Aufgabe 3.10Z: ML–Decodierung von Faltungscodes

From LNTwww

Gesamtsystemmodell
Coder – Kanal – Viterbi

Der Viterbi–Algorithmus stellt die bekannteste Realisierungsform für die Maximum–Likelihood–Decodierung eines Faltungscodes dar. Wir gehen hier von folgendem Modell aus:

  • Die Informationssequenz  $\underline{u}$  wird durch einen Faltungscode in die Codesequenz  $\underline{x}$  umgesetzt. Es gelte  $u_i ∈ \{0, \, 1\}$. Dagegen werden die Codesymbole bipolar dargestellt   ⇒   $x_i ∈ \{–1, \, +1\}$.
  • Der Kanal sei durch das  BSC–Modell  gegeben   ⇒   $y_i ∈ \{–1, \, +1\}$  oder es wird der  AWGN–Kanal  vorausgesetzt   ⇒   reellwertige Empfangswerte  $y_i$.
  • Bei gegebener Empfangssequenz  $\underline{y}$  entscheidet sich der Viterbi–Algorithmus für die Codesequenz  $\underline{z}$  gemäß
$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.$$
$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Als weiteres Ergebnis gibt der Viterbi–Algorithmus zusätzlich die Sequenz  $\underline{v}$  als Schätzung für die Informationssequenz  $\underline{u}$  aus.


In dieser Aufgabe soll der Zusammenhang zwischen der  Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$  sowie der  Euklidischen Distanz

$$d_{\rm E}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2}\hspace{0.05cm}$$

ermittelt werden. Anschließend ist das obige ML–Kriterium zu formulieren mit

  • der Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$,
  • der Euklidischen Distanz  $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$, und
  • dem  Korrelationswert  $〈 x \cdot y 〉$.





Hinweise:



Fragebogen

1

Wie hängen  $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$  und  $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$  beim BSC–Modell zusammen?

Es gilt  $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$.
Es gilt  $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$.
Es gilt  $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})/4$.

2

Welche der Gleichungen beschreiben die ML–Decodierung beim BSC–Modell? Die Minimierung/Maximierung bezieht sich jeweils auf alle  $\underline{x} ∈\mathcal{ C}$.

$\underline{z} = \arg \min {d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})}$,
$\underline{z} = \arg \min {d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})}$,
$\underline{z} = \arg \min {d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})}$,

3

Welche Gleichung beschreibt die ML–Entscheidung beim BSC–Modell?

$\underline{z} = \arg \min 〈 \underline{x} \cdot \underline{y} 〉$,
$\underline{z} = \arg \max 〈 \underline{x} \cdot \underline{y} 〉$.

4

Welche Gleichungen gelten für die ML–Entscheidung beim AWGN–Modell?

$\underline{z} = \arg \min {d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})}$,
$\underline{z} = \arg \min {d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})}$,
$\underline{z} = \arg \max 〈 \underline{x} \cdot \underline{y} 〉$.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Die zwei Binärfolgen seien $\underline{x}$ und $\underline{y}$ mit $x_i ∈ \{-1, \, +1\}, \ y_i ∈ \{-1, \, +1\}$. Die Folgenlänge sei jeweils $L$.
  • Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ gibt die Anzahl der Bit an, in denen sich $\underline{x}$ und $\underline{y}$ unterscheiden, für die also $x_i \, - y_i = ±2$   ⇒   $ (x_i \, - y_i)^2 = 4$ gilt.
  • Gleiche Symbole $(x_i = y_i)$ tragen zur Hamming–Distanz nicht bei und ergeben $(x_i \, – y_i)^2 = 0$. Nach dem Lösungsvorschlag 3 kann daher geschrieben werden:
$$ d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2= \frac{1}{4} \cdot d_{\rm E}^2(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig:

  • Beim BSC–Modell ist es allgemein üblich, zum gegebenen Empfangsvektor $\underline{y}$ das Codewort $\underline{x}$ mit der kleinsten Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ auszuwählen:
$$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$
  • Entsprechend der Teilaufgabe (1) gilt aber auch:
$$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})/4 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm E}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) \hspace{0.05cm}.$$
  • Der Faktor $1/4$ spielt für die Minimierung keine Rolle. Da $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y}) ≥ 0$ ist, ist es auch egal, ob die Minimierung hinsichtlich $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ oder $d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$ erfolgt.


(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Das Quadrat der Euklidischen Distanz kann wie folgt ausgedrückt werden:
$$d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2 = \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} y_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}-2 \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i \cdot y_i \hspace{0.05cm}.$$
  • Die beiden ersten Summanden sind jeweils gleich $L$ und müssen für die Minimierung nicht berücksichtigt werden.
  • Für den letzten Ausdruck in dieser Gleichung kann $–2 \cdot 〈 \underline{x}, \, \underline{y} 〉$ geschrieben werden.
  • Aufgrund des negativen Vorzeichens wird aus der Minimierung eine Maximierung   ⇒   Antwort 2.


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3.:

  • Für den AWGN–Kanal kann im Gegensatz zum BSC keine Hamming–Distanz angegeben werden.
  • Ausgehend von der Gleichung
$$d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} y_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}-2 \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i \cdot y_i$$
gelten für den ersten und letzten Summanden die gleichen Aussagen wie für das BSC–Modell – siehe Teilaufgabe (3).
  • Für den mittleren Summanden gilt mit $y_i = x_i + n_i$ und $x_i ∈ \{–1, \, +1\}$:
$$\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} y_i^{\hspace{0.15cm}2} = \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} n_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}+2 \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i \cdot n_i \hspace{0.05cm}.$$
  • Der erste Summand ergibt wieder $L$, der zweite ist proportional zur Rauschleistung und der letzte Term verschwindet, da $\underline{x}$ und $\underline{n}$ unkorreliert sind.
  • Für die Minimerung von $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ muss also die Summe über $y_i^2$ nicht berücksichtigt werden, da kein Bezug zu den Codesequenzen $\underline{x}$ besteht.