Aufgabe 3.2Z: Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass

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Augendiagramme –
ohne und mit Rauschen

Wie in  Aufgabe 3.2  wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter  $H_{\rm G}(f)$  betrachtet. Dessen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis

$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right)$$

maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz  $f_{\rm G, \ opt}$  führt meist auch zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S, \ min}$.

In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:

  • $\sigma_d^2$  ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:
$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
  • $\ddot{o}(T_{\rm D})$  gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu  $T_{\rm D} = 0$  angenommen.
  • Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung  $\ddot{o}(T_{\rm D})$  allein durch die Amplitude  $s_0$  des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert  $g_0$  des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.
  • Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:
$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \big [1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\big]\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz.

  • Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt.
  • Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für  $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.




Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Aussagen sind für das Augendiagramm zutreffend?

Die Berechnung der Augenöffnung erfolgt ohne Rauschen.
Bei gaußförmigem Empfangsfilter gilt  $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0 \ – \ g_0$.
Bei gaußförmigem Impulsformer gilt  $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = 2 \cdot g_0 \ – \ s_0$.

2

Ab welcher Grenzfrequenz ergibt sich ein geschlossenes Auge?

$f_{\rm G, \ min} \cdot T \ = \ $

3

Berechnen Sie das ungünstigste SNR für  $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$. Welche Werte ergeben sich für die nachgenannten Grenzfrequenzen?

$f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $

$\ \rm dB$
$f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U}\ = \ $

$\ \rm dB$
$f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $

$\ \rm dB$

4

Welche Aussagen sind bezüglich der optimalen Grenzfrequenz zutreffend?

Die Optimierung hinsichtlich  $p_{\rm U}$  $($bzw.  $\rho_{\rm U})$  ergibt $f_{\rm G, \ opt} \cdot T \approx 0.8$.
Dieses Optimierungsergebnis ist unabhängig von  $E_{\rm B}/N_0$.
Die Optimierung hinsichtlich  $p_{\rm S}$  führt zum exakt gleichen Ergebnis.

5

Bestimmen Sie für die optimale Grenzfrequenz  $f_{\rm G, \ opt}$  folgende Größen, wobei wieder  $10 \cdot {\rm lg} \ (E_{\rm B}/N_0) = 10 \ \rm dB$  gelten soll.

$\ddot{o}(T_{\rm D})/s_0 \ = \ $

$\sigma_d/s_0 \ = \ $

$10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $

$\ \rm dB$
$p_{\rm U}\ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm -5}$


Musterlösung

(1)  Richtig sind der erste und der dritte Lösungsvorschlag:

  • Bei der Berechnung der vertikalen Augenöffnung darf der Rauschanteil nicht berücksichtigt werden. Dieser wird durch den Rauscheffektivwert $\sigma_d$ erfasst.
  • Würde man die Augenöffnung aus dem unteren Augendiagramm entnehmen, so würde die Rauschkomponente zweimal erfasst.
  • Die obere Begrenzung der inneren Augenlinie ergibt sich für die Symbolfolge " $\text{ ...} \, \ -\hspace{-0.1cm}1 \ -\hspace{-0.1cm}1, +1, -\hspace{-0.1cm}1, \ -\hspace{-0.1cm}1, \text{ ...} $ " .
  • Die lange "$-1$"–Folge würde zum Wert $-s_0$ führen.
  • Dagegen führt die "worst–case"–Folge zur Augenlinie $-s_0 + 2 \cdot g_d(t)$.
  • Zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt somit mit der Entscheiderschwelle $E = 0$:
$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ 2 \cdot g_0 - s_0 = 2 \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] - s_0 = s_0 \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] \hspace{0.05cm}.$$

Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für

$${\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T< 0.675\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm G, min} \cdot T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich

$\rho_{\rm U}$ als Funktion der (normierten) Grenzfrequenz
$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} = \frac{s_0^2 \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$

Mit der Angabe $E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{\rm U} = 10 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{ \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]^2}{ f_{\rm G} \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$

Die Abbildung zeigt diesen Funktionsverlauf in Abhängigkeit der (normierten) Grenzfrequenz. Für die vorgegebenen Grenzfrequenzen gilt:

  • $f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 12.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.04 \ \rm dB},$
  • $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 14.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.66 \ \rm dB},$
  • $f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 13.5 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.30 \ \rm dB}.$

Aus obiger Grafik erkennt man auch die minimale Grenzfrequenz   ⇒   Teilaufgabe (2).


(4)  Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:

  • Die Gültigkeit der ersten Aussage ergibt sich aus obiger Grafik.
  • Da in der obigen Gleichung für $\rho_{\rm U}$ das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ nur als Faktor auftritt, führt die Optimierung (Nullsetzen der Ableitung) unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$ stets zum gleichen Ergebnis.
  • Die optimale Grenzfrequenz hinsichtlich $p_{\rm U}$ ist näherungsweise auch hinsichtlich $p_{\rm S}$ optimal, aber nicht exakt.
  • Für sehr große Werte von $E_{\rm B}/N_0$ (kleines Rauschen) stimmt diese Näherung sehr gut und es gilt $p_{\rm S} \ \approx \ p_{\rm U}/4$.
  • Dagegen ergibt sich bei großem Rauschen, beispielsweise $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ eine kleinere optimale Grenzfrequenz, wenn die Optimierung auf $p_{\rm S}$ basiert:
$f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.113, p_{\rm S} = 0.102,$
$f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.129, p_{\rm S} = 0.094.$
  • Die Fehlerwahrscheinlichkeiten sind dann aber so groß, dass diese Ergebnisse nicht praxisrelevant sind.


(5)  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2)   ⇒   $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot 0.022\right]\hspace{0.15cm}\underline { = 1.824} \hspace{0.05cm},$$
$${\sigma_d^2}/{ s_0^2} = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G} }{\sqrt{2}\cdot s_0^2}= \frac{N_0 }{s_0^2 \cdot T} \cdot \frac{f_{\rm G} \cdot T}{\sqrt{2}} = 0.1 \cdot \frac{0.8}{\sqrt{2}} \approx 0.0566 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\sigma_d}/{ s_0}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.238} \hspace{0.05cm},$$
$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})]^2}{ 4 \cdot \sigma_d^2} = \frac{1.824^2}{ 4 \cdot 0.0566}\approx 14.7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 11.66\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right) = {\rm Q} \left( \sqrt{14.7} \right) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.4 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$