Aufgabe 1.7Z: BARBARA-Generator

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$BARBARA$-Generator

Betrachtet wird hier ein ternärer Zufallsgenerator mit den Symbolen  $A$,  $B$  und  $R$, der durch eine homogene und stationäre Markovkette erster Ordnung beschrieben werden kann.

  • Die Übergangswahrscheinlichkeiten können dem skizzierten Markovdiagramm entnommen werden.
  • Für die ersten drei Teilaufgaben soll stets  $p = 1/4$  gelten.




Hinweis:


Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

Die Werte von  $p > 0$  und  $q < 1$  sind weitgehend frei wählbar.
Für die Übergangswahrscheinlichkeiten muss gelten:   $p + q = 1$.
Alle Symbole haben gleiche ergodische Wahrscheinlichkeiten.
Es gilt hier:  ${\rm Pr}(A) = 1/2, \; {\rm Pr}(B) = 1/3, \; {\rm Pr}(R) = 1/6$.

2

Wie groß sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$,  $p_{\rm B}$  und  $p_{\rm C}$, dass zu den Zeiten zwischen  $ν+1$  und  $ν+7$  die Sequenz  $BARBARA$  ausgegeben wird,
wenn man sich zum Zeitpunkt  $ν$  im Zustand  $A$,  $B$  bzw.  $R$  befindet?  Es gelte  $p = 1/4$.

$p_{\rm A} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3}$
$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3}$
$p_{\rm C} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3}$

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit insgesamt, dass der Generator zu sieben aufeinanderfolgenden Zeitpunkten die Sequenz  $BARBARA$  ausgibt?
Es gelte weiter  $p = 1/4.$

${\rm Pr}(BARBARA)\ = \ $

$\ \cdot 10^{-3}$

4

Wie ist der Parameter  $p_{\rm opt}$  zu wählen, damit  ${\rm Pr}(BARBARA)$  möglichst groß wird?
Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich damit für  $BARBARA$?

$p_{\rm opt} \ = \ $

$p = p_{\rm opt}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(BARBARA)\ = \ $

$\ \cdot 10^{-3}$


Musterlösung

(1)  Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:

  • Die Summe aller abgehenden Pfeile muss immer  $1$  sein. Deshalb gilt  $q = 1 - p$.
  • Aufgrund der Symmetrie des Markovdiagramms sind die ergodischen Wahrscheinlichkeiten alle gleich:
$${\rm Pr}(A) ={\rm Pr}(B) ={\rm Pr}(R) = 1/3.$$


(2)  Wenn man zum Startzeitpunkt  $\nu = 0$  im Zustand  $B$  ist, ist für den Zeitpunkt  $\nu=1$  wegen  ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0$ der Zustand  $B$  nicht möglich.

  • Man scheitert hier bereits beim Anfangsbuchstaben $B$:
$$p_{\rm B} \; \underline{ =0}.$$
  • Für die Berechnung von  $p_{\rm A}$  ist zu beachten:   Ausgehend von  $A$  geht man im Markovdiagramm zunächst zu  $B$  $($mit der Wahrscheinlichkeit $q)$, dann fünfmal im Uhrzeigersinn  $($jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p)$  und schließlich noch von  $R$  nach  $A$  $($mit der Wahrscheinlichkeit  $q)$.  Das bedeutet:
$$p_{\rm A} = q^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 = 3^2 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.549 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
  • In ähnlicher Weise erhält man:
$$p_{\rm R} = q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^6 = 3 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.183 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$


(3)  Durch Mittelung über die bedingten Wahrscheinlichkeiten erhält man:

$${\rm Pr}(BARBARA) = p_{\rm A} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm B} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm R} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(R).$$

Dies führt zum Ergebnis:

$${\rm Pr}(BARBARA) = {1}/{3} \cdot \left( q^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}0 \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^6 \right) = \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \cdot (p+q) = \hspace{-0.15cm} \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.244 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$


(4)  Die im Punkt  (3)  berechnete Wahrscheinlichkeit lautet  $p^5 \cdot (1-p)/3$, wobei  $q= 1-p$  berücksichtigt ist.

  • Durch Nullsetzen des Differentials erhält man die Bestimmungsgleichung:
$$5 \cdot p^4 - 6 \cdot p^5 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm opt} = 5/6 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.833}.$$
  • Damit ergibt sich ein gegenüber der Teilaufgabe  (3)  etwa um den Faktor  $90$  größerer Wert:
$${\rm Pr}(BARBARA) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 22 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$