Aufgabe 3.3Z: Kenngrößenbestimmung

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Spektrum des analytischen Signals

Wir betrachten die Phasenmodulation der harmonischen Schwingung

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) \hspace{0.05cm},$$

die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude  $(A_{\rm T} = 1)$  zu folgendem Sendesignal führt:

$$ s(t) = \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t) \big]\hspace{0.05cm}.$$

Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals  $s_{\rm TP}(t)$  lautet allgemein:

$$S_{\rm TP}(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\phi_{\rm N}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} 90^\circ) }\cdot \hspace{0.05cm} \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}$$

Hierbei bezeichnet man  $η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$  als den Modulationsindex.

In der Grafik ist das Spektrum  $S_+(f)$  des analytischen Signals  $s_+(t)$  getrennt nach Real- und Imaginärteil dargestellt. Aus diesem sollen die Kenngrößen  $f_{\rm T}$,  $f_{\rm N}$,  $ϕ_{\rm N}$  und  $η$  ermittelt werden.





Hinweise:

  • Zur Berechnung des Modulationsindex können Sie folgende Eigenschaft der Besselfunktion ausnutzen:
$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm J}_{2} (\eta)= {2}/{\eta} \cdot {\rm J}_{1} (\eta) - {\rm J}_{0} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Wie groß sind die Frequenzen  $f_{\rm T}$  und  $f_{\rm N}$?

$f_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm kHz$
$f_{\rm N} \ = \ $

$\ \rm kHz$

2

Berechnen Sie den Betrag und die Phase von  $S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)$.

$|S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)| \ = \ $

${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 3\ \rm kHz) \ = \ $

$\ \rm Grad$

3

Berechnen Sie den Betrag und die Phase von  $S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)$.

$|S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)| \ = \ $

${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 6\ \rm kHz) \ = \ $

$\ \rm Grad$

4

Wie groß ist die Phase des Quellensignals  $q(t)$?

$ϕ_{\rm N} \ = \ $

$\ \rm Grad$

5

Wie groß ist der Modulationsindex  $η$ ?

$η \ = \ $


Musterlösung

(1)  Bezüglich  $|S_+(f)|$  gibt es eine Symmetrie zur Trägerfrequenz  $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 40 \ \rm kHz}$.  Der Abstand zwischen den Spektrallinien beträgt  $f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ \rm kHz}$.


(2)  Unter Berücksichtigung von  $S_{\rm TP}(f = 3{\ \rm kHz}) = S_+(f = 43 \ \rm kHz)$  gilt:

$$|S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz})| = \sqrt{0.279^2 + 0.483^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.558}\hspace{0.05cm},$$
$$ {\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{0.483}{0.279} = \arctan 1.732\hspace{0.15cm}\underline { = 60^\circ} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  In analoger Weise zur Teilaufgabe  (2)  erhält man für die Frequenz  $f = 6 \ \rm kHz$:

$$|S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz})| = \sqrt{(-0.116)^2 + 0.201^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.232}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{-0.116}{0.201} = 180^\circ - \arctan 1.732 \hspace{0.15cm}\underline {= 120^\circ} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Die Phase lautet für  $n = 1$   ⇒   $f = 3 \ \rm kHz$  entsprechend Teilaufgabe  (2):

$$ \phi_{\rm N} + 90^\circ = 60^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} = -30^\circ\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Überprüfung dieses Ergebnisses mit  $n = 2$   ⇒   $f = 6 \ \rm kHz$  entsprechend Teilaufgabe  (3)  liefert den gleichen Wert:
$$ 2\cdot (\phi_{\rm N} + 90^\circ) = 120^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= -30^\circ}\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Die angegebene Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:

$$\eta = \frac{2 \cdot {\rm J}_{1}{(\eta)}}{{\rm J}_{0}(\eta) + {\rm J}_{2}(\eta)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit  ${\rm J}_0(η) = 0.512$,  ${\rm J}_1(η) = 0.558$  und  ${\rm J}_2(η) = 0.232$  erhält man somit:
$$ \eta = \frac{2 \cdot 0.558}{0.512 + 0.232}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$