Aufgabe 3.3Z: Hoch- und Tiefpässe in p-Form

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Betrachtete Vierpolschaltungen

Die Grafik zeigt vier einfache Filterkonfigurationen mit Tiefpass– bzw. Hochpasscharakteristik, die sich aus diskreten Bauelementen zusammensetzen.

Für die Bauelemente der Schaltungen  $(1)$  und  $(2)$  gelte:

$$R = 100\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,{\rm µ H}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Vierpol–Schaltungen  $(1)$, ... , $(4)$  sollen durch ihre  $p$–Übertragungsfunktionen  $H_{\rm L}(p)$  charakterisiert werden.
  • Daraus ergibt sich  (bei dieser Aufgabe, nicht allgemein)  der Frequenzgang entsprechend der Gleichung
$$H(f) = H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} \hspace{0.05cm}.$$





Hinweis:



Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die  $p$–Übertragungsfunktion eines Vierpols?

Für einen Tiefpass erster Ordnung gilt:   $H_{\rm TP}(p) = K/(p + p_{\rm x})$,
Für einen Hochpass erster Ordnung gilt:   $H_{\rm HP}(p) = K \cdot p/(p + p_{\rm x})$.

2

Wie lauten die Parameter  $K$  und  $p_{\rm x}$  der Übertragungsfunktion von Vierpol  $(1)$?

$K \ = \ $

$p_{\rm x}\ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}\ \rm 1/s$

3

Bei welcher Frequenz  $f_{\rm G}$  ist die Leistungsübertragungsfunktion  $|H(f)|^2$  gegenüber dem Maximalwert auf die Hälfte abgesunken?

$f_{\rm G} \ = \ $

$\ \rm MHz$

4

Welcher der beiden RC–Vierpole führt bei richtiger Wahl der Kapazität  $C$  zur gleichen Übertragungsfunktion wie der Vierpol  $(1)$?

Vierpol  $(3)$,
Vierpol  $(4)$.

5

Es gelte  $R = 100 \ \rm \Omega$.  Wie muss dabei  $C$  gewählt werden, damit der Pol  $p_{\rm x}$  mit dem des Vierpols  $(1)$ übereinstimmt?

$C \ = \ $

$\ \rm nF$


Musterlösung

(1)  Beide Aussagen treffen zu:

  • Für die beiden Vierpole gelten folgende Grenzwerte:
$$\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} H_{\rm TP}(p)\hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{K}{p + p_{\rm x}} \hspace{0.15cm} { =K /{p_{\rm x}}}, \hspace{1.2cm} \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm TP}(p)= 0\hspace{0.05cm},$$
$$ \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}H_{\rm HP}(p) \hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}0, \hspace{1.4cm} \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm HP}(p)= \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}\frac{K\cdot p}{p + p_{\rm x}} = K \hspace{0.05cm}.$$
  • Man erkennt, dass  $H_{\rm TP}(p)$  für sehr hohe Frequenzen Null ergibt und  $H_{\rm HP}(p)$  für sehr niedrige Frequenzen.



(2)  Wir betrachten den Vierpol  $(1)$.

  • Der Spannungsteiler liefert das Ergebnis
$$H_{\rm L}(p)= \frac { p L} {R + pL}= \frac { p } {p +{R}/{L}} \hspace{0.05cm} .$$
  • Es handelt sich um einen  $\rm Hochpass$  mit dem Kennparameter  $\underline {K = 1}$  und der Nullstelle bei
$$p_{\rm x}= -\frac{R}{L}= -\frac{100\,{\rm \Omega}}{10^{-5 }\,{\rm \Omega s}}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.1} \cdot10^{-6 }\,{1}/{\rm s} \hspace{0.05cm} .$$



(3)  Zur Übertragungsfunktion kommt man mit der Substitution  $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$:

$$H(f)= \frac { {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f } {{\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f +p_{\rm o}}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} |H(f)|^2 = \frac { (2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 } {(2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 +p_{\rm o}^2}\hspace{0.05cm} .$$
  • Aus der Bedingung  $|H(f_{\rm G})|^2 = 0.5 $  erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
$$(2\pi \hspace{-0.05cm}f_{\rm G})^2 = p_{\rm o}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} f_{\rm G} = -\frac { p_{\rm o}} {2 \pi}= \frac { 10^{-7 }\, 1/s} {2 \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.59\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm} .$$



(4)  Richtig ist die erste Aussage:

  • Für ein Gleichsignal ist eine Kapazität  $C$  ein unendlich großer Widerstand, für hohe Frequenzen wirkt  $C$  wie ein Kurzschluss.
  • Daraus folgt:  Der Vierpol  $(3)$  beschreibt ebenfalls einen Hochpass.  Dagegen zeigen die Schaltungen  $(2)$  und  $(4)$  Tiefpassverhalten.



(5)  Die $p$–Übertragungsfunktion von Vierpol  $(3)$  lautet:

$$H_{\rm L}(p)= \frac { R } {{1}/{(pC)} + R}= \frac { p } {p +{1}/{(RC)}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm x}= -{1}/(RC)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C = -\frac{1}{p_{\rm x} \cdot R}= \frac{-1}{-10^{-7 }\, 1/s \cdot 100\,{\rm \Omega}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,{\rm nF}} \hspace{0.05cm} .$$