Aufgabe 2.3: Sinusförmige Kennlinie

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Sinusförmige Kennlinie

Wie betrachten ein System mit Eingang  $x(t)$  und Ausgang  $y(t)$. Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet.

Der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal  $x(t)$  und dem Ausgangssignal  $y(t)$  ist im Bereich zwischen  $-\pi/2$  und  $+\pi/2$  durch die folgende Kennlinie gegeben.

$$g(x) = \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.05cm}\text{...}$$

Der zweite Teil dieser Gleichung beschreibt dabei die Reihenentwicklung der Sinusfunktion.

Als Näherungen für die nichtlineare Kennlinie werden in dieser Aufgabe verwendet:

$$g_1(x) = x\hspace{0.05cm},$$
$$ g_3(x) = x- x^{3}\hspace{-0.1cm}/6\hspace{0.05cm},$$
$$g_5(x) = x- x^3\hspace{-0.1cm}/{6}+x^5\hspace{-0.1cm}/{120}\hspace{0.05cm}.$$

Es wird stets das Eingangssignal  $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$  vorausgesetzt, wobei für die (dimensionslose) Signalamplitude die Werte  $A = 0.5$,  $A = 1.0$  und  $A = 1.5$  zu betrachten sind.





Hinweise:

  • Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand  $R = 1 \ \rm \Omega$  und haben somit die Einheit  ${\rm V}^2$.
  • Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen:
$$\cos^3(\alpha) = {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha) \hspace{0.05cm}, $$
$$ \cos^5(\alpha) = {10}/{16} \cdot \cos(\alpha) + {5}/{16} \cdot \cos(3\alpha) + {1}/{16} \cdot \cos(5\alpha)\hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Welchen Klirrfaktor  $K$  erhält man mit der Kennliniennäherung  $\underline{g_1(x)}$  unabhängig von der Amplitude  $A$  des Eingangssignals?

$K \ = \ $

$\ \%$

2

Berechnen Sie den Klirrfaktor  $K$  für das Eingangssignal  $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$  und die Näherung  $\underline{g_3(x)}$.
Welche Werte ergeben sich für  $A = 0.5$  und  $A = 1.0$?

$A = 0.5\hspace{-0.08cm}:\ \ K \ = \ $

$\ \%$
$A = 1.0\hspace{-0.08cm}:\ \ K \ = \ $

$\ \%$

3

Wie lautet der Klirrfaktor für  $\underline{A = 1.0}$  unter Berücksichtigung der Näherung  $\underline{g_5(x)}$?

$K \ = \ $

$\ \%$

4

Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Hierbei bezeichnet  $K$  den Klirrfaktor der Sinusfunktion  $g(x)$.
$K_{\rm g3}$  und  $K_{\rm g5}$  basieren auf den Näherungen  $g_3(x)$  bzw.  $g_5(x)$.

$K_{\rm g5}$  stellt im Allgemeinen eine bessere Näherung für  $K$  dar als  $K_{\rm g3}$.
Für  $A = 1.0$  gilt  $K_{\rm g3} < K_{\rm g5}$.
Für  $A = 0.5$  wird  $K_{\rm g3} \approx K_{\rm g5}$ gelten.


Musterlösung

(1)  Die sehr ungenaue Näherung  $g_1(x) = x$  ist linear in  $x$  und führt deshalb auch nicht zu nichtlinearen Verzerrungen. Damit ergibt sich für den Klirrfaktor $\underline{K = 0}$.


(2)  Das analytische Spektrum (nur positive Frequenzen) des Eingangssignals lautet:

$$X_+(f) = A \cdot {\rm \delta}(f- f_0) .$$
  • Am Ausgang der nichtlinearen Kennlinie  $g_3(x)$  liegt dann folgendes Signal an:
$$y(t) = A \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) - \frac{A^3}{6} \cdot {\rm cos}^3(\omega_0 t )= A \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) - \frac{3}{4} \cdot \frac{A^3}{6} \cdot {\rm cos}(\omega_0 t )- \frac{1}{4} \cdot \frac{A^3}{6} \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t ) = A_1 \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) + A_3 \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t ).$$
  • Für die Koeffizienten  $A_1$  und $A_3$ erhält man durch Koeffizientenvergleich:
$$A_1 = A - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{8}, \hspace{0.5cm}A_3 = - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{24}.$$
  • Mit $A = 0.5$ ergibt sich $A_1 \approx 0.484$ und  $A_3 \approx 0.005$. Somit lautet der Klirrfaktor:
$$K = K_3 ={|A_3|}/{A_1}= {0.005}/{0.484} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1.08\%}.$$
Anzumerken ist, dass bei der Näherung  $g_3(x)$  nur der kubische Anteil  $K_3$  des Klirrfaktors wirksam ist.
  • Für  $A = 1.0$  und  $A = 1.5$  ergeben sich folgende Zahlenwerte:
$$A = 1.0: A_1 \approx 0.875, \hspace{0.2cm} A_3 \approx -0.041\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{K \approx 4.76\%}\; \; \Rightarrow \; \; K_{g3},$$
$$A = 1.5: A_1 \approx 1.078, \hspace{0.2cm} A_3 \approx -0.140\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}{K \approx 13 \%}.$$


(3)  In ähnlicher Weise wie beim Unterpunkt  (2)  gilt nun

$$y(t) = A_1 \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) + A_3 \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t )+ A_5 \cdot {\rm cos}(5\omega_0 t )$$
mit folgenden Koeffizienten:
$$A_1 = A - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{8} + {A^5}\hspace{-0.1cm}/{192},\hspace{0.3cm} A_3 = - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{24} + {A^5}\hspace{-0.1cm}/{384},\hspace{0.3cm} A_5 = {A^5}\hspace{-0.1cm}/{1920}.$$
  • Daraus ergeben sich mit  $A=1$  die Zahlenwerte:
$$A_1 \approx 1 -0.125 +0.005 = 0.880,\hspace{0.3cm} A_3 \approx -0.042 +0.003 = -0.039,\hspace{0.3cm} A_5 \approx 0.0005$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}K_3 = {|A_3|}/{A_1}= 0.0443,\hspace{0.3cm}K_5 = {|A_5|}/{A_1}= 0.0006 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \sqrt{K_3^2 + K_5^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.45\%} \; \; \Rightarrow \; \; K_{g5}.$$


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Der Ansatz  $g_5(x)$  ist im gesamten Bereich eine bessere Näherung für die Sinusfunktion  $g(x)$  als die Näherung  $g_3(x)$.
  • Deshalb ist der in der Teilaufgabe  (3)  berechnete Wert  $K_{g5}$  eine bessere Näherung für den tatsächlichen Klirrfaktor als  $K_{g3}$.
    die erste Aussage ist somit richtig.
  • Die zweite Aussage ist falsch, wie schon die Berechnung für  $A=1$  gezeigt hat:   $K_{g3} \approx 4.76 \%$  ist größer als  $K_{g5} \approx 4.45 \%$.
  • Der Grund hierfür ist, dass $g_3(x)$ unterhalb von $g_5(x)$ liegt und damit auch eine größere Abweichung vom linearen Verlauf vorliegt.
  • Für  $A=0.5$  wird  $K_{g5} \approx K_{g3} = 1.08 \%$  gelten.
  • Die Kennlinie auf der Angabenseite zeigt, dass für  $|x| \le 0.5$  die Funktionen  $g_3(x)$  und  $g_5(x)$  innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
  • Damit ergeben sich auch gleiche Klirrfaktoren.