis  $S_{\rm L})$  und  $\rm H$  $($Ereignis  $S_{\rm H})$  ab.

  • Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole  $\rm L$  $($Ereignis  $E_{\rm L})$  oder  $\rm H$  $($Ereignis  $E_{\rm H})$.
  • Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung  $($Ereignis  $E_{\rm K})$;  $\rm K$  steht hierbei für „Keine Entscheidung”).


Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten.  Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes  $\rm L$  durchaus als Symbol  $\rm H$  empfangen werden kann.  Dagegen ist der Übergang von  $\rm H$  nach  $\rm L$  nicht möglich.

Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien  ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$  und  ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.




Hinweise:


Fragebogen

1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol  $\rm L$  entscheidet?

${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = \ $

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol  $\rm H$  entscheidet?

${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = \ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Empfänger keine Entscheidung trifft?

${\rm Pr}(E_{\rm K}) \ = \ $

4

Mit welcher Wahrscheinlichkeit entscheidet der Empfänger falsch?

$\text{Pr(falsche Entscheidung)} \ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich das Symbol  $\rm L$  gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol  $\rm L$  entschieden hat?

${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol  $\rm L$  gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft?

${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $


Musterlösung

(1)  Nur wenn das Symbol  $\rm L$  gesendet wurde, kann sich der Empfänger beim gegebenen Kanal für das Symbol  $\rm L$  entscheiden.

  • Die Wahrscheinlichkeit für ein empfangenes  $\rm L$  ist allerdings um den Faktor  $0.7$  kleiner als für ein gesendetes. Daraus folgt:
$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$


(2)  Zum Ereignis  $E_{\rm H}$  kommt man sowohl von  $S_{\rm H}$  als auch von  $S_{\rm L}$  aus. Deshalb gilt:

$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = \rm 0.66}.$$


(3)  Die Ereignisse  $E_{\rm H}$,  $E_{\rm L}$  und  $E_{\rm K}$  bilden zusammen ein vollständiges System. Daraus folgt:

$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr} (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$


(4)  Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren:

$${\rm Pr} \text{(falsche Entscheidung)} = {\rm Pr} \big [(S_{\rm L} \cap E_{\rm H}) \cup (S_{\rm H} \cap E_{\rm L})\big ] = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$


(5)  Wenn das Symbol  $\rm L$  empfangen wurde, kann nur  $\rm L$  gesendet worden sein. Daraus folgt:

$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$


(6)  Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich zum Beispiel der Satz von Bayes:

$${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$