Aufgabe 2.10Z: Coderate und minimale Distanz

From LNTwww

Die beiden Erfinder der Reed–Solomon–Codes

Die von  Irving Stoy Reed  und  Gustave Solomon  Anfang der 1960er Jahre entwickelten Codes werden in diesem Tutorial wie folgt bezeichnet:

$${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min}) _q.$$

Die Codeparameter haben folgende Bedeutungen:

  • $q = 2^m$  ist ein Hinweis auf die Größe des Galoisfeldes   ⇒   ${\rm GF}(q)$,
  • $n = q - 1$  ist die Codelänge (Symbolanzahl eines Codewortes),
  • $k$  gibt die Dimension an (Symbolanzahl eines Informationsblocks),
  • $d_{\rm min}$  bezeichnet die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten. Für jeden Reed–Solomon–Codes gilt  $d_{\rm min} = n - k + 1$.
  • Mit keinem anderen Code mit gleichem  $k$  und  $n$  ergibt sich ein größerer Wert.





Hinweise:



Fragebogen

1

Geben Sie die Kenngrößen des  ${\rm RSC} \, (255, \, 223, \, d_{\rm min})_q$  an.

$q \hspace{0.2cm} = \ $

$e \hspace{0.2cm} = \ $

$t \hspace{0.2cm} = \ $

$R \hspace{0.2cm} = \ $

$d_{\rm min} \ = \ $

2

Geben Sie die Kenngrößen des  $\rm RSC \, (2040, \, 1784, \, d_{\rm min})_2$  an.

$R \hspace{0.2cm} = \ $

$d_{\rm min} \ = \ $

3

Wieviele Bitfehler  $(N_3)$  darf ein Empfangswort  $\underline{y}$  maximal aufweisen, damit es mit Sicherheit richtig decodiert wird?

$N_{3} \ = \ $

4

Wieviele Bitfehler  $(N_4)$  darf ein Empfangswort  $\underline{y}$  im günstigsten Fall aufweisen, damit es noch richtig decodiert werden könnte?

$N_{4} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Aus der Codelänge $n = 255$ folgt $q \ \underline{= 256}$.

  • Die Coderate ergibt sich zu $R = {223}/{255} \hspace{0.15cm}\underline {=0.8745}\hspace{0.05cm}.$
  • Die minimale Distanz beträgt $d_{\rm min} = n - k +1 = 255 - 223 +1 \hspace{0.15cm}\underline {=33}\hspace{0.05cm}.$
  • Damit können
  • $e = d_{\rm min} - 1 \ \underline{= 32}$ Symbolfehler erkannt werden, und
  • $t = e/2$ (abgerundet), also $\underline{t = 16}$ Symbolfehler korrigiert werden.


(2)  Der Code $\rm RSC \, (2040, \, 1784, \, d_{\rm min})_2$ ist die Binärrepräsentation des unter (1) behandelten ${\rm RSC} \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$ mit genau der gleichen Coderate $R \ \underline{= 0.8745}$ und ebenfalls gleicher Minimaldistanz $d_{\rm min} \ \underline{= 33}$ wie dieser. Hier werden pro Codesymbol $8$ Bit (1 Byte) verwendet.


(3)  Aus $d_{\rm min} = 33$ folgt wieder $t = 16 \ \Rightarrow \ N_{3} \ \underline{= 16}$.

  • Ist in jedem Codesymbol genau ein Bit verfälscht, so bedeutet dies gleichzeitig auch 16 Symbolfehler.
  • Dies ist der maximale Wert, den der Reed–Solomon–Decoder noch verkraften kann.


(4)  Der RS–Decoder kann 16 verfälschte Codesymbole korrigieren,

  • wobei es egal ist, ob in einem Codesymbol nur ein Bit oder alle $m = 8$ Bit verfälscht wurden.
  • Deshalb können bei der günstigsten Fehlerverteilung bis zu $N_4 = 8 \cdot 16 \ \underline{= 128}$ Bit verfälscht sein, ohne dass das Codewort falsch decodiert wird.