Aufgabe 1.6: Übergangswahrscheinlichkeiten

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$20$  Realisierungen der betrachteten Markovkette

Rechts sehen Sie  $20$  Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$:

  • Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn  $(ν = 0)$  das Ereignis  $A$  überwiegt.
  • Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab  $ν = 4$  – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis  $B$  auf.


Durch Mittelung über Millionen von Realisierungen wurden einige Ereigniswahrscheinlichkeiten numerisch ermittelt:

$${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) \approx 0.4.$$

Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden, um die Parameter (Übergangswahrscheinlichkeiten) der Markovkette (näherungsweise) zu ermitteln.




Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten  $ν = 0$,  $ν = 1$  und  $ν = 9$, wenn man nur die  $20$  dargestellten Realisierungen berücksichtigt?

${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \ = \ $

${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \ = \ $

${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}9}) \ = \ $

2

Welche der Aussagen sind aufgrund der Musterfolgen zutreffend?

Nach  $A$  ist  $B$  wahrscheinlicher als  $A$.
Sowohl nach  $A$  als auch nach  $B$  kann wieder  $A$  oder  $B$  folgen.
Die Folge "$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\text{...}$" ist nicht möglich.

3

Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette. Wie groß sind insbesondere  ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$  und  ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$?

${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ = \ $

${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils  $B$  sind?

${\rm Pr}(B_0, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , B_9)\ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge  "$A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A$"  erzeugt wird?

${\rm Pr}(A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A)\ = \ $

$\ \%$


Musterlösung

(1)  Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind:

$${\rm Pr}(A_{\nu=0}) = 17/20 \;\underline{= 0.85}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_{\nu=1}) = 2/20 \;\underline{= 0.10}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_{\nu=9}) = 8/20 \;\underline{= 0.40}.$$


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Nach  $A$  folgt  $B$  sehr viel häufiger als  $A$, das heißt, es wird sicher  ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) > {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$  sein.
  • Alle vier Übergänge zwischen den zwei Ereignissen  $A$  und  $B$  sind möglich.  Daraus folgt, dass alle vier Übergangswahrscheinlichkeiten ungleich Null sein werden.
  • Wegen  ${\rm Pr}(B_\text{v=0}) \ne 0$  und  ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ne 0$  kann natürlich auch die Folge  "$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{0.15cm}...$"  erzeugt werden, auch wenn diese bei den zwanzig hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist.


(3)  Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit den Abkürzungen  ${\rm Pr}(A_0) = {\rm Pr}(A_{\nu=0})$  und  ${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A_{\nu=1})$:

$${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B_0).$$
  • Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind  ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.4$  und  ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(B_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.6$.  Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:
$${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B).$$
  • Mit den angegebenen Zahlenwerten erhält man aus diesen letzten beiden Gleichungen:
$$0.15 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.90 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.10 ,$$
$$0.40 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.40 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.60 .$$
  • Multipliziert man die erste Gleichung mit  $6$  und subtrahiert davon die zweite, so ergibt sich:
$$0.5 = 5 \cdot {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$
  • Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man  $ {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind:
$${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 0.9, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)\ \underline{= 0.4}.$$


(4)  Dieser Fall ist nur dann möglich, wenn die Markovkette mit  $B$  beginnt und danach neunmal ein Übergang von  $B$  nach  $B$  stattfindet:

$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$


(5)  Hier muss von der ergodischen Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(A)$  ausgegangen werden und man erhält:

$${\rm Pr}(A_{\nu}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +1}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +2},\hspace{0.05cm} A_{\nu +3}) = {\rm Pr}(A) \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 8.64 \% }.$$