Aufgabe 3.5: Augenöffnung bei Pseudoternärcodierung

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Augendiagramme beim AMI– und Duobinärcode

Betrachtet werden drei Nachrichtenübertragungssysteme, jeweils mit folgenden übereinstimmenden Eigenschaften:

  • NRZ–Rechteckimpulse mit der Amplitude  $s_0 = 2 \, {\rm V}$,
  • Koaxialkabel mit charakteristischer Kabeldämpfung  $a_* = 40 \, {\rm dB}$,
  • AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$,
  • Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = 1/H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm G}(f) $, bestehend aus einem idealen Kanalentzerrer  $H_{\rm K}(f)^{-1}$  und einem Gaußtiefpass  $H_{\rm G}(f)$  mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T \approx 0.5$.
  • Schwellenwertentscheider mit optimalen Entscheiderschwellen und optimalem Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} = 0$.


Die in der Aufgabe zu untersuchenden Systemvarianten unterscheiden sich ausschließlich hinsichtlich des Übertragungscodes:

Das $\text{System A}$  verwendet ein binäres bipolares redundanzfreies Sendesignal. Bekannt sind folgende Beschreibungsgrößen:

  • Grundimpulswerte  $g_0 = 1.56 \, {\rm V}$, $g_1 = g_{\rm –1} = 0.22 \, {\rm V}$, $g_2 = g_{\rm –2} = \, \text{ ...} \, \approx 0$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = g_{0} -g_{1}-g_{-1} = 1.12\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
  • Rauscheffektivwert  $\sigma_d \approx 0.2 \, {\rm V}$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2\big]^2}{ \sigma_d^2}\approx 31.36\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \approx 15\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Das $\text{System B}$  verwendet AMI–Codierung:

  • Hier treten die äußeren Symbole  $"+1"$  bzw.  $"–1"$  nur isoliert auf.
  • Bei drei aufeinanderfolgenden Symbolen sind unter anderem die Folgen  "$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, +1, \, +1, \,\text{ ...}$"  und  "$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, 0, \, +1, \, \text{ ...} $"  nicht möglich,
  • im Gegensatz zur Folge  "$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, –1, \, +1, \, \text{ ...} $".


Das $\text{System C}$  verwendet den Duobinärcode:

  • Hier wird die alternierende Folge  "$\hspace{-0.1cm} \text{ ...} \, , \, –1, \, +1, \, –1, \, \text{ ...} $"  durch den Code ausgeschlossen, was sich günstig auf die Augenöffnung auswirkt.




Hinweise:

  • Nicht alle der hier angegebenen Zahlenwerte sind zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich.


Fragebogen

1

Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für den AMI–Code.

$\text{System B:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/2$ =

$\ {\rm V}$

2

Berechnen Sie den ungünstigsten Störabstand dieses Systems.

$\text{System B:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \ = \ $

$\ {\rm dB}$

3

Wie müssen die Schwellenwerte  $E_1$  und  $E_2$  gewählt werden, damit das soeben berechnete Ergebnis stimmt?

$E_1 \ \hspace{0.05cm} = \ $

$\ {\rm V}$
$E_2 \ = \ $

$\ {\rm V}$

4

Berechnen Sie die halbe Augenöffnung beim Duobinär–Code.

$\text{System C:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/2 \ = \ $

$\ {\rm V}$

5

Berechnen Sie den ungünstigsten Störabstand bei der Duobinärcodierung.

$\text{System C:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \ = \ $

$\ {\rm dB}$


Musterlösung

(1)  Da beim AMI–Code die Symbolrate gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem nicht verändert wird, bleiben die Grundimpulswerte unverändert:

$$g_0 = 1.56 \, {\rm V}, \ g_1 = g_{\rm –1} = 0.22 \, {\rm V}, \ g_2 = g_{\rm –2} \approx 0.$$

Bei Pseudoternärcodierung gibt es stets zwei Augenöffnungen:

  • Die obere Begrenzungslinie des oberen Auges ergibt sich beim AMI–Code wie beim redundanzfreien Binärsystem:
$$d_{\rm oben}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm Folge:}-1, +1, -1{\rm )} \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen gilt für die untere Begrenzungslinie des oberen Auges:
$$d_{\rm unten}= g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm Folge:}\hspace{0.2cm}0, \hspace{0.05cm}0, +1\hspace{0.2cm}{\rm bzw.}\hspace{0.2cm}+1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}0{\rm )}\hspace{0.05cm}.$$

Für die halbe Augenöffnung gilt somit:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} - d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot g_0 - {3}/{2} \cdot g_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.45\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Die entsprechende Gleichung für das redundanzfreie Binärsystem lautet:  

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Bezüglich des Rauschens gibt es keinen Unterschied zwischen den drei Systemen, da stets die gleiche Symbolrate vorliegt. Daraus folgt für den AMI–Code:

$$\rho_{\rm U} = \frac{(0.45\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} = 5.06 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Einbuße gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem beträgt somit fast $8 \, {\rm dB}$.
  • Der Grund für diesen gravierenden Störabstandverlust ist, dass beim AMI–Code trotz $37\%$ Redundanz die bezüglich der Impulsinterferenzen besonders ungünstige Symbolfolge  $\text{ ...} , \, –1, \, +1, \, –1, \text{ ...} $  nicht ausgeschlossen wird.


(3)  Die Schwelle $E_2$ muss in der Mitte zwischen $d_{\rm oben}$ und $d_{\rm unten}$ liegen:

$$E_2= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} + d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot (g_0 - g_1 ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.67\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Der Schwellenwert $E_1$ liegt symmetrisch dazu: $E_1 \, \underline {= \, –0.67 {\rm V}}$.


(4)  Wir gehen wieder von den gleichen Grundimpulswerten aus.

  • Die ungünstigste Folge bezüglich der oberen Begrenzungslinie des oberen Auges ist  $\text{ ...} , 0, \, +1, \, 0, \text{ ...} $,
  • während die untere Begrenzungslinie durch  $\text{ ...} , 0, \, 0, \, +1, \text{ ...} $  bzw.  $\text{ ...} , +1, \, 0, \, 0, \text{ ...} $  bestimmt wird.
  • Daraus folgt:
$$d_{\rm oben}= g_0, \hspace{0.2cm} d_{\rm unten} = g_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2} = {g_0}/{2} - {g_1}/{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.667\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Mit dem Ergebnis aus (4) erhält man analog zur Teilaufgabe (2):

$$\rho_{\rm U} = \frac{(0.67\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} = 11.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 10.5\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Voraussetzung für dieses Ergebnis sind Schwellenwerte bei
$$E_2= {1}/{2} \cdot (g_0 + g_1 ) = 0.89\,{\rm V}, \hspace{0.2cm}E_1 = - 0.89\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
  • Anzumerken ist, dass hier stets von der gleichen Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$ ausgegangen wurde.
  • Bei Optimierung der Grenzfrequenz kann es durchaus sein, dass der Duobinärcode bei hinreichend großer charakteristischer Kabeldämpfung dem redundanzfreien Binärcode überlegen ist.