Aufgabe 3.1: Ortskurve bei Phasenmodulation

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Zwei Ortskurven zur Auswahl

Unter der Ortskurve versteht man allgemein die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals  $s_{\rm TP}(t)$  in der komplexen Ebene.

  • Die Grafik zeigt Ortskurven am Ausgang zweier Modulatoren  $\rm M_1$  und  $\rm M_2$.
  • Real- und Imaginärteil sind in dieser Grafik jeweils auf $1 \ \rm V$ normiert.


Das Quellensignal sei bei beiden Modulatoren gleich:

$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} \cdot t),\hspace{1cm} {\rm mit}\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 2\,{\rm V},\hspace{0.2cm}f_{\rm N} = 5\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

Einer der beiden Modulatoren realisiert eine Phasenmodulation, die durch folgende Gleichungen gekennzeichnet ist:

$$ s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) \big]\hspace{0.05cm},$$
$$ s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm},$$
$$ \phi(t) = K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$

Den Maximalwert von  $ϕ(t)$  nennt man den  Modulationsindex  $η$.  Oft wird  $η$  in der Literatur auch als  Phasenhub  bezeichnet.





Hinweise:


Fragebogen

1

Welches Modulationsverfahren verwendet der Modulator  $\rm M_1$?

Zweiseitenband–Amplitudenmodulation.
Einseitenband–Amplitudenmodulation.
Phasenmodulation.

2

Welches Modulationsverfahren verwendet der Modulator  $\rm M_2$?

Zweiseitenband–Amplitudenmodulation.
Einseitenband–Amplitudenmodulation.
Phasenmodulation.

3

Wie groß ist die Trägeramplitude  $A_{\rm T}$  beim Phasenmodulator?  Beachten Sie die Normierung auf  $1 \ \rm V$.

$A_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm V$

4

Welche Werte besitzen der Modulationsindex  $η$  und die Modulatorkonstante  $K_{\rm PM}$?

$η\ = \ $

$K_{\rm PM}\ = \ $

$\ \rm 1/V$

5

Beschreiben Sie die Bewegung auf der Ortskurve.  Zu welcher Zeit  $t_1$  wird erstmals wieder der Ausgangspunkt  $s_{\rm TP}(t = 0) = -1 \ \rm V$  erreicht?

$t_1\ = \ $

$ \ \rm µ s$


Musterlösung

(1)  Es handelt sich um eine ESB–AM mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis  $μ = 1$   ⇒   Antwort 2:

  • Bewegt man sich auf dem Kreis in mathematisch positive Richtung, so liegt speziell eine OSB–AM vor, andernfalls eine USB–AM.
  • Die Phasenfunktion  $ϕ(t)$  als der Winkel eines Punktes  $s_{\rm TP}(t)$  auf dem Kreis(bogen) bezogen auf den Koordinatenursprung kann Werte zwischen  $±π/2$  annehmen und zeigt keinen Cosinusverlauf.
  • Aber auch die Hüllkurve  $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$  ist nicht cosinusförmig.
  • Würde man beim Empfänger für  $\rm M_1$  einen Hüllkurvendemodulator einsetzen, so käme es zu nichtlinearen Verzerrungen im Gegensatz zur ZSB–AM, deren Ortskurve eine horizontale Gerade ist.



(2)  Hier handelt es sich um die Phasenmodulation   ⇒   Antwort 3:

  • Die Einhüllende  $a(t) = A_{\rm T}$  ist konstant,
  • während die Phase  $ϕ(t)$  entsprechend dem Quellensignal  $q(t)$  cosinusförmig verläuft.



(3)  Bei der Phasenmodulation gilt:

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm}.$$
  • Aus der Grafik kann man die Trägeramplitude  $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm V}$  als den Kreisradius ablesen.



(4)  Das Quellensignal  $q(t)$  ist zum Zeitpunkt  $t = 0$  maximal und damit auch die Phasenfunktion:

$$ \eta = \phi_{\rm max} = \phi( t =0) = \pi\hspace{0.15cm}\underline { = 3.1415} \hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus erhält man für die Modulatorkonstante:

$$K_{\rm PM} = \frac{\eta}{A_{\rm N}} = \frac{\pi}{2\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.571\,{\rm V}^{-1}}\hspace{0.05cm}.$$



(5)  Man bewegt sich auf dem Kreis(bogen) im Uhrzeigersinn.

  • Nach einem Viertel der Periodendauer  $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm µ s$  ist  $ϕ(t) = 0$  und  $s_{\rm TP}(t) = 1 \, \rm V$.
  • Zur Zeit  $t_1 = T_{\rm N}/2\hspace{0.15cm}\underline { = 100 \ \rm µ s}$  gilt  $ϕ(t_1) = -π$  und  $s_{\rm TP}(t_1) = -1 \, \rm V$.
  • Danach bewegt man sich auf dem Kreisbogen entgegen dem Uhrzeigersinn.