Aufgabe 3.2: Spektrum bei Winkelmodulation

From LNTwww

Tabelle der Besselfunktionen

Es wird hier von folgenden Gleichungen ausgegangen:

  • Quellensignal:
$$q(t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$
  • Sendesignal:
$$s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + K_{\rm M} \cdot q(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$
  • Empfangssignal (idealer Kanal:
$$r(t) = s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + \phi(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$
  • idealer Demodulator:
$$ v(t) = \frac{1}{ K_{\rm M}} \cdot \phi(t)\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Besselfunktionen  ${\rm J}_n (\eta)$  erster Art und  $n$–ter Ordnung in tabellarischer Form.





Hinweise:


Fragebogen

1

Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?

Amplitudenmodulation.
Phasenmodulation.
Frequenzmodulation.

2

Welches Modulationsverfahren würden Sie wählen, wenn die Kanalbandbreite nur  $B_{\rm K} = 10 \ \rm kHz$  betragen würde?

Amplitudenmodulation.
Phasenmodulation.
Frequenzmodulation.

3

Wie ist die Modulatorkonstante  $K_{\rm M}$  zu wählen, damit der Phasenhub  $η = 1$  beträgt?

$K_{\rm M} \ = \ $

$\ \rm 1/V$

4

Berechnen Sie das Spektrum  $S_{\rm TP}(f)$  des äquivalenten Tiefpass–Signals  $s_{\rm TP}(t)$.  Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei  $f = 0$  und  $f = -3 \ \rm kHz$?

$S_{\rm TP}(f = 0)\ = \ $

$\ \rm V$
$S_{\rm TP}(f = -3\ \rm kHz) \ = \ $

$\ \rm V$

5

Berechnen Sie die Spektren des analytischen Signals  $s_{\rm +}(t)$  sowie des physikalischen Signals  $s(t)$.  Wie groß sind die Gewichte der Spektrallinien bei  $f = 97 \ \rm kHz$?

$S_+(f = 97 \ \rm kHz)\ = \ $

$\ \rm V$
$S(f = 97 \ \rm kHz)\hspace{0.32cm} = \ $

$\ \rm V$

6

Wie groß ist die erforderliche Kanalbandbreite  $B_{\rm K}$  für  $ η = 1$, wenn man (betragsmäßige) Impulsgewichte kleiner als  $0.01$  vernachlässigt?

$η = 1\text{:} \ \ \ B_{\rm K}\ = \ $

$\ \rm kHz$

7

Welche Kanalbandbreiten würden sich für  $η = 2$  und  $η = 3$  ergeben?

$η = 2\text{:} \ \ \ B_{\rm K}\ = \ $

$\ \rm kHz$
$η = 3\text{:} \ \ \ B_{\rm K}\ = \ $

$\ \rm kHz$


Musterlösung

(1)  Die Phase  $ϕ(t)$  ist proportional zum Quellensignal  $q(t)$   ⇒   es handelt sich um eine Phasenmodulation   ⇒   Antwort 2.


(2)  Eine Winkelmodulation  (PM, FM)  führt bei bandbegrenztem Kanal stets zu nichtlinearen Verzerrungen.

  • Bei Zweiseitenband-Amplitudenmodulation  (ZSB-AM)  ist hier dagegen bereits mit  $B_{\rm K} = 6 \ \rm kHz$  eine verzerrungsfreie Übertragung möglich   ⇒   Antwort 1.


(3)  Der Modulationsindex (oder Phasenhub) ist bei Phasenmodulation gleich  $η = K_{\rm M} · A_{\rm N}$.

  • Somit ist die Modulatorkonstante  $K_{\rm M} = 1/A_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 \rm \cdot {1}/{V}}$  zu wählen, damit sich  $η = 1$  ergibt.


(4)  Es liegt ein sogenanntes Besselspektrum vor:

$$ S_{\rm TP}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$
  • Dieses ist ein diskretes Spektrum mit Anteilen bei  $f = n · f_{\rm N}$, wobei  $n$  ganzzahlig ist.
  • Die Gewichte der Diracfunktionen sind durch die Besselfunktionen gegeben.  Mit  $A_{\rm T} = 1\ \rm V$  erhält man:
PM–Spektrum im äquivalenten Tiefpass–Bereich
$$ S_{\rm TP}(f = 0) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_0 (\eta = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.765\,{\rm V}},$$
$$ S_{\rm TP}(f = f_{\rm N}) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_1 (\eta = 1)\hspace{0.15cm} = 0.440\,{\rm V},$$
$$ S_{\rm TP}(f = 2 \cdot f_{\rm N}) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_2 (\eta = 1) = 0.115\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
  • Aufgrund der Symmetrie  ${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)$  erhält man für die Spektrallinie bei  $f = -3 \ \rm kHz$:
$$S_{\rm TP}(f = -f_{\rm N}) = -S_{\rm TP}(f = +f_{\rm N}) =\hspace{-0.01cm}\underline { -0.440\,{\rm V} \hspace{0.05cm}}.$$

Anmerkung:  Eigentlich müsste man für den Spektralwert bei  $f = 0$  schreiben:

$$S_{\rm TP}(f = 0) = 0.765\,{\rm V} \cdot \delta (f) \hspace{0.05cm}.$$
  • Dieser ist somit aufgrund der Diracfunktion unendlich groß, lediglich das Gewicht der Diracfunktion ist endlich.
  • Gleiches gilt für alle diskreten Spektrallinien.


(5)  $S_+(f)$  ergibt sich aus  $S_{\rm TP}(f)$  durch Verschiebung um  $f_{\rm T}$  nach rechts.  Deshalb ist

$$S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) = S_{\rm TP}(f = -3\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.440\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Das tatsächliche Spektrum unterscheidet sich von  $S_+(f)$  bei positiven Frequenzen um den Faktor  $1/2$:
$$S(f = 97\,{\rm kHz}) = {1}/{2} \cdot S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.220\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Allgemein kann geschrieben werden:
$$ S(f) = \frac{A_{\rm T}}{2} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f \pm (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N}))\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Unter der vorgeschlagenen Vernachlässigung können alle Bessellinien  ${\rm J}_{|n|>3}$  außer Acht gelassen werden.

  • Damit erhält man  $B_{\rm K} = 2 · 3 · f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 18 \ \rm kHz}$.


(7)  Die Zahlenwerte in der Tabelle auf der Angabenseite zeigen, dass nun folgende Kanalbandbreiten erforderlich wären:

  • für $η = 2$:     $B_{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline { = 24 \ \rm kHz}$,
  • für $η = 3$:     $B_{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline { = 36 \ \rm kHz}$.